Упражнение: приближённая оценка при умножении

Скорректируйте числа таким образом, чтобы у вас появилась возможность дать приближённую оценку результатам умножения:

 

 

Упражнение: приближённая оценка квадратных корней

Прикиньте квадратные корни следующих чисел, используя метод деления и усреднения:

 

Упражнение: каждодневная математика

Посчитайте 15% от $88   Посчитайте 15% от $53   Посчитайте  25% от $74

Сколько времени потребуется для удвоения ваших денег при годовой ставке в 10%?

Сколько времени потребуется для удвоения ваших денег при годовой ставке в 6%?

Сколько времени потребуется для утроения ваших денег при годовой ставке в 7%?

Оцените размер месячной выплаты за кредит в $100 000 по процентной ставке 9% в течени 10 лет?

Оцените размер месячной выплаты за кредит в $30 000 по процентной ставке 5% в течени 4 лет?

ГЛАВА 6

Математика для доски: бумага с ручкой и математика

Во введении к данной книге я обсуждал множество выгод, которые вы получите от умения вычислять в уме. В этой Главе я также представлю некоторые из способов ускорения вычислений на бумаге. С тех пор, как появились калькуляторы, они успели заменить большую часть нужды в ручке с бумагой для выполнения арифметических действий в большинстве практических ситуаций. Я в свою очередь предпочёл сосредоточится на забытом искусстве вычисления квадратных корней и на бросающемся в глаза методе «крест-накрест» для перемножения больших чисел. Раз уж это всё, надо сказать, в основном для разминки мозгов и не для практического применения, я сперва затрону сложение и вычитание и покажу вам всего парочку небольших трюков для ускорения данного процесса  и  проверки ответов. Эти техники всё же могут быть использованы в повседневной жизни, в чём вы и убедитесь.

Если вы готовы подобраться к более трудным задачкам на умножение, вы можете пропустить эту Главу и сразу перейти к Главе 7, которая является критически важной для освоения навыка работы с большими задачами из Главы 8. Если вам нужен перерыв и вы просто хотите немного повеселиться, тогда я рекомендую вам пройтись  по этой Главе: вы получите удовольствие от того, что вновь обратитесь к ручке с бумагой.

Колонки чисел

Сложение длинных колонок чисел - как раз та самая задача, с которой вы можете столкнуться по работе или во время разбора личных финансов. Сложите числа из следующего столбика привычным способом и затем проверьте то, как я это сделал.

 

 

Когда у меня в распоряжении имеется ручка с бумагой, я складываю числа сверху вниз и справа налево - прямо как нас учили в школе. С практикой, вы сможете решать эти задачи в уме также быстро (или быстрее), как и на калькуляторе. Когда я суммирую цифры, единственный числа, которые я «слышу»,

- это частичные суммы. Это когда я сперва суммирую первую колонку (крайнюю справа) 8 + 4 + 0 + 7 + 7 + 5, я слышу 8…12... 19... 26... 31. Затем я записываю 1, держу в уме 3 и вывожу результат. Следующая колонка бы звучала как 3... 5... 13... 15... 22... 23... 25. Как только я получаю итоговый ответ, я записываю его, затем проверяю свои вычисления путём сложения чисел снизу вверх и, я надеюсь, получаю такой же ответ.

Например, итоги первой колонки будут подведены снизу вверх в виде 5 + 7 + 7 + 0 + 4 + 8 (что у меня в голове звучит как 5... 12... 19.

.. 23... 31). Затем я мысленно переношу цифру 3 и складываю 3 + 2 + 1 + 7 + 2 + 8 + 2, и так далее. Через сложение чисел в другом порядке вы снижаете вероятность совершить одинаковую ошибку дважды. Конечно, если ответ отличается, тогда хотя бы одно из вычислений дожно быть неправильным.

Модульные  суммы

Если я не уверен на счёт своего ответа, то иногда проверяю решение, используя метод, который я называю модульные суммы (потому что он основан на элегантной математике из раздела модульной  арифметики).  Этот  метод  также  известен  под  именами

«цифровые корни» и «метод сравнений по модулю 9». Я признаю, что он не такой уж практичный, но зато лёгок в использовании.

С методом модульных сумм вы складываете цифры каждого из чисел до тох пор, пока не останетесь с одной единственной цифрой. Например, чтобы вычислить модульную сумму 4328, сложите 4 + 3 + 2 +

8 = 17. Затем сложите цифры числа 17, чтобы получить 1 + 7 = 8. Следовательно, модульная сумма 4328 будет 8. Для предыдущей задачки модульная сумма каждого из чисел вычисляется следующим образом:

 

Как проиллюстрировано выше, следующий шаг - сложение всех модульных сумм вместе (8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5). Это даёт 29, что в сумме 11, что в свою очередь в сумме 2. Обратите внимание, что модульная сумма 8651, ваш набор цифр исходного числа, тоже равняется 2. Это не совпадение! Если вы посчитали ответ и модульную сумму правильно, то ваша итоговая модульная сумма должна быть такой же. Если они различаются, то вы определённо допустили где-то ошибку: существует шанс (около 1 к 9), совпадение модульных сумм будет случайным. Если существует ошибка, тогда этот метод позволит обнаружить её 8 раз из 9.

Метод модульных сумм в большинстве случаев известен математикам и бухгалтерам больше как «метод сравнений по модулю 9», потому что модульная сумма числа обыкновенно равняется остатку, полученному в результате деления на 9. В случае, когда ответ выше (8651), модульная сумма была 2. Если вы разделите 8651 на 9, ответ будет 961 с остатком 2. Другими словами, если вы будете отбрасывать

9 из 8651 в общей сумме 961 раз, то будете иметь остаток 2. Существует одно маленькое исключение. Напомним, что сумма цифр любого кратного 9 также является кратной 9. Отсюда, если число является кратным 9, оно будет иметь модульную сумму 9, даже если остаток равен 0.

Вычитание на бумаге

Вы, конечно, не можете вычитать колонки чисел таким же способом, как вы складываете их. Предпочтительнее вычитать их число за числом, что означает: все задачи на вычитание  включают лишь два числа. Ещё раз: с карандашом и бумагой в нашем распоряжении легче вычитать справа налево. Чтобы проверить своий

ответ,  просто  прибавьте  его  ко  второму  числу.  Если  всё  правильно, тогда вы должны получить верхнее число.

Если хотите, то также можете использовать модульные суммы для проверки вашего ответа. Ключ в том, чтобы вычитать полученные модульные суммы и затем сравнивать полученное число с модульной суммой вашего ответа:

 

Существует ещё одно ухищрение. Если разница модульных сумм будет отрицательной или равна 0, прибавьте к ней 9. Например:

 

Квадратные корни на бумаге

С появлением карманных калькуляторов, метод ручки с бумагой для расчёта квадратного корня практически превратился в потерянное искусство. Вы уже видели как устно прикидывать квадратные корни.

Сейчас я покажу вам как это делать точно с использованием ручки и бумаги.

Помните, как при приближённой оценке квадратных корней вы рассчитывали квадратный корень девятнадцати? Давайте взглянем на проблему ещё раз, на этот раз используя метод, который даст вам точный квадратный корень.

 

 

Я опишу его в общем случае, который годится для любой ситуации, и проиллюстрирую примером выше.

Шаг 1. Если количество цифр после запятой равно одному, трём, пяти, семи или любому другому нечётному числу, то первая цифра ответа (или частного) будет наибольшим числом, чей квадрат меньше половины первой цифры исходного числа. Если количество цифр после запятой равно двум, четырём, шести или любому другому чётному числу, то первая цифра частного будет наибольшим числом, чей квадрат меньше первых двух цифр делимого. В данном случае, 19 является двузначным числом, так что первая цифра частного будет наибольшим числом, чей корень квадратный меньше 19.

Шаг 2. Вычтите квадрат числа с Шага 1, затем снесите ещё две цифры. Так как 42 = 16, мы отнимаем 19 - 16 = 3. Мы переносим два 0, оставляя 300 в качестве текущего остатка.

Шаг 3. Удвойте существующее частное (игнорируя знаки после запятой) и оставьте пустое место после него. Здесь 4 х 2 = 8. Запишите 8_ х _ слева от текущего остатка (300 в данном случае).

Шаг 4. Следующая цифра частного будет наибольшим числом, которое может заполнить пропуски, so that the resulting multiplication problem is less than or equal to the current remainder. В данном случае, этим числом будет 3, потому что 83 х 3 = 249, тогда как 84 х 4 = 336, что слишком много. Запишите это число над второй цифрой следующих двух чисел; в данной ситуации цифра 3 будет находится над вторым 0. Теперь мы имеем частное в размере 4, 3.

Шаг 5. Если вы хотите больше цифр, вычтите произведение из остатка (например, 300 - 249 = 51) и снесите следующие две цифры; в данном случае 51 превратиться в 5100, что станет текущим остатком. Теперь повторите шаги 3 и 4.

Для получения третьей цифры квадратного корня, удвойте частное, снова игнорируя всё после запятой (например, 43 х 2 = 86). Поместите 86_ х _ слева от 5100. Цифра 5 даст нам 865 х 5 = 4325, наибольшее произведение, которое меньше 5100. Пятёрка будет сверху над следующими двумя числами, в данном случае, двумя 0. Теперь мы имеем частное в размере 4, 35. Для ещё большего количества цифр после запятой, повторите процедуру, как мы и сделали в примере.

Вот пример нечётного количества цифр поред запятой:

 

 

Далее мы вычислим квадратный корень четырёхзначного числа. В данном случае (как и с двузначными числами) мы учитываем первые две цифры примера для определения первой цифры квадратного корня:

 

 

Наконец, если число, для которого вы рассчитывает квадратный корень, имеет правильный (полный) квадрат, вы узнаете об этом сразу же, как получите в итоге нулевой остаток и когда ничего не придётся сносить. Например:

 

 

Умножение на бумаге

Для умножения с ручкой и бумагой я использую метод «крест- накрест», который позволяет мне записать весь ответ целиком в одну строчку, нигде не записывая промежуточные результаты! Это одна из самых впечатляющих демонстраций  матемагии, когда в вашем распоряжении есть ручка с бумагой. Многие молниеносные вычислители из прошлого заработали себе репутацию этим методом. Они получали два громадных числа и записывали ответ почти мгновенно. Методу «крест-накрест» лучше всего обучаться на примере.

 

 

Шаг 1. Сначала умножьте 4 х 7 для получения 28, запишите 8 и мысленно перенесите 2 на следующее вычисление ниже.

 

Шаг 2. Следуя схеме, сложите 2 + (4 х 4) + (3 х 7) = 39, запишите

9 и мысленное перенесите 3 на итоговую калькуляцию ниже.

 

 

 

 

Шаг 3. Закончите сложением 3 + (3 х 4) = 15 и запишите 15 для получения итогового ответа.

 

 

Вы только что записали ответ: 1598.

Давайте решим другую задачу «2-на-2», используя метод «крест-

накрест»:

Список шагов и схемы выглядят следующим образом:

 

 

Ответ: 5395

Метод «крест-накрест» становится немного сложнее с задачами типа «3-на-3».

 

ниже:

Мы поступили так, как предложено в нашей собственной модели

 

 

 

Ответ: 649 986

Обратите внимание, что количество умножений  на  каждой стадии составляет 1, 2, 3, 2 и 1 соответственно. Математика, лежащая в основе метода «крест-накрест», не более чем распределительный закон. Например, 853 х 762 = (800 + 50 + 3) х (700 + 60 + 2) = (3 х 2) + [(5

х 2) + (3 х 6)] х 10 + [(8 х 2) + (5 х 6) + (3 х 7)] х 100 + [(8 х 6) + (5 х 7)] х

1000 + (8 х 7) х 10 000, что в точности является вычислением по методу

«крест-накрест».

Вы можете проверить свой ответ с помощью модульной суммы путём перемножения модульных сумм двух чисел и расчёту модульной суммы получившегося в итоге числа. Сравните это число с модульной суммой ответа. Если он правильный, то они должны совпадать. Например:

 

Если модульные суммы не совпадают, то вы допустили ошибку.

Данный метод распознаёт ошибку, в среднем, 8 раз из 9.

В случае с примером «3-на-2», процедура такая же, за исключением того, что вы рассматриваете цифры-сотни второго числа как нули:

 

 

 

Ответ: 31 302

Конечно на практике, вы, как правило, просто проигнорируете умножение на нуль. Вы можете использовать  метод  «крест-накрест» для решения задачек любого размера. Для получения ответа на задачу

«5-на-5», которая находится ниже, потребуется девять шагов. Количество умножений на кождом из них будет 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 (25 в сумме).

 

 

 

 

 

Ответ: 2 231 184 483

 

 

Вы можете проверить себя, используя метод модульных сумм.

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: