Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон распределения — один из основных законов распределения длительности срока службы технических устройств.

В частности, этому закону следуют:

1. наработка до отказа некоторых неремонтируемых изделий;

2. наработка между отказами ремонтируемых изделий при их работе на установившихся режимах (для внезапных отказов, не связанных с износом или старением элементов изделия).

Основной параметр экспоненциального распределения является , которым характеризуются интенсивность отказов для неремонтируемых и п араметр потока отказов: для ремонтируемых изделий.

Для неремонтируемых изделий  показывает, какая доля работающих в данный момент изделий выходит из строя в единицу времени после момента .

Используется данный закон для описания случайных отказов, для которых справедливо условие - .

Т.е., приняв в качестве случайной переменной величины время  (наработку до отказа или между отказами) и считая , можно выразить плотность распределения длительности величины  следующей формулой:

Функция экспоненциального распределения определяется из уравнения

Так как , то получим

Эта очень важная формула называется основным уравнением надёжности.

Используя соотношение   можно вывести следующее общее выражение вероятности безотказной работы  для любого закона изменения  во времени

Для случая  получаем приведёную формулу для экспоненциального закона:

На практике часто бывает так, что экспоненциальный закон не имеет места ( ), но и в этом случае его можно применять для ограниченных отрезков времени.

Это допущение оправдывается тем, что при ограниченном периоде времени переменную интенсивность отказов без большой ошибки можно заменить средним значением:

В заключение следует отметить, что экспоненциальный закон применим только к таким изделиям, которые не испытывают старения или износа во время работы ( или к изделиям, у которых этот процесс протекает очень медленно ).

Это закон в основном применяется для распределения внезапных отказов, которые случайным образом обнаруживаются при испытаниях или в эксплуатации. Он распространяется только на положительные непрерывные случайные величины.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла также находит широкое применение в теории надежности. Это распределение получено эмпирически в результате исследования распределения сроков службы.

Для непрерывной случайной величины (времени наработки)  плотность распределения по Вейбуллу выражается формулой:

где  — переменный параметр, имеющий разное значение для отдельных типов изделий ( подбирается в результате обработки экспериментальных данных ).

Например, при описании отказов подшипников или насосов-регуляторов, для которых наиболее характерными являются постепенные отказы, связанные с износом, коэффициент  принимает значения 1, 2…1, 8.

Закон Вейбулла является универсальным законом, в зависимости от значения  он описывает все этапы эксплуатации:

при , имеем экспоненциальное распределение – зона нормальной эксплуатации;

при , с ростом  убывает – зона приработки;

при , с ростом  возрастает – зона старения и износа.

t₀ — параметр, связанный со средней наработкой на отказ уравнением

где  — гамма-функция ( ).

Таблицы для гамма-функций даны в математических справочниках.

В результате интегрирования и последующих преобразований получаются следующие уравнения:

— для любого целого значения

На рисунке ниже представлены примерные зависимости ,  и  для распределения Вейбулла.

Нормально распределение

Нормальное распределение (нормальный закон распределения Гаусса) занимает особое место и играет исключительно важную роль в теории вероятностей и теории надежности.

Главная его особенность состоит в том, что нормальное распределение является предельным распределением, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний приближаются другие законы распределения.

Можно показать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабозависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения, причем тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется.

Основное ограничение, налагаемое на суммирование случайных величин, состоит в том, что все величины должны играть в общей сумме относительно малую роль (к таким случайным величинам относятся, например, ошибки измерения, ошибки методического порядка и т.п.).

Если это условие не выполняется и одно из случайных значений резко превалирует в сумме над всеми другими, то это оказывает свое влияние на сумму и определяет в основном ее закон распределения.

В отличие от экспоненциального и Вейбулловского распределений, которые применимы только для положительных непрерывных случайных величин, нормальное распределение применимо для непрерывных случайных величин, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения на всём числовом промежутке.

Плотность нормального распределения определяется формулой

Графики изменения плотности распределения представлены на рис. ниже.

Рассмотрим частный случай, когда  , a , т. е. .

где  - математическое ожидание;

 - среднее квадратичное отклонение. Отметим, что наряду с дисперсией  является одним из параметров нормального закона распределения (первым моментом). При этом, чем выше его значение, тем длиннее «хвосты» распределения.

Для этой функции можно выписать значения  для нескольких величин  (табл. 7).

Из табл. 7 следует, что при значениях  величина  очень мала.

Это свойство часто используют в практике при анализе характеристик распределения, рассмотрение закономерностей ограничивают приближенными значениями  только до значений , это так называемое правилом 3 сигма.

Правило 3 сигма - вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на большую величину, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Правило справедливо только для случайных величин, распределенных по нормальному закону.

Функция распределения, определяемая через плотность распределения, выражается так:

Интеграл  в конечном виде не берется. Он вычисляется с помощью табулированной функции вида , где

Вычисление производится для случая, когда величина  имеет нормальное распределение, а величины  и  имеют значения 0 и1 соответственно.

Функция  называется табличной функцией нормального распределения, или функцией Лапласа, а ее таблицы приведены в книгах по теории.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: