Практические занятия к теме 6

 

Тема. Статистические ряды распределения

 

Основные вопросы для обсуждения

1. Ряды распределения: понятие, классификация и роль в статистическом изучении.

2. Правила построения рядов распределения.

3. Показатели центра группирования в ряду распределения. Решение задач.

4. Показатели вариации признака в совокупности, их назначение. Решение задач.

5. Показатели формы в статистических рядах распределения. Решение задач.

6. Моменты распределения, их виды и область применения.

Форма контроля: решение задач по теме, тестирование.

Методические указания

Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения. Наиболее часто в статистике изучаются вариационные ряды распределения.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот. Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение варьирующего признака. Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.

Для целей анализа и сравнительной характеристики применяют обобщающие показатели вариационного ряда.

Первая группа показателей – показатели центра группирования (средняя арифметическая, мода и медиана).

Мода Мо – наиболее встречающееся значение признака в совокупности, т.е. имеет наибольшую частоту.

Мо = Хо + i * (f2 – f1) / ((f2 – f1) + (f2 – f3)),

где Хо – нижняя граница модального интервала,

i – величина интервала,

F1 – частота модального интервала,

F2 – частота интервала, предшествующего модальному,

F3 - частота интервала, следующего за модальным.

Например, известно распределение рабочих участка по размеру дневной заработной платы. Определить модальное и медианное значение признака в изучаемой совокупности. Сделать соответствующие выводы.

X = Ч/пл	f Числ.рабочих	S Накопл.частоты
150 - 170
170 - 190
190 - 210
210 - 230
230 - 250
Итого:		---

 

Мо = 210 + 20 * (70 – 58) / (70 – 58) + 70 – 42 = 216

Вывод. Наиболее часто в совокупности встречается заработная плата рабочего в 216 рублей.

Медиана Ме – значение признака у средней единицы ранжированного ряда.

Ме = Хо + i * (Σ f / 2 – SМе-1) / fМе,

где Хо - нижняя граница медианного интервала,

Σ f / 2 – порядковый номер медианы,

SМе-1 – накопленная частота домедианного интервала,

FМе – частота медианного интервала.

Номер медианного интервала определяют как сумму частот поделенную пополам, т.е. Σ f / 2 = 200 / 2 = 100. Сотая единица входит в интервал от 210 до 230.

Ме = 210 + 20 * (100 – 88) / 70 = 213, 43

Вывод. Половина рабочих данного предприятия получает заработную плату ниже 213, 43 рублей, а ровно половина выше этого значения.

Вторая группа показателей – показатели степени вариации признака в совокупности.

Два ряда распределения, имеющие одинаковые обобщающие показатели могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) признака в совокупности.

Пример. Выработка рабочих двух бригад за 7 дней работы

W1
W2

В первой бригаде наблюдается равномерное распределение, а во второй - значительное рассеивание.

К абсолютным показателям рассеивания относят размах колебаний:

R = Xmax – Xmin

Может использоваться в частности для контроля качества продукции.

Учет колеблемости всех значений признака отражают с помощью относительных показателей:

Большинство таких показателей отражают отклонение признака от ср.арифметической (как обобщающего показателя).

1) Ср.линейное отклонение:

D = Σ /Xi – Xср/ / n, - для несгруппированных данных,

D = Σ /Xi – Xср/ * f / Σ f – для вариационного ряда.

2) Ср.квадратическое отклонение:

σ = √ Σ (Xi – Xср) / n, - для несгруппированных данных,

σ = √ Σ (Xi – Xср) * f / Σ f - для сгруппированных данных.

Порядок расчета ср.квадратического отклонения:

1) находим ср.арифметическую ряда – Хср,

2) находим отклонение каждого варианта значения признака от ср.арифметической - (Xi – Xср),

3) возводим каждое отклонение в квадрат,

4) полученный результат умножаем на соответствующие веса - (Xi – Xср) * f,

5) суммируем все произведения - Σ (Xi – Xср) * f,

6) полученную сумму делим на сумму весов (частот) - Σ (Xi – Xср) * f / Σ f.

Таким образом, получаем дисперсию признака. Извлекая корень, получаем ср. квадратическое отклонение, которое показывает на сколько в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от среднего в совокупности.

Свойства дисперсии:

1) дисперсия постоянного числа равна нулю,

2) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k – раз), то дисперсия уменьшится в k – квадрат раз.

3) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число единиц, то дисперсия не изменится.

Различают виды дисперсии:

Общая дисперсия характеризует вариацию признака как результат влияния всей совокупности факторов. Общая дисперсия делится на внутригрупповую и межгрупповую.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, т.е. является мерой колеблемости частных средних по группам вокруг общей средней:

σ ² = Σ /X _j – X_ср.общ/ * n_j/ Σ n_j,

где n_j – число единиц в j-той группе,

X_ср.общ – общая средняя по совокупности,

X _j – частная средняя по j-той группе.

Внутригрупповая дисперсия – обусловлена влиянием прочих факторов, характеризует колеблемость изучаемого признака в каждой группе.

Пример. Влияние стажа работы рабочих на производительность труда (W ).

Группы рабочих по стажу лет	Число рабочих в группе	Wср.час	Дисперсия внутригр.
До 5 лет
5 и более лет

Проведём дисперсионный анализ:

σ ²= Σ /X _j – X _ср.общ. /² * nj/ Σ nj,

1) Х_ср.общ = (20*30 + 23*40) / 70 = 21, 7

2) σ _мгр ² = [(20 – 21, 7)*30 + (23 – 21, 7)*40] ² / 70 = 2, 2

3) Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

σ _вгр ² = ( 3*30 + 2*40) / 70 = 2, 43

4) σ ² _общ = 2, 2 + 2, 43 = 4, 63.

Выводы: ( 2, 2 / 4.63 * 100%) На 47, 6% вариация выработки зависит от стажа, а на 52, 4% от влияния все прочих факторов (квалификация, фондовооруженность, психологическое состояние и пр.)

 

Задания для самостоятельной работы студентов по теме статистические ряды распределения

Задание 1. Имеются следующие данные о размере семьи работников цеха (число человек в семье):

3 4 5 2 3 6 4 2 5 3 4 2 7 3 3 6 2 3 8 5

составить дискретный вариационный ряд. Определить показатели центра распределения, показатели вариации. Дать графическое изображение ряда в виде полигона распределения. Сформулировать краткие выводы.

 

Задание 2. Хронометраж операций пайки радиаторов на ремонтном предприятии дал следующие результаты:

Время пайки, мин.	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	Итого
Количество радиаторов

Вычислите:

1) среднее время пайки радиатора;

2) медиану и моду;

3) относительный показатель вариации.

Дайте графическое изображение ряда.

 

Задание 3. Имеются следующие данные о возрастном составе группы студентов вечернего отделения:

18 38 28 29 26 38 34 22 28 30

22 23 35 33 27 24 30 32 28 25

Постройте интервальный ряд распределения. Дать его графическое изображение в виде гистограммы и кумуляты. Используя графическое изображение, определите численное значение моды и медианы.

Задание 4. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих автотранспортного предприятия за январь:

Группы рабочих	Число рабочих	Средняя месячная заработная плата, руб.	Внутригрупповая дисперсия заработной платы
Водители Ремонтно-вспомогательные рабочие		2100, 0   1397, 5

Определите общую дисперсию заработной платы рабочих предприятия, сопоставьте однородность двух групп рабочих по уровню месячной заработной платы.

Задание 5. Заработная плата 10 рабочих бригад характеризуется следующими данными:

Профессия	Число рабочих	Заработная плата каждого рабочего за март, руб.
Токари Слесари		1252; 1548; 1600; 14004 1450; 1380; 1260; 1700; 1250; 1372;

Проверьте правило сложения дисперсий и указать, велико ли влияние профессии на различие в уровнях заработной платы.

Задание 6. Имеются следующие данные о величине межремонтного пробега автомобилей ЗИЛ-133:

Величина межремонтного пробега, тыс. км.	80-100	100-120	120-140	140-160	160-180
Число деталей

Дайте графическое изображение в виде гистограммы и кумуляты. Используя графическое изображение, определить численное значение моды и медианы. Определите показатели асимметрии. Сформулируйте вывод.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: