V – зависимая переменная.

Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент;

 – зависимая переменная, значение функции;

Пример: V = f ( R ) – объем является функцией радиуса, то есть

Определение: Областью определения функции называются все значения аргумента x, при которых функция определена (то есть имеет числовое значение).

D ( f ) = Х – область определения функции.

 

Определение: Множеством значений функции называются все значения зависимой переменной y при x из области определения функции.

E ( f ) = У – множество значений функции.

Пример: Найти область определения функции:

1.  

При любом действительном значении х функция у так же выражается действительным числом, следовательно, функция определена при любом значении . Следовательно, .

2.  

Знаменатель дроби обращается в нуль при х = 0. Функция принимает действительные значения при всех х, кроме х = 0. Следовательно,

.

3.

Функция имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение больше нуля или равно нулю (неотрицательное), то есть . Следовательно, .

Замечание:

1. При нахождении области определения дробной функции нужно исключить значения аргумента, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Для этого знаменатель дроби приравнивается к нулю. Если полученное уравнение имеет корни, то они исключаются из области определения функции.

2. Если функция содержит корень четной степени, то при нахождении области определения нужно исключить значения аргумента, при которых подкоренное выражение принимает отрицательные значения. В область определения функции войдут значения аргумента, при которых подкоренное выражение принимает неотрицательные значения, то есть решения соответствующего неравенства.

 

Способы задания функции

Замечание: Функция считается заданной, если известна область определения функции и указано правило, по которому для каждого значения аргумента из области определения можно найти соответствующее значение функции.

 

1. Табличный способ: значения аргумента и соответствующие значения функции записаны в виде таблицы.

Достоинства: простой способ.

Недостатки: не дает полного представления о функции; не является наглядным.

 

Замечание: В результате экспериментального изучения какого-нибудь явления или процесса (испытание самолетов, моторов, урожайности семян) всегда устанавливается функциональная зависимость между переменными в виде таблицы.

 

2. Графический способ: функция задана с помощью графика.

 

Определение: Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Достоинства: наглядный способ.

Недостатки: небольшая точность при определении значений функции при данных значениях аргумента; ограниченность промежутка, на котором может быть построен график функции.

 

Замечание: Иногда табличный и графический способы задания функции являются единственно возможными, в других случаях используются как дополнительные. Метеорологи составляют таблицы выпавших осадков.В медицине о работе сердца судят по кардиограмме, которую создает прибор – кардиограф; вибратор регистрирует колебания различных сооружений (мостов, судов, зданий).

3. Аналитический способ: функция задана с помощью формулы , где 

 – выражение с переменной х.

Достоинства: значения функции могут быть вычислены для любого значения аргумента из области определения функции.

Недостатки: не является наглядным.

 

Замечание:

1. Для аналитически заданной функции иногда не задают область определения явно. В таком случае область определения функции   совпадает с областью определения выражения .

2. Одной и той же формулой можно задать различные функции, изменяя область определения.

3. Функция может быть задана различными формулами на различных промежутках области определения.

 

Пример:

1. Если функция задана формулой   без указания области ее определения, то предполагается, что область определения этой функции – множество всех действительных чисел, кроме числа 3 (при х = 3 выражение   не имеет смысла ).

2. Различными функциями являются , х Î R, и  , х Î N.

, х Î R, – квадратичная функция;

, х Î N, – числовая последовательность вида 1; 4; 9; 16; …; п²; ….

3.

4. .  – целая часть числа х, то есть наибольшее целое число, не превосходящее х. ; ; ;  .

4. Словесное описание: если формулу, задающую функцию, записать сложно или невозможно, пользуются словесным описанием способа, задающего функцию.

Пример: Функция Дирихле:

, если х – рационально; , если х – иррационально.

 

Упражнения:

1. Найти область определения функции:

а) ; б)    ; в) ; г) ;

 д) ; е)  ; ж)  ; з) .

1. Дана функция . Найти .

3. Свойства числовых функций

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: