Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1. Момент инерции материальной точки массой m относительно произвольной оси , где r – расстояние от точки до оси. 2. Момент инерции механической системы, состоящей из n материальных точек, относительно произвольной оси равен сумме произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси , где mi – масса i-ой материальной точки. 3. Момент инерции тела массой m относительно оси, проходящей через центр масс: а) полого тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси цилиндра (для обруча относительно оси, перпендикулярной его плоскости) , где R – радиус цилиндра (обруча); б) сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра , где R – радиус цилиндра (диска); в) однородного шара радиусом R ; г) однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему: , где l – длина стержня. 4. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями . 5. Моментом силы относительно некоторой точки O называют векторную величину , которая определяется выражением: ,
ветствии с этим правилом вектор изображен на рис. 4 кружком с вписан- Рис.4 ным в него крестиком. Числовое значение вектора равно , где – угол между направлениями векторов и . 6. Моментом силы относительно оси z называют параллельную этой оси составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) [ ] z. 7. Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис. 5) = [ ] = m [ ], где – радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, где находится материальная точка массой m; – импульс точки. Числовое значение момента импульса , где – угол между векторами и . 8. Моментом импульса относительно оси z называют составляющую по этой оси момента импульса относительно точки О, лежащей на оси: = [ ] z. 9. Проекция вектора момента импульса твердого тела (материальной точки) на ось z , где – проекция вектора угловой скорости на ось z; I z – момент инерции тела относительно оси z. 10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси . Учитывая, что , уравнение динамики вращательного движения можно записать так: , где – проекция вектора углового ускорения на ось вращения. Уравнения для твердого тела справедливы и для системы тел, если считать, что момент импульса системы тел (материальных точек) , а сумма моментов всех внешних сил . 11. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой механической системы с течением времени не изменяется . Пример 5. Блок, имеющий форму диска массой m = 0, 4 кг, вращается под действием силы натяжения невесомой нерастяжимой нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0, 3 кг и m2 = 0, 7кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока. Дано: m = 0, 4кг; m1 = 0, 3 кг; m2 = 0, 7кг; g = 9, 81 м/с2. Найти: Т1; Т2.
; .
; . Тогда . (1) Со стороны нити на диск действуют силы натяжения и . Вращающий момент, создаваемый этими силами относительно оси z, проходящей через центр диска и направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас: , где R – радиус диска. Так как нить по условию задачи невесомая, то ; . Тогда . Запишем уравнение динамики вращательного движения для диска . Так как , , то, делая подстановку, можем записать ; . Подставив выражения (1), определяющие Т1 и Т2, после несложных преобразований получим . Подставим числовые значения м/с2. Найдем значения Т1 и Т2: Н; Н. Ответ: Т1 = 3, 9 Н; Т2 = 4, 6 Н.
Пример 6. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вдоль оси вращения скамейки (вертикально). Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой . Радиус R колеса равен 20 см, его масса m = 3 кг. Определить частоту вращения скамьи n, если человек повернет стержень на угол 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 6 кг× м2. Масса колеса равномерно распределена по ободу. Дано: ; R = 0, 2 м; m = 3 кг; кг× м2; α = 1800. Найти: n. Решение. Согласно условию задачи момент внешних сил относительно оси вращения z можно считать равным нулю. В этом случае проекция вектора момента импульса всей системы (рис.7) на ось z изменяться не будет (закон сохранения момента импульса).
а) б) Рис.7 Запишем закон сохранения момента импульса в проекциях на ось z, учитывая, что в начальный момент времени скамья и человек были неподвижны: или , (1) где проекция вектора момента импульса колеса на ось z в начальный момент времени; – момент инерции колеса относительно оси z; – угловая скорость колеса; – проекция вектора момента импульса скамьи и человека на ось z после того, как человек повернул стержень; – угловая скорость скамьи; – проекция вектора момента импульса колеса на ось z после того, как человек повернул стержень. Из уравнения (1) выразим ω: . (2) Момент инерции колеса, с массой равномерно распределенной по ободу, . Так как , , то, делая подстановку в уравнение (2) и произведя сокращения, получим . Подставим числовые значения и выполним вычисления . Ответ: . ТЯГОТЕНИЕ
1. Закон всемирного тяготения , где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек массами и ; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная. Это уравнение справедливо также для взаимодействующих тел, представляющих собой однородные шары. В этом случае r – расстояние между центрами масс шаров. 2. Напряженность гравитационного поля , где – сила, действующая на материальную точку массой в данной точке гравитационного поля. Напряженность гравитационного поля вблизи поверхности Земли приближенно равна ускорению свободного падения. 3. Сила тяжести , где – ускорение свободного падения. 4. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения действует на опору или подвес. 5. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга: . 6. Потенциал гравитационного поля , где – потенциальная энергия материальной точки массой , помещенной в данную точку поля. 7. Первой космической скоростью называют такую минимальную скорость, которую следует сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли. 8. Второй космический скоростью называют такую наименьшую скорость, которую следует сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
1. Работа силы на пути , где α – угол между направлением силы и направлением движения точки приложения силы. В случае постоянной силы , действующей под углом α к перемещению: . 2. Мгновенная мощность , где – скалярное произведение векторов и ; α – угол между векторами и . 3. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью υ : . 4. Потенциальная энергия тела массой , поднятого на высоту над поверхностью Земли: , где h – высота, отсчитываемая от нулевого уровня, для которого . Эта формула справедлива при условии , где – радиус Земли. 5. Сила упругости , где – коэффициент упругости (в случае пружины – жёсткость); – величина деформации. 6. Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины) . 7. Кинетическая энергия тела массой , вращающегося относительно оси z: , где – момент инерции тела относительно оси вращения; – проекция вектора угловой скорости на ось z. 8. Кинетическая энергия тела, участвующего в поступательном и вращательном движениях: , где υ – скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс. 9. Работа внешних сил при вращении твердого тела , где – проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на ось z; – угол, на который поворачивается тело за время . 10. Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия с течением времени не изменяется .
Пример 7. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой = 30 кг. Определить работу , которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и её радиус считать известными. Дано: = 30 кг; = 9, 81 м/с2; = 6, 37× 106 м. Найти: . Решение. Механическую систему Земля-метеорит можно считать замкнутой. Со стороны Земли на метеорит действует сила тяготения. Это сила консервативная, поэтому при движении метеорита в поле тяготения Земли его механическая энергия изменяться не будет. Так как метеорит был бесконечно далеко удален от Земли, то его потенциальная энергия в начальный момент времени была равна нулю , где – гравитационная постоянная; – масса метеорита; – масса Земли; – расстояние от центра масс Земли до метеорита. Если , то . Потенциальная энергия метеорита вблизи поверхности Земли , где – радиус Земли. В соответствии с законом сохранения механической энергии , где – кинетические энергии метеорита в начальный момент времени и вблизи поверхности Земли. По мере приближения к Земле потенциальная энергия метеорита будет убывать, а его кинетическая энергия – увеличиваться. При движении метеорита в гравитационном поле Земли сила тяготения совершает работу. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии метеорита и совершается за счет убыли его потенциальной энергии . (1) На метеорит вблизи поверхности Земли действует сила тяготения . Если пренебречь суточным вращением Земли, то в соответствии со вторым законом Ньютона , тогда . Делая подстановку в уравнение (1), получим . Выполним вычисления . Ответ: . Пример 8. Диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости. Найти линейную скорость υ центра масс диска у основания наклонной плоскости, если ее высота h равна 0, 5 м, начальная скорость движения диска υ 0 равна нулю, угол α, который плоскость составляет с горизонтом, равен 30°. Сколько времени будет скатываться диск? Дано h = 0, 5 м; υ 0 = 0 м/с; α = 300; м/с2. Найти: υ ; t. Решение. В начальный момент времени кинетическая энергия диска равна нулю, а его потенциальная энергия , где – масса диска; – ускорение свободного падения.
Рис.8
У основания наклонной плоскости потенциальная энергия диска равна нулю, а его кинетическая энергия , где – кинетическая энергия поступательного движения; – кинетическая энергия вращательного движения; – момент инерции диска относительно его геометрической оси (ось, проходящая через центр масс диска перпендикулярно плоскости рисунка); – угловая скорость диска относительно его геометрической оси. Так как ; , где – радиус диска, то . Тогда . В соответствии с законом сохранения механической энергии . Делая подстановку, запишем . Найдем скорость диска у основания наклонной плоскости . Подставив числовые значения, получим м/с. На диск во время движения действуют постоянные по величине силы. Следовательно, диск будет двигаться с постоянным по модулю ускорением а. В этом случае ; (1) , (2) где – длина наклонной плоскости. Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем время скатывания . Выполним вычисления . Ответ: υ м/с; с. Пример 9. Пружина жесткостью сжата силой . Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на . Дано: ; ; = 2 см = 0, 02 м. Найти: . Решение. Пусть внешняя сила сжимает пружину на величину . В соответствии с законом Гука . Так как , то потенциальная энергия пружины в этом состоянии . Потенциальная энергия пружины, сжатой на величину ( ): . Работа, совершаемая внешней силой при сжатии пружины, идет на увеличение ее потенциальной энергии. В соответствии с законом сохранения механической энергии . Подставим числовые значения . Ответ: . Пример 10. Якорь двигателя вращается с частотой . Определить вращающий момент , если двигатель развивает мощность . Дано: ; . Найти: . Решение. При повороте якоря на угол вращающий момент совершает работу , где – проекция вектора момента силы на ось вращения z. Мощность двигателя , где – угловая скорость якоря. Найдем вращающий момент: . Выполним проверку размерности . Выполним вычисления . Ответ: .
Пример 11. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, зависит от угла поворота по закону . При этом вращающий момент . Найти значение n. Дано: ; . Найти: n. Решение. Пусть тело вращается относительно неподвижной оси z. Его кинетическая энергия равна , где – момент инерции тела относительно оси вращения; – проекция вектора угловой скорости на ось z. Так как , то . Тогда . Запишем уравнение динамики вращательного движения тела относительно оси z или , (1) где – проекция вектора момента силы на ось ; – проекция вектора углового ускорения на ось z. Делая подстановку в уравнение (1), получим , где . Ответ: .
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 207; Нарушение авторского права страницы