Прямая линия в системе координат на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости и ее исследование

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

6. Угол между двумя прямыми на плоскости

Цели занятия: рассмотреть уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат как частный случай прямой в пространстве; научиться определять аналитическое выражение по виду прямой; обобщить знания, полученные в школе по теме «Уравнение прямой», на общий случай уравнения прямой в декартовой системе координат.

Роль и место лекции.

В предыдущей лекции изучен общий вид уравнения прямой. Однако не всегда необходимо рассматривать прямую в пространстве. Зачастую необходимо рассматривать прямую на плоскости в декартовой системе координат. В этом случае общее уравнение прямой существенно упрощается и становится более наглядным. Теоретические сведения этой лекции тесно связаны с материалом предыдущих двух лекций. В частности, уравнение прямой в декартовой системе координат можно определить как прямую, образованную пересечением некоторой плоскости с одной из координатных плоскостей. Содержание лекции важно для тем: «Функциональный анализ», «Теория дифференциального счисления» и др.

1. Общее уравнение прямой на плоскости и ее исследование

Даны две плоскости:  и . При пересечении этих плоскостей образуется прямая , т. е. , или

 .                         (1)

То есть общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат (как и для плоскости) есть уравнение первой степени только в системе двух координат.

Замечание!!!

92

1.  - уравнение прямой в плоскости yOz;

2.  - уравнение прямой в плоскости xOz.

1.1. Исследование общего уравнения прямой

I. Одна из констант A, B равна нулю.

1. Пусть A =0. Тогда  или  (рис. 1).

2. Пусть B =0. Тогда  или  (рис. 2).

Вывод!!!

Если в общем уравнении прямой отсутствует одна из переменных, то прямая параллельна координатной оси, одноименной с отсутствующей переменной.  

II. Свободный коэффициент D=0. То есть . Следовательно,  или точка . Прямая проходит через начало координат.

Вывод!!!

Если в общем уравнении прямой отсутствует свободный коэффициент, то прямая проходит через начало координат (рис. 3).  

III. Одна из констант A, B равна нулю и D=0.

1. Пусть A=D=0. Тогда , или .

2. Пусть B=D=0. Тогда , или .

Вывод!!! Уравнение прямой Ox имеет вид , а уравнение прямой Oy имеет вид .

2. Уравнение прямой в отрезках

Даны две плоскости в отрезках  и . При пересечении этих плоскостей образуется прямая , т. е. 

.

93

Решая эту систему, определим уравнение прямой в отрезках (рис. 4)

 .        (2)

Вывод!!!

Очевидно, что как для плоскости, так и для прямой, проходящей через начало координат, уравнение в отрезках записать нельзя.

ПРИМЕР 1.

. Перейдем к уравнению в отрезках  (рис.5).

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Обозначим  - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox,  – угловой коэффициент прямой l, b – отрезок OB, отсекаемый на оси Oy, точка B(0, b) (рис. 6).

Эта точка и  определяют единственную кривую на плоскости. Возьмем некоторую текущую точку ,  – текущие координаты. Из  определим . То есть , откуда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

 .                                 (3)

3.1. Переход от общего уравнения прямой к уравнению

 с угловым коэффициентом

Разрешим уравнение (1) относительно y. Получим , где  и  имеют смысл лишь при .

Вывод!!!

Уравнение прямой с угловым коэффициентом можно записать только для прямой не параллельной оси .

4. Уравнение прямой,

проходящей через заданную точку в заданном направлении

Дано:  и  – угловой коэффициент к прямой l. Составим уравнение этой прямой. В уравнении  неизвестно b. Поскольку точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда получим

94

 .                         (4)

Тогда уравнение прямой будет иметь вид , откуда

 .                    (5)

ПРИМЕР 2.

Даны точка и угол падения луча . Составить уравнение падающего и отраженного лучей. Изобразим это на рис. 7. Обозначим прямую падающего луча , а отраженного – . Для уравнения  используем (5):  или . Определим точку пересечения этой прямой с осью :  или , откуда . То есть точка . Определим для прямой  угловой коэффициент . Тогда уравнение (5) будет иметь вид  или .

5. Уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки

В плоскости  даны две точки  и . Запишем (5) для точки

.                        (6)

Поскольку обе точки лежат на одной прямой, то точка  также удовлетворяет (6) , откуда

 .                           (7)

95

Тогда прямая (5) с заданным коэффициентом (7), проходящая через точку , будет иметь вид

.

Разделим обе части равенства на  и получим уравнение прямой в плоскости, проходящей через две заданные точки

 .                      (8)

6. Угол между двумя прямыми на плоскости

Даны две прямые  и  (рис. 8). Обозначим  и  – угловые коэффициенты этих прямых. Обозначим через  – угол между этими прямыми. В треугольнике  угол  – внешний, поэтому , откуда . Тогда

 .        (9)

6.1. Условие перпендикулярности прямых

Или ,  не существует, следовательно в (9) знаменатель , откуда  или , или  .

6.2. Условие параллельности прямых

, , следовательно, в (9) числитель , откуда  или  .

ПРИМЕР 3.

Даны точки , , . Найти уравнение медианы  и высоты . Точка D находится посередине отрезка BC, поэтому ее координаты , а уравнение медианы

96

или  – прямая, параллельная оси . Для определения уравнения высоты определим ее угловой коэффициент через . Но , тогда . Окончательно уравнение высоты: . Для  имеем  или .

Заключение

В лекции закончено рассмотрение уравнений первого порядка, которые описывают либо плоскость в пространстве, либо прямую на плоскости. Важно запомнить основные уравнения прямой на плоскости и правила перехода между ними. Это пригодится в дальнейшем при изучении темы «Функциональный анализ» и др. Для простоты запоминания рекомендуем обратить внимание на общность подходов при построении уравнений плоскости и прямой. В последующей лекции рассмотрим общие уравнения второго порядка. Отметим следующее:

- прямая на плоскости описывается уравнением первого порядка;

- если прямая проходит через начало координат, то уравнение в отрезках записать нельзя;

- уравнение прямой в отрезках аналогично уравнению плоскости в отрезках;

- угловой коэффициент прямой – это тангенс угла ее наклона относительно оси абсцисс;

- параметр b определяется отрезком, отсекаемым прямой по оси ординат;

- положение прямых и углы между ними определяются их угловыми коэффициентами;

- условие параллельности и перпендикулярности прямых аналогичны этим же условиям для плоскостей.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 1998.

97

Лекция 14

Кривые второго порядка

Линия и ее уравнения

Окружность и ее уравнения

Эллипс

4. Исследование формы и расположения эллипса по его каноническому виду

Цели занятия: изучить понятие кривых второго порядка; расширить школьные знания об окружности; изучить правила построения и свойства эллипса; научиться приводить кривые второго порядка из общего в канонический вид.

Роль и место лекции

Общие сведения о понятиях окружности и эллипса известны из школьного курса математики. Многие процессы в окружающем мире подчинены уравнениям этих кривых (например, вращение планет). Однако уравнение окружности было введено только в каноническом или явном виде, а  уравнение эллипса не изучалось. В лекции представлены общее и каноническое уравнения эллипса и окружности, полученные на основе  классических определений. Более широко эти вопросы будут рассмотрены в теме «Квадратичные формы».  

  1. Линия и ее уравнение

Определение 1

Геометрическое место точек – это совокупность точек, обладающих общим свойством. Общее свойство точек линии выражается уравнением линии.

Определение 2

Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой прямой.

В  уравнение функционально имеет вид .Алгебраическое уравнение первого порядка относительно x и y (см. лекцию 13)

 

– это прямая линия на плоскости .

Кривыми второго порядка называют линии, которым соответствует алгебраические уравнения второго порядка:

98

 ,           (1)

т. е. окружности, эллипсы, гиперболы, параболы.

2. Окружность и ее уравнения

Определение 3.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Построим уравнение окружности. Для этого, согласно определению, зададимся центром окружности  и R – радиусом окружности L (рис.1). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать окружности, следовательно, согласно определению, удовлетворять соотношению

.       (2)

Запишем это выражение в координатах

.

Окончательно получим уравнение окружности в каноническом виде

 . (3)

2.1. Исследование окружности

1. Если , то выражение (3) примет вид .

2. Если , то выражение (3) примет вид .

3. Если , то выражение (3) примет вид .

Приведем уравнение (3) к общему виду (1). Для этого раскроем скобки и умножим обе части равенства на число .

.

Введем обозначения: ; ; . Подставим эти обозначения и получим уравнение окружности в общем виде

 .             (4)

99

Признаки окружности:

- коэффициенты при квадратах текущих координат равны;

- отсутствует член, содержащий произведение текущих координат « ».

2.2. Последовательность перехода от общего

к каноническому виду

Для этого разделим все члены уравнения на коэффициент при  и выделим полные квадраты с x и y.

ПРИМЕР 1.

Задано уравнение второго порядка: .

Построить кривую согласно.

Решение.

Поскольку коэффициенты при квадратах одинаковы (=4) и отсутствует член , то можно сказать, что это окружность.

Это окружность (рис. 2) с радиусом R =4 и центром в точке C(1, -1.5).

3. Эллипс

Определение 4.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Зададим в декартовой системе координат фокусы F₁и F₂(рис. 3). Возьмем произвольную точку M(x, y), которая по определению должна принадлежать эллипсу. Проведем отрезки F₁M и F₂M (рис. 3). Согласно определению рассмотрим сумму этих отрезков

,     (5)

где  – некоторое число.

100

Обозначим , тогда из  или . Фокусы имеют координаты  и , причем  – эллипс. Представим выражение (1) в координатах:

.

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:  

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

,

.

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные – в левую. Вынесем за скобки x²и a²:

.          (6)

Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (6) через введенные обозначения

,            .         (7)

Выражение (7) есть уравнение эллипса в каноническом виде.

4. Исследование формы и расположения эллипса

по его каноническому виду

Рассмотрим выражение (7) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то эллипс симметричен относительно осей координат – осей симметрии.

Если , то  и .

101

Начало координат – центр симметрии. Плоскость, в которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной плоскостью.

2. Эллипс L (7) пересекается с осями координат.

a ) Пересечение с осью .

, . Из выражения (7) => . То есть точки  и . Эти точки – вершины эллипса.  – большая ось эллипса. Отметим эти точки на оси (рис. 4).

б) Пересечение с осью .

, . Из выражения (7) => . То есть, точки  и . Две точки  и  – также вершины эллипса.  – малая ось эллипса. Отметим эти точки на оси  (рис. 4).

3. Из уравнения (7) найдем y

.                                  (8)

Для I четверти выражение (8) имеет вид . При увеличении x от 0 до a (при x=a y=0) значение y уменьшается от b до 0. Поскольку эллипс симметричен относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, эллипс будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

Замечания!!!

1. В частности, при  из (7) имеем ,  (окружность – частный случай эллипса).

102

2. Если центр эллипса лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение эллипса примет вид

 .              (9)

Определение 5.

Эксцентриситетом называется величина, равная отношению расстояния между фокусами к длине большой оси.

              ,       .     (10)

Чем ближе эксцентриситет к 0 ( ), тем более округлую форму эллипс имеет, и наоборот, чем ближе эксцентриситет к 1 ( ), тем эллипс более вытянут вдоль оси .

Замечание!!!

Последовательность перехода от общего к каноническому виду для эллипса аналогична последовательности перехода для окружности. Для этого вынесем за скобки коэффициент при  и выделим полный квадрат с x. Также вынесем за скобки коэффициент при  и выделим полный квадрат с y.

Заключение

В лекции изучены понятия «окружность» и «эллипс» в общем виде, показано, как строить графики этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой. Отметим:

- параметры R, a и b в выражении (3) определяют соответственно радиус и координаты центра окружности;

- от уравнения общего вида к каноническому переходят путем выделения полных квадратов;

- эксцентриситет эллипса ;

- эксцентриситет эллипса определяет его вытянутость;

- окружность – частный случай эллипса;

- фокусы эллипса могут быть найдены из выражения .

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 1998.

103

Лекция 15

Кривые второго порядка

Гипербола

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: