Четность, нечетность функций

Определение: Функция    называется четной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть   для любого ;

2)  для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка   принадлежит графику четной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2.

у

х

2

1

- 1

- 2

4

1

О

2

3

у

х

х

- х

у

О

Так как любая пара точек  и , принадлежащих графику четной функции, симметрична относительно оси ординат, следовательно, график любой четной функции симметричен относительно оси ординат (Рис. 1).

Рис. 1.                                                      Рис. 2.

Пример: – четная функция, так как, во-первых, область определения этой функции  симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого  выполняется равенство .

,  (Рис. 2).

Определение: Функция    называется нечетной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть   для любого ;

2)

у

х

х

- х

у

О

- у

для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка  принадлежит графику нечетной функции, то точка   так же принадлежит графику этой функции.

2. Так как любая пара точек  и , принадлежащих графику нечетной функции, симметрична относительно начала координат, следовательно, график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: – нечетная функция, так как, во-первых, область определения этой функции  симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого   выполняется равенство .

, .

Пример: Исследовать на четность и нечетность функции:

1) ;

Область определения данной функции   симметрична относительно начала координат. Найдем   и сравним с : , .

Следовательно,    является четной функцией.

2) ;

Область определения данной функции   симметрична относительно начала координат. Найдем   и сравним с :

,

и . Следовательно,   не является ни четной, ни нечетной функцией.

3) .

Область определения данной функции   симметрична относительно начала координат. Найдем   и сравним с : , .

Следовательно,    является нечетной функцией.

Монотонность функций

Определение:  Функция    называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (Рис. 1).

у

х

х2

х1

у2

О

у1

х3

у3

у

х

х2

х1

у2

О

у1

х3

у3

Определение:  Функция    называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. (Рис. 2)

Рис. 1.                                                     Рис. 2

Вывод: График возрастающей функции - восходящая кривая, график убывающей функции - нисходящая кривая при перемещении вдоль оси абсцисс в положительном направлении.

Определение:  Функция только возрастающая или только убывающая на данном промежутке называется монотонной на этом промежутке.

х

у

О

х

у

О

х

у

О

                                                          

монотонновозрастающая        монотонноубывающая       не монотонная         функция                                функция                               функция

Обратимость функций

Определение: Функция называется обратимой (имеет обратную функцию), если она принимает каждое свое значение один раз.

у

х

О

а

b

c

d

х

у

у

х

О

а

b

c

d

х 3

у 1

х 2

х 1

Рис. 1:                                       Рис. 2:

Функции    (Рис. 1)и   ( Рис. 2) определены на   и имеют множество значений .

Функция     принимает каждое свое значение один раз, то есть у = f ( х ) -обратимая функция.

Функция    принимает некоторые свои значения не один раз, то есть у = j ( х ) -необратимая функция.

Вывод: Обратима только монотонная функция.

Пример: Найти функцию обратную функции . Построить графики взаимно обратных функций.

Решение:

1. Из формулы   выразим х через у: ; ; .

В полученной формуле поменяем местами х и у: .

и     - взаимно обратные функции.

2.

О

х

у

1

2

3

1

2

3

- 3

- 4

- 5

- 4

- 5

- 2

l1

l2

Построим графики взаимно обратных функций   и :

      х - 2 2

   у - 5 3

 х - 5 3

  у - 2 2

График функции     - прямая l₁  проходит через точки ( - 2; - 5) и (2; 3).

График функции   - прямая l₂  проходит через точки ( - 5; - 2) и (3; 2).

Прямая  является осью симметрии прямых l₁   и l₂.

Вывод:

1. Чтобы получить функцию, обратную даннойфункции , надо из формулы    выразить х через у и в полученной формуле поменять местами х и у.

2. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой . 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: