Смешанные произведения векторов

Определители

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, заданных координатами

4. Смешанные произведения векторов

Цели занятия: познакомиться с понятием «матрица», ее математическим и физическим смыслом; понять, что нахождение определителя матрицы является базовым при нахождении векторного и смешанного произведения векторов; понять геометрический смысл смешанного произведения векторов.  

Роль и место лекции

Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Матрицы» и «Системы линейных уравнений». Такое фундаментальное понятие, как «определитель» позволит находить решения систем линейных уравнений, смешанное и векторное произведение векторов и т.д. Понятие «смешанное произведение векторов» является одним из связующих звеньев между алгеброй, геометрией и векторным анализом.

1. Определители

Определение 1.

Квадратной матрицей называется таблица чисел, состоящая из n строк и n столбцов. Обозначаются матрицы прописными буквами A, B, C и т. д.

,                 (1)

где  - элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Определение 2.

Определителем, или детерминантом второго порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице второго порядка и определяемое следующим образом:

54

 .        (2)

1.1. Свойства определителя

1. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный:

.

2. Если все элементы строки, столбца – нули, то определитель равен нулю:

.

3. Если в матрице одинаковые две строки (столбца), то определитель равен нулю:

.

4. Если в матрице пропорциональны две строки (столбца), то определитель равен нулю:

.

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

.

6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить элементы какой-нибудь другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число:

  .

Доказательство (основано на определении).

.

55

Определение 3.

Определителем или детерминантом третьего порядка, называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице третьего порядка и определяемое следующим образом:

.(3)

Замечание!!!

Так как определитель третьего порядка определяется через определитель второго порядка, то все описанные свойства определителя второго порядка справедливы и для третьего.

Определение 4.

Минором  элемента  называется определитель, полученный вычеркиванием i -й строки, j -го столбца, на пересечении которых находится элемент:

.                                     (4)

Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:

.

Определение 5.

Алгебраическим дополнением  элемента  называется минор , умноженный на : :

  , .              (5)

Учитывая введенное обозначение, запишем определитель третьего порядка:

.                   (6)

56

Аналогичный вывод можно было получить для элементов 2-й и 3-й строки.

Теорема 1 (Лапласа).

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения равна определителю. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю:

.

Определение 6.

Определителем n -го порядка называется число, которое можно поставить в соответствие квадратной матрице n -го порядка и определяемое как

. (7)

2. Векторное произведение векторов

Определение 7.

Векторным произведением векторов  и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

 1) ; 2) ;

 3)  направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется против часовой стрелки (рис. 1), и обозначается .

ПРИМЕР 1.

Вектор угловой скорости  определяется вектором линейной скорости  и радиус-вектором  как .

 

57

2.1. Свойства векторного произведения

1) ;                    2) ;

3) ;        4) Коллинеарности векторов

.                       (8)

Геометрический смысл векторного произведения

Из определения 7 следует, что  есть площадь параллелограмма, построенного на векторах  и . Площадь треугольника, построенного на векторах  и , определяется как .

3. Векторное произведение векторов,

Заданных координатами

Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями: , .

Векторное произведение этих векторов:

. Заметим (рис. 2), что , , , , , , , , , так как это базисные векторы. Тогда = = =

 .     (9)

Следствие!!! Из (9) и 4-го свойства определителя следует, что

 .                             (10)

4. Смешанное произведение векторов

Определение 8.

58

Смешанным, или векторно-скалярным, произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению векторного произведения двух первых векторов на третий и обозначается  или .

По определению 8 .

4.1. Свойства смешанного произведения

1) ; 2)  (круговая перестановка).

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: