Особенности математической постановки задачи в системах с распределенными параметрами (СРП)

Процессы, проходящие в распределенных объектах, описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

, (1)

где:

а₀, а₁, … а_n – коэффициенты, которые могут быть функциями f(x, y, z, t),

L – пространственный оператор,

F(x, y, z, t) – внешнее возмущение.

 

Данное уравнение будет полностью определено, если ввести начальные условия:

. (2)

Граничные условия рассматриваются в зависимости от физики рассматриваемого процесса.

Рассмотрим граничные условия для одномерного пространственного случая, при этом будем рассматривать распространение тепла в стержне:

, (3)

где:

q – плотность теплового потока;

– коэффициент теплопроводности;

Т – температура в градусах;

х – пространственная переменная.

Данный закон называется законом Фурье (теплопроводности).

 

Может быть несколько граничных условий:

2. Граничные условия первого рода

(рис. 1)

(4)

 

2. Граничные условия второго рода

(5)

(6)

В данном случае заданы тепловые потоки , на том же объекте.

(рис. 2)

.

3. Граничные условия третьего рода

Они характеризуют процесс теплообмена тела с окружающей средой.

, , (7)

где:

– коэффициент теплообмена.

(рис 3)

(8)

(9)

4. Граничные условия четвертого рода

Они характеризуют условия стыковки сред.

(рис. 4)

 

1)

2) =

Приведенные в лекции граничные условия будут в дальнейшем использованы для составления модели распределенных объектов управления.

Презентация лекции №2

Системы регулирования температуры в проходных печах и цилиндрических нагревательных установках

 

Система регулирования температуры в проходных печах (нагреваются металлические заготовки).

Объект и система управления объектом приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Проходная печь и система управления печью.

ДТ – датчик температуры; Рег – регулятор; РО – регулирующий орган.

3) Необходимо поддерживать заданную температуру на выходе печи

. (1)

Здесь - заданная температура.

4) Печь предназначена для термообработки материала и целью регулирования является поддержание такого распределения , которое было близко к заданному значению и которое изменяется в пространстве и во времени:

.(2)

Математическая модель для данной системы может быть представлена в следующем виде:

, (3)

Здесь - температура заготовки;

- коэффициент, характеризующий инерционность нагрева;

- коэффициент, характеризующий влияние скорости перемещения детали внутри печи;

- коэффициент теплообмена;

- температура печи.

Теплообмен с окружающей средой происходит по линейному закону Ньютона.

Граничные условия: .

Начальные условия: .

Закон управления:

, (4)

где - передаточная функция регулятора.

Система управления температурным полем цилиндрической нагревательной камеры.

 

Рис. 1. Цилиндрическая нагревательная камера.

К – цилиндрическая камера; И – изолятор; П - плита; ТП – термопара; СП – стрелочный прибор; ИТ – изоляция тепловая; З – заготовка; УТ – усилитель термопары; АЦП – аналого-цифровой преобразователь;

ЦВМ – цифровая вычислительная машина; УМ – усилитель мощности; РС – распределительная система.

 

Задача управления состоит в том, чтобы температура в камере поддерживалась на заданном уровне.

(1)

Сложность поддерживания заданной температуры в том, что через П происходит сток тепла, помимо этого необходимо стабилизировать температуру в текущей среде.

По длине К ставятся ТП, сигнал с ТП снимается и подается на УТ. Далее сигнал подается на АЦП, затем на ЦВМ, где осуществляется сравнение заданной температуры и текущей , вырабатывается закон управления и поступает на ЦАП. Далее в работу включается УМ, затем усиленный сигнал поступает на РС.

Рис. 2. Геометрическое изображение камеры.

А) в плоскости; б) в пространстве (цилиндрическая система координат).

 

Для того, чтобы математически описать тепловой процесс, воспользуемся уравнением распространения тепла в цилиндре:

. (2)

Здесь Т – температура [град];

– коэффициент температуропроводности;

[м²/с]

- коэффициент теплопроводности ;

с – теплоемкость ;

- координаты.

В данном случае рассматривается симметричная задача и производные:

. (3)

Используя цилиндрическую систему координат записываются уравнения для всех сред, начальные и граничные условия.

Презентация лекции №3

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: