I . ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Стр 1 из 4Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

_____________________________________________________________

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

В г. Смоленске

В.Н. Денисов, В.И. Бобков,

Е.И. Выборнова, Н.Ф. Кулага

МАТЕМАТИКА

УЧЕБНЫЙ ПРАКТИКУМ

и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

Семестр

Смоленск 2010

УДК 51 (076)

М-34

Утверждено учебно-методическим Советом филиала ГОУВПО «МЭИ (ТУ)»в

г. Смоленске в качестве учебно-методического пособия для
студентов 1 курса заочной формы обучения

Рецензент:

Кандидат технических наук, доцент филиала ГОУВПО «МЭИ (ТУ)» в г. Смоленске
А.В. Борисов

П69

Математика. Учебный практикум и контрольные задания для студентов заочной формы обучения 2 семестр.[Текст]: учебно-метод. пособие / Сост.: В.Н. Денисов, В.И. Бобков, Е.И. Выборнова, Н.Ф. Кулага – Смоленск: РИО филиала ГОУВПО «МЭИ (ТУ)», 2010 г. – 52 с.

Пособие предназначено для студентов заочной формы обучения 1 курса технических специальностей при изучении курса высшей математики во втором семестре. Представлен материал разделов «Интегрирование», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Содержание излагаемого материала полностью соответствует тематическому плану курса.

ВВЕДЕНИЕ

Материал данного пособия предназначен студентам первого курса заочной формы обучения СФ «МЭИ(ТУ)». В данном пособии приведены рекомендации по изучению теоретического материала, примеры решения задач, задачи расчетного задания.

В рекомендациях по изучению теоретического материала указана литература и разделы, соответствующие разделам учебной программы.

В других разделах пособия приведены примеры решениях типовых задач, задачи расчетного задания.

При изучении материала студентам вначале нужно проработать его теоретическую часть по лекциям и указанной в рекомендациях литературе. Затем разобрать приведенные в лекциях и рекомендованной литературе примеры на закрепление теоретического материала. После решить задачи расчетного задания и подготовиться к его защите.

Интегральное исчисление

1. Понятие первообразной. Основные свойства неопределенного интеграла.

2. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле.

3. Интегрирование по частям.

4. Интегрирование рациональных дробей.

5. Интегрирование иррациональных выражений.

6. Интегрирование тригонометрических выражений.

7. Понятие интегральной суммы и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.

8. Достаточные теоремы об интегрируемости функции.

9. Основные свойства определенного интеграла.

10. Оценка определенных интегралов.

11. Теорема о среднем для определенного интеграла.

12. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом.

13. Формула Ньютона- Лейбница.

14. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

15. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

16. Применение определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел.

Дифференциальные уравнения.

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.

6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

7. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

8. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

9. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

10. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

11. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.

12. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

13. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).

14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

Ряды

1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Теоремы сравнения.

3. Признаки Даламбера и Коши.

4. Интегральный признак сходимости ряда.

5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7. Понятие равномерной сходимости.

8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14. Разложение по степеням бинома .

15. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням функций , , , .

Интегрирование по частям

Пусть u = u ( x ) и v = v ( x ) – непрерывно дифференцируемые (имеющие непрерывные производные) функции на отрезке [a, b], тогда

. (1.1)

Интегрируя (1.1) в пределах от a до b с использованием формулы Ньютона-Лейбница, находим

, (1.2)

или, учитывая, что и ,

. (1.3)

Для неопределенного интеграла имеем формулы

или

Замена переменной

Пусть выполняются следующие условия:

1) функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a, b];

2) функция х= j ( t ) строго монотонна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a, b];

3) a = j ( a ), b = j ( b );

4) функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке [a, b],

тогда справедливо равенство

= . (1.4)

В случае неопределенного интеграла

Пример 1.1 Вычислить интеграл .

Решение.

Применим метод интегрирования по частям, опираясь на формулы (1.1), (1.2):

= = = = = + =0.

Пример1. 2 Вычислить .

Решение:

Применим метод интегрирования по частям:

= = = = 2 ) = 2 - 4(2 - 4 ) = 10 - 16.

Пример 1.3 Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Применим метод замены переменной с учетом формулы (1.3):

= = = = = = .

В достаточно простых случаях при интегрировании методом замены переменной можно не вводить обозначение новой переменной, а использовать прием внесения под знак дифференциала и инвариантность формул интегрирования.

Пример 1.4 Вычислить .

Решение.

= - = - + C.

Решение.

Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (например, способом деления числителя на знаменатель) как в (2.1):

= .

Следовательно:

= + 4 . (2.3)

Разложим знаменатель дроби на множители:

= , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Согласно (2.2) можно записать в виде:

= . (2.4)

Для определения коэффициентов дроби в правой части равенства (2.4) приведем к общему знаменателю и сложим. В результате получим равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями. Следовательно, числители дробей в левой и правой частях полученного равенства должны быть равны, т.е.:

Два многочлена относительно переменной тождественно равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой.

Приравняем эти коэффициенты и получим систему уравнений относительно :

Подставив найденные коэффициенты в (2.4), получим:

= . (2.5)

Из (2.3) и (2.5) следует, что:

= +4 ( ) = + 2 = + 2 = + 2 = + .

Решение.

Используем универсальную подстановку:

= = 4 .

Разложим подынтегральную рациональную дробь на простейшие и получим:

4 = - =

=- = =

= .

Пример3.2 Вычислить .

Решение.

= .

Подынтегральная функция четная относительно , поэтому используем подстановку

= = = = = = = .

Пример 3.3 Найти .

Решение.

Подынтегральная функция нечетна относительно . Сделаем замену . Тогда

= = = =

= = = .

Решение.

= = =6 = = .

Пример 4.2 Вычислить .

Решение.

= = =

=9 = = .

Пример 4.3 Вычислить .

Решение.

= ,

по условию . Число дробное, а =-1-целое. Поэтому будем использовать вторую подстановку Чебышева.

= =

=-15 =-15 =- =- .

Решение.

Воспользуемся формулой . Для чего найдем

= =

Пример 5.5 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

рис5

Так как плоская фигура вращается вокруг оси Oy, то за независимую переменную надо выбрать y.Применим формулу

Искомый объем есть сумма объемов двух тел, одно из которых получено вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции ОДС, другое – вращением криволинейной трапеции АВСД

Поэтому

= =

Пример 5.6 Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды (см. рис.6) вокруг полярной оси.

рис.6

Решение: , Þ по формуле

= = = = (ед. кв.)

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Уравнения Бернулли.

Уравнение вида (1.4.1), где и называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли можно искать так же как решение линейного дифференциального уравнения, то есть в виде .

Пример 1.4.1. Решить уравнение .

Разделим обе части уравнения на : ( , очевидно, не решение): . Это уравнение Бернулли с . Положим , получим ,

Как и выше сначала находим :

, , , , .

Затем находим решив уравнение :

, , .

Искомое общее решение .

III. РЯДЫ.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Разложение функций в ряды.

Если функция определена вместе со своими производными в некоторой окрестности точки , то она разложима в ряд Тейлора:

(2.8)

при условии, что остаток ряда

(стремится к нулю) при . Здесь , а остаток записан в форме Лагранжа.

Разложение (2.8), в частности, имеет место в промежутке , если функция имеет в нём ограниченные производные всех порядков, то есть если при всех .

При а = 0 ряд Тейлора имеет вид:

и называется рядом Маклорена.

Основными табличными разложениями являются:

1) , ,

2) , ,

3) , ,

4) , ,

6) , ,

7) ,

Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других функций.

Пример 2.9. Разложить в функцию в ряд Маклорена.

Решение. Полагаем . Тогда

Разложение имеет место при всех х.

Иногда разложение функции в ряд получается суммированием табличных рядов.

Пример 2.10. Разложить в ряд функцию

Решение:

Так как , то

, при

Учитывая, что , , получим:

Разложение имеет место при

Для разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки а (то есть, по степеням (х-а)), находят коэффициенты непосредственно, т.е. вычисляют значения производных, либо преобразуют функцию.

Пример 2.11. Разложить в ряд функцию по степеням (х+2) и указать интервал сходимости полученного разложения.