Равномерная сходимость функциональных рядов.

Пусть функциональный ряд

                                                                                 (2.3)

имеет область сходимости G. Ряд (2.3) называется равномерно сходящимся на  к своей сумме , если для любого числа  (сколь угодно малого) найдется номер ( не зависящий от ), такой, что для всех номеров  и сразу для всех  выполняется неравенство . Для исследования на равномерную сходимость можно использовать признак Вейерштрасса: если для функционального ряда  найдется такой числовой знакоположительный сходящийся ряд , что сразу для всех х из некоторого множества D выполняются неравенства  то ряд  равномерно и абсолютно сходится на D.

Пример 2.6. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость на отрезке [0, 1] функционального ряда 

                                                                               (2.4)

При каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0, 01 для всех  Воспользуемся определением равномерной сходимости. Заметим, что для всех  и  выражение .Функция  на [0; 1] монотонно возрастает от 0 до 1 и ряд (2.4) при каждом фиксированном  - знакочередующийся.

Для  выполнены условия признака Лейбница:

1) из неравенства  и теоремы о пределе промежуточной функции следует, что  

2) . Значит, ряд (2.4) сходится в любой точке промежутка .

Очевидно, он сходится при  х = 0. На интервале  – это ряд типа Лейбница, поэтому можно применить оценку (1.11):

Эта оценка справедлива и при х = 0.

Пусть  . Тогда  при Возьмем номер  Очевидно, для всех  и сразу для всех

 , т.е. по определению ряд (2.4) сходится равномерно на [0; 1].

Положим e = 0, 01, тогда из

Имеем  Значит, для  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0, 01.

Пример 2.7. Доказать равномерную сходимость

на отрезке [-2; 2].

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Заметим, что  для любых x, функция  на отрезке [-2; 2] принимает наибольшее значение на концах отрезка.

                                          

т.е. | | не превосходит n-го члена сходящегося числового знакоположительного ряда .

Значит, по признаку Вейерштрасса исходный ряд на [-2; 2] равномерно и абсолютно сходится.

Нахождение сумм степенных рядов.

Функциональный ряд вида

                                                 (2.5)

 называется степенным.

Если ряд (2.5) расходится хотя бы в одной точке, то существует такое число R,

, что

1) для  ряд (2.5) сходится;

2) для  ряд (2.5) расходится.

Это число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал  - интервалом сходимости. Радиус сходимости ряда (2.5) удобно находить:

1) по формулам   или , если пределы существуют;

2) При помощи признаков Даламбера и Коши.

Полезно запомнить следующие свойства степенных рядов:

- на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно;

- на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости, степенной ряд можно почленно интегрировать любое число раз;

- в любой точке интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз.

Напомним, что на интервале     

(сумма геометрической прогрессии).

Пример 2.7. Найти сумму ряда

Легко убедиться, что интервал сходимости ряда - . На этом интервале   

=                                                                          (2.6)

Ряды, стоящие в правой части (2.6), можно получить интегрированием рядов

, ; при этом

Заметим, что  Значит,                                                                                                            

(2.7)

Поэтому, с учетом (2.6), (2.7), имеем

Пример 2.8.Найти сумму ряда

При последовательном дифференцирование ряда  на интервале сходимости |x|< 1 получим:

.

Значит, ,

.

Представим многочлен  в виде: ^,

где A, B, С – неопределённые коэффициенты, которые найдём, решив систему:

Поэтому

Разложение функций в ряды.

Если функция  определена вместе со своими производными в некоторой окрестности точки , то она разложима в ряд Тейлора:

(2.8)

при условии, что остаток ряда

(стремится к нулю) при . Здесь , а остаток записан в форме Лагранжа.

Разложение (2.8), в частности, имеет место в промежутке , если функция  имеет в нём ограниченные производные всех порядков, то есть если  при всех .

При а = 0 ряд Тейлора имеет вид:

  

и называется рядом Маклорена.

    Основными табличными разложениями являются:

1)  ,    ,

2) , ,

3)  , ,

4)  ,         ,

6)  , ,

7) ,   

         .

    Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других функций.

    Пример 2.9.  Разложить в функцию  в ряд Маклорена.

Решение. Полагаем . Тогда

Разложение имеет место при всех х.

Иногда разложение функции в ряд получается суммированием табличных рядов.

    Пример 2.10. Разложить в ряд функцию

Решение:

Так как , то

, при

Учитывая, что , , получим:

.

Разложение имеет место при

  Для разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки а (то есть, по степеням (х-а)), находят коэффициенты непосредственно, т.е. вычисляют значения производных, либо преобразуют функцию.

Пример 2.11. Разложить в ряд функцию  по степеням (х+2) и указать интервал сходимости полученного разложения.

Решение.

Полученное разложение верно для всех х, удовлетворяющих неравенству:

  или

Вычитая из каждой части неравенства по 2, получаем:

область сходимости ряда к своей функции.

 

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы.

1.1.                          1.2.

1.3.                           1.4.

1.5.                    1.6.

1.7.                            1.8.

1.9.                           1.10.

1.11.                        1.12.

1.13.                                 1.14.

1.15.                                 1.16.

1.17.                     1.18.

1.19.                 1.20.

1.21.                     1.22.

1.23.                                 1.24.

1.25.                     1.26.

1.27.                  1.28.

1.29.                                       1.30.

1.31.

 

Задача 2. Найти неопределенные интегралы.

2.1.                         2.2.

2.3.                         2.4.

2.5.                                 2.6.

2.7.                         2.8.

2.9.                        2.10.

2.11.                       2.12.

2.13.                     2.14.

2.15.                2.16.

2.17.                      2.18.

2.19.                             2.20.

2.21.                      2.22.

2.23.                       2.24.

2.25.                       2.26.

2.27.                      2.28.

2.29.                     2.30.

2.31.

 

Задача 3. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

3.1.                                          3.2.

3.3.                                           3.4.

3.5.                             3.6.

3.7.                            3.8.

3.9.                       3.10.

3.11.                                         3.12.

3.13.                       3.14.

3.15.                             3.16.

3.17.                        3.18.

3.19.                             3.20.

3.21.                                       3.22.

3.23.                        3.24.

3.25.                      3.26.

3.27.                     3.28.

3.29.                                   3.30.

3.31.

Задача 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)

4.1. 4.2.

4.3.           4.4.

4.5. 4.6.

4.7.                     4.8.

4.9.

4.10.

4.11.            4.12.

4.13.         

4.14.

4.15.             4.16.

4.17.   4.18.

4.19.                                 4.20.

4.21. 4.22.

4.23.                         4.24.

4.25. 4.26.

4.27.       4.28.

4.29.     4.30.

4.31.          

 

Задача 5. Найти решение задачи Коши.

5.1.    5.2.

5.3.  

5.4.

5.5.         

5.6.

5.7.       5.8.

5.9.               5.10.

5.11.              5.12.

5.13.       5.14.

5.15.              5.16.

5.17. 5.18.

5.19.            5.20.

5.21. 5.22.

5.23.

5.24.

5.25.   

5.26.

5.27. 5.28.

5.29.     

5.30.

5.31.

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.1.                6.2.

6.3.                           6.4.

6.5.                   6.6.

6.7.         6.8.

6.9.                       6.10.

6.11.                       6.12.

6.13.                          6.14.

6.15.                6.16.

6.17.          6.18.

6.19.                       6.20.

6.21.                  6.22.

6.23.            6.24.

6.25.                                  6.26.

6.27.          6.28.

6.29.    6.30.

6.31.

Задача 7. Найти сумму ряда.

7.1. .                                          7.2. .

7.3. .                                   7.4. .

7.5. .                                   7.6. .

7.7. .                                   7.8. .

7.9. .                                       7.10. .

7.11. .                             7.12 .

7.13 .                                  7.14 .

7.15. .                               7.16 .

7.17. .                              7.18. .

7.19. .                               7.20. .

7.21. .                             7.22. .

7.23. .                           7.24. .

7.25 .                                   7.26. .

7.27. .                              7.28. .

7.29. .                           7.30. .

7.31. .

 

 

Задача 8. Исследовать на сходимость ряд.

8.1. .                                        8.2. .

8.3. .                                     8.4. .

8.5. .                                  8.6. .

8.7. .                                           8.8. .

8.9. .                                      8.10. .

8.11. .                                         8.12. .

8.13. .                                       8.14. .

8.15. .                            8.16. .  

8.17. .                                     8.18. .

8.19. .                                                   8.20. .

8.21. .                                              8.22. .

8.23. .                                    8.24. .

8.25. .                        8.26. .

8.27. .                                       8.28. .

8.29. .                                            8.30. .

8.31. .

Задача 9. Найти область сходимости функционального ряда.

9.1. .                           9.2. .

9.3. .                                         9.4. .

9.5. .                            9.6. .

9.7. .                                     9.8. .

9.9. .                                     9.10. .

9.11. .                                    9.12. .

9.13. .                                    9.14. .

9.15. .                               9.16. .

9.17. .                                       9.18. .

9.19. .                           9.20. .

9.21. .           9.22. .

9.23. .                                       9.24. .

9.25. .                                    9.26. .

9.27. .                            9.28. .

9.29. .                                  9.30. .

9.31. .

Задача 10. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

10.1. .                                       10.2. .

10.3. .                                  10.4. .

10.5. .                                           10.6. .

10.7. .                                                   10.8. .

10.9. .                                      10.10. .

10.11. .                                      10.12. .

10.13. .                               10.14. .

10.15. .                                       10.16. .

10.17. .                                        10.18. .

10.19. .                              10.20. .

10.21. .                                         10.22. .

10.23. .                               10.24. .

10.25. .                                              10.26. .

10.27. .                                          10.28. .

10.29. .                                           10.30. .

10.31. .

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2005.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-Пресс, 2005.

 

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: