Лекция 6 Законы распределения случайных величин

Законы распределения отказов, являющихся случайными величинами, имеют большое значение для теории и практики обеспечения надежности изделий. Знание этих законов позволяет рассчитывать и прогнозировать надежность изделий.

Из большого разнообразия законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей, наибольшее значение для надежности имеют пять основных законов распределения и два вспомогательных:

§ биномиальный и Пуассона — для дискретных случайных величин;

§ экспоненциальный, Вейбулла и нормальный — для непрерывных величин.

§ хи-квадрат и гамма-распределение.

Для сложных и многофункциональных распределений применяются сочетания указанных законов распределения и усеченные законы распределения.

Применение того или иного закона распределения обусловливается характеристиками проявления отказов изделий и изменения их во времени.

Для подавляющего большинства механических, гидравлических и электрических устройств, входящих в авиационные изделия, практически невозможно выделить только внезапные или только постепенные отказы.

Обычно встречаются различные сочетания обоих типов отказов, и поэтому применительно к каждому конкретному изделию путем анализа экспериментальных данных приходится оценивать их соответствие теоретическому закону распределения отказов.

При этом необходимо отметить, что применение для авиационных изделий экспоненциального закона распределения, действительного для внезапных отказов, требует специального обоснования и может быть допущено для сравнительно коротких отрезков времени, равных продолжительности одного полета.

Рассмотрим основные характеристики законов распределения, наиболее часто применяемых для прогнозирования изменения отказов и являющихся исходными для сочетаний законов распределения отказов сложных изделий.

Биноминальное распределение

Биноминальное распределение широко применяется для исследования дискретных случайных величин, встречающихся в теории надежности.

Это распределение может быть получено, если в качестве случайной величины взять число отказов, возникающих в процессе проведения в одинаковых условиях однотипных независимых испытаний выборки изделий.

Это распределение применяется только для положительных целых значений случайных величин.

Если обозначить через  вероятность появления отказа в каждом из испытаний ( ),  — число испытаний,  - возможное число появления отказов при  испытаний, то вероятности возможных значений , т.е. вероятности возможных значений рассматриваемой случайной величины , определяются по формуле Бернулли:

 - число всех возможных сочетании, которое можно образовать из  испытаний, собирая в каждом из них по  отказов.

Распределение дискретной случайной величины, определяемое данной формулой, называется биноминальным распределением.

В качестве примеров практического применения биномиального закона можно указать:

1. статический контроль качества выборки изделия, составляющей не более 10% от объема партии;

2. определение количества отказов невосстанавливаемых изделий в течение заданного времени при их испытаниях.

В обоих случаях количество бракованных изделий или количество отказов подчиняется биномиальному закону распределения.

Биноминальное распределение так же может использоваться для определения количества отказов неремонтируемых изделий в течении заданного времени испытаний при достаточно большой вероятности отказа ( ).

При  может быть заменено нормальным законом распределения.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона, иногда, так же, как и биномиальное распределение, распространяется на те случаи, когда случайная величина принимает целые и положительные значения.

Физический смысл распределения Пуассона такой же, как и биномиального, т.е. оно определяет вероятность появления в малых выборках различных значений случайной величины  (например, отказов).

Эта вероятность находится по формуле: ;

 – вероятность отказа в одном испытании;  —количество изделий в выборке;

Сущность распределения Пуассона может быть показана геометрически.

Допустим в координатной плоскости  выделена фиксированная площадь , в которой случайным образом распределено определенное число точек . Необходимо знать, с какой вероятностью можно ожидать, что в элементарную площадку  из общего числа точек попадает заданное число точек .

При этом, должны соблюдаются следующие условия:

1. точки распределены на площади  с одинаковой плотностью , т.е. имеет место простейший поток точек ( свойство стационарности );

2. распределение точек в плоскости независимое, т.е. попадания того или иного числа точек в неперекрывающиеся участки площади независимы;

3. , т.е. вероятность попадания двух или более точек на элементарную площадку  пренебрежимо мала по сравнению с попаданием одной точки ( свойство ординарности ).

Т.е., для , в рассмотренной геометрической интерпретации закона Пуассона величина .

Распределение Пуассона можно использовать:

1. как заменитель биномиального распределения в тех случаях, когда действует биномиальный закон, но вероятность ;

2. при выполнении ряда расчетов по надежности и при испытаниях ремонтируемых изделий, для которых распределение Пуассона имеет самостоятельное значение.

В частности, для ремонтируемых изделий при установившихся режимах работы случайное число отказов распределено по закону Пуассона. В этом случае возможность применения закона Пуассона не зависит от величины вероятности .

Для того чтобы доказать правильность предположения о наличии пуассоновского распределения случайных величин на практике вычисляют  и . И, если их значения близки, то это подтверждает правильность предположения о наличии распределения Пуассона.

Заметим, что распределение Пуассона при  трансформируется в экспоненциальное распределение.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: