Векторное, каноническое и параметрическое уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Прямая как линия пресечения двух плоскостей

4. Угол между двумя прямыми в пространстве

5. Угол прямой с плоскостью

6. Точка пересечения прямой и плоскости

Цели занятия: научиться определять вид уравнения прямой для различных условий; получить представление о пространственном положении прямой различного вида; научиться определять взаимное положение между прямыми и прямой и плоскостью в пространстве.

Роль и место лекции

В предыдущей лекции начато изучение раздела математики «Аналитическая геометрия». Мы познакомились с видом аналитических выражений для различных плоскостей. Полученные знания непосредственно пригодятся в Лекции 12 при определении взаимного положения прямой и плоскости, а также при определении прямой как линии пересечения плоскостей. В данной лекции при решении вопроса о пересечении плоскостей пригодятся знания, полученные по системам линейных уравнений. Кроме того, необходимы знания векторной алгебры. Представленный в этой лекции материал потребуется при рассмотрении прямой в системе координат на плоскости. 

1. Векторное, каноническое и параметрическое уравнения прямой

Возьмем произвольную точку . Через одну точку можно провести бесконечное число прямых l, поэтому зададим направление прямой, задав направляющий вектор . Возьмем текущую точку . Очевидно (рис. 1)

.                   (1)

Поскольку , то , т. е.

86

.                      (2)

Из (1) и (2) , откуда векторное уравнение прямой

                               .                           (3)

Если векторы (3) представить в системе координат, то получим уравнение прямой в пространстве в параметрическом виде

 .                      (4)

Из (4) выразим t: , , . Или представим уравнение прямой (4) в каноническом виде

 .                       (5)

Если за направляющий вектор взять , то выражение (5) примет вид

.                (6)

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть l проходит через  и . Тогда за направляющий вектор возьмем , и выражение (5) примет вид уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

 .                (7)

3. Прямая, как линия пресечения двух плоскостей

Даны две плоскости:  и  с перпендикулярами  и . Пусть эти плоскости пересекаются. Пересечение плоскостей образует прямую . Т. е.  и . Следовательно, общее уравнение прямой l будет определятся системой уравнений

87

 .                (8)

3.1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому

Поскольку  и , то  и . Следовательно  и . То есть . Решим систему (8). Поскольку плоскости пересекаются , то . Свободных неизвестных: 3-2=1. Пусть , тогда, подставляя ее в (8), получим систему уравнений определяющих точку прямой .

ПРИМЕР 1.

Прямая задана системой . Представим это уравнение в каноническом виде. Определим направляющий вектор 

.

Определим точку . Примем .

.

Вычитаем из первого уравнения второе и получим , откуда , , а точка , а уравнение прямой в каноническом виде

.

3.2. Переход от канонического уравнения прямой к общему

Запишем (7) в виде системы уравнений

 .                    (9)

88

Т. е. прямая в пространстве может быть образована двумя плоскостями  и  или двумя плоскостями, параллельными двум координатным осям.

 4. Угол между двумя прямыми в пространстве

Заданы две прямые в пространстве  и . Определим угол . Угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами

 . (10)

4.1. Условие перпендикулярности прямых

 или  .

4.2. Условие параллельности прямых

 или  .

 5. Угол прямой с плоскостью

Дана плоскость  и прямая 

.

Определение 1.

Углом прямой с плоскостью называется угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость .

Учитывая  и правило скалярного произведения, определим

 .   (10)

89

5.1. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

 или  .

5.2. Условие параллельности прямой и плоскости

 или  .

ПРИМЕР 2.

Даны:  и . Их расположение:

а)   и  не перпендикулярны.

б)  и  не параллельны.

в) .

6. Точка пересечения прямой и плоскости

Дана плоскость  и прямая . Тогда точка пересечения будет определяться системой уравнений

 = . (11)

Откуда       ,

.

Рассмотрим три случая:

1. Если , то . Тогда t подставляем в (11).

2. Если  и , тогда t – множество и .

3. Если , но , тогда решений нет и l не пересекает , т. е. .

90

ПРИМЕР 3.

Даны: точка и плоскость . Определить точку проекции М₁на плоскость. Определим их положение.

Запишем с учетом  уравнение прямой, проходящей через точку М , тогда точка пересечения будет определяться системой , откуда . Т. е. .

Заключение

В лекции рассматривалось уравнение прямой в пространстве. Важно понять, что плоскость – это частный случай уравнения прямой. Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве аналогичны условиям для плоскостей. При определении прямой как линии пересечения двух плоскостей необходимо знать правило векторного умножения. В следующей лекции будет рассматриваться частный случай прямой в декартовой системе координат на плоскости. Отметим следующее:

- в каноническом уравнении прямой в пространстве двойное равенство;

- общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух уравнений плоскости в пространстве;

- если в уравнении прямой отсутствует переменная, то это уравнение плоскости в ;

- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;

- угол между прямой и плоскостью определяется не через косинус, а через синус угла;

- при определении точки пересечения прямой и плоскости необходимо решать систему уравнений.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000.  – 208 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

 

91

Лекция 13

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: