Формулы площадей поверхностей вращения

,

где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением x=j(y), с£ у£ d, вокруг оси Оу.

,

где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной параметрическими уравнениями x=j(t), y=y(t), a£ t£ b.

,

где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной уравнением в полярных координатах , a£ j£ b.

 

Пример5.1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями  и .

Решение: На рис. 2 представлена фигура площадь которой требуется найти.

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

Þ

При решении квадратного уравнения системы , получаем два корня х₁=-2, х₂=1.

              рис. 2.                    

 

f₁(x)= x²+1, f₂(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).

Теперь можно вычислить площадь фигуры: = = =

 

Пример 5.2 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

 рис.3.

В силу симметричности заштрихованной фигуры, ее площадь

 Найдем угол, который образует луч ОВ с полярной осью:

Согласно формуле , имеем:

=2 = = =

Пример 5.3   Найти длину дуги полукубической параболы  от х=0 до х=5 (рис. 4).

Решение: Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения  находим . Далее, применяя формулу  получим

= (ед.)

рис.4.

 

Пример 5.4 Найти длину дуги кривой, заданной параметрически:

 

Решение.

Воспользуемся формулой . Для чего найдем

= =

 

Пример 5.5  Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение.

рис5

 

Так как плоская фигура вращается вокруг оси Oy, то за независимую переменную надо выбрать y.Применим формулу

Искомый объем есть сумма объемов двух тел, одно из которых получено вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции ОДС, другое – вращением криволинейной трапеции АВСД

Поэтому

= =

 

Пример 5.6 Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды  (см. рис.6) вокруг полярной оси.

 

рис.6

Решение: , Þ по формуле 

= = = = (ед. кв.)

 

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

 

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида  (1.1.1) называются уравнениями с разделёнными переменными. Функции  и  будем считать непрерывными. Решение этого уравнения может быть получено интегрированием , где С – произвольная постоянная. Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы  или  нельзя выразить в элементарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения выполненной в том смысле, что свели ее к более простой и уже изученной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопределенных интегралов.

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию , то оно, очевидно, определяется из уравнения

Пример 1.1.1.  Переменные разделены, так как коэффициент при  является функцией только x, а коэффициент при  является функцией только от y. Интегрируя, получим , или  - семейство окружностей с центром в начале координат.

Пример 1.1.2. . Интегрируя, получаем . Интегралы  и  не берутся в элементарных функциях, тем не менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квадратур.

Уравнения вида  (1.1.2) в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так как путём деления на  они приводятся к уравнениям с разделёнными переменными .

Заметим, что деление на  может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение .

 

Пример 1.1.3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Преобразуем его к виду удобному для разделения переменных:

.

Разделяя переменные и интегрируя: ,

имеем , или общий интеграл

.

К полученному общему решению следует добавить потерянные решения  и , которые не могут быть получены из общего решения ни при каких значениях константы .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: