Часть 2 Векторное исчисление

Кафедра высшей математики

 

Часть 2 Векторное исчисление

Учебное-методическое пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для бакалавров направления 210100 «Электроника и наноэлектроника»

»

 

Новоуральск 2012

 

УДК 519 О − 66

ББК 22.171

 

МиМ − 2.3. − ____125______ − 12

 

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Часть 2 «Векторное исчисление»

Учебное-методическое пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для бакалавров направления 210100 «Электроника и наноэлектроника»

Новоуральск изд. НГТИ, 2012. 72 – с.

 

 

Пособие составлено ст. преподавателем кафедры высшей математики НГТИ

Орловым Юрием Владимировичем.

 

Пособие содержит основные операции над векторами (в графической и

координатной формах), действия над комплексными числами и сборник контрольных заданий по данным темам.

 

 

Пособие обсуждено на заседании кафедры высшей математики НГТИ и рекомендовано к использованию в учебном процессе студентами всех специальностей всех форм обучения.

 

“ ____ ” ______________ 200 ___ г.

 

Зав. кафедрой к.ф.м.н. ___________________ А.П. Золотарёв

 

 

Согласовано:

Председатель методической комиссии:

 

 

Профессор, д.т.н _____________ А.Е. Беляев

 

Содержание

	Вступление …………………………………………………………..
	Скалярные и векторные величины ………………………………..
	Линейные операции над векторами 3.1 Сложение векторов ……………………………………………. 3.2 Вычитание векторов ……………………………....................... 3.3 Умножение вектора на число ………………………………….
	Базис векторного пространства ……………………………….......
	Скалярное произведение 5.1 Определение скалярного произведения …………………....... 5.2.Свойства скалярного произведения ………….………………
	Декартов базис и декартова система координат 6.1 Декартов базис ………………………………………………… 6.2 Декартова система координат плоскости и пространства …
	Действия над векторами в координатной форме 7.1 Сравнение векторов ……………………………….…………… 7.2 Сумма и разность векторов ……………………………………. 7.3 Умножение вектора на число …………………….…………… 7.4 Скалярное произведение ………………………….…………… 7.5 Модуль вектора …………………………………….………….. 7.6 Косинус угла ………………………………………..………….. 7.7 Условие коллинеарности ………………………………………. 7.8 Координаты вектора ………………………….…………… 7.9 Расстояние между точками ……………………….…………… 7.10 Деление отрезка в отношении ………………..……………
	Векторное произведение 8.1 Правая и левая тройки векторов ………………...……………. 8.2 Определение векторного произведения ………...…………… 8.3 Свойства векторного произведения …………….…………… 8.4 Векторное произведение в координатной форме……………. 8.5 Двойное векторное произведение……………………………..
	Смешанное произведение векторов 9.1 Свойства смешанного произведения ………………………... 9.2 Геометрический смысл смешанного произведения ………..
	Полярная система координат ……………………………………..
	Комплексные числа 11.1 Подмножества R, мнимая единица ………………………..... 11.2 Алгебраическая форма комплексного числа……………...... 11.3 Действия в алгебраической форме …………………………. 11.4 Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа…………………………………. 11.5 Действия в тригонометрической и показательной формах...
	Упражнения ………………………………………………………..
	Вопросы для самоконтроля ………………………………………..
	Контрольное задание (34 варианта) ……………………………….
	Рекомендуемая литература ………………………………………..

Вступление

Данное пособие является второй частью учебного пособия по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В первой части рассматриваются матрицы, определители и решения систем линейных уравнений. Предполагается, что читатель второй части ознакомился с первой частью или имеет представление о рассмотренных в ней темах.

В данной части рассмотрено понятие векторных величин, действия над ними графически и в координатной формах. При этом подробно рассмотрен процесс введения систем координат (общей аффинной, декартовой и полярной). Здесь же рассмотрены комплексные числа и действия с ними.

В конце каждого раздела достаточно подробно рассматриваются примеры типовых задач по рассмотренной теме.

Студент, внимательно изучивший данное пособие, может проверить полученные навыки при самостоятельном решении упражнений (с ответами) и ответить на вопросы для самоконтроля. Предполагается, что после изучения данного пособия студент сможет решать задачи физики, теоретической механики и других учебных дисциплин, в которых встречаются векторные величины.

Результатом изучения рассмотренных разделов линейной алгебры и аналитической геометрии предполагается самостоятельное решение студентом контрольного задания, приведенного в данном пособии: по своему порядковому номеру студент должен выбрать вариант типовых задач контрольного задания и самостоятельно их решить.
2 Скалярные и векторные величины

При изучении различных разделов физики, механики и технических дисциплин встречаются величины, которые в выбранной системе единиц вполне характеризуются заданием их численных значений. Такие величины назы­ваются скалярными (числовыми). Так, например, длина, площадь, объем, масса, температура являются скалярными величинами. Существуют, однако, и такие величины, для определения которых задания лишь численных значений не­достаточно. Необходимо знать также их направление в прост­ранстве. Такие величины называются векторными.

Например, сила, скорость, ускорение, напряженность магнитного поля являются векторными величинами. Векторная величина геометрически изображается с помощью направленного отрезка.

 

Опр.1 Геометрическим вектором ( или просто вектором ) называется направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, у которого одна из ограничиваю­щих его точек принимается за начало, а другая - за конец.

Рис.1

Векторы обозначают двумя буквами со стрелкой или линейкой над ними, причем первая буква - его начало, а вторая буква - конец.

На рис.1 изображены векторы , , , .

Опр.2 Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается | |. Если вектор обозначается через , то его модуль обозначается | |.

Опр.3 Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается или 0 (без черты и стрелки). Модуль нулевого вектора равен нулю, | |=0.

Опр.4 Направлением вектора называется направление, определяемое полупрямой (лучом) АВ. Нулевой вектор направления не имеет.

Опр.5 Векторы и называются одинаково (противоположно) на правленными, если одина­ково (противоположно) направлены лучи АВ и CD.

Опр.6 Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они одинаково или противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 

Опр.7 Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину (модуль). Если два вектора и рав­ны, то пишут = .

Если отличаются направления или (и) модули векторов и , то говорят о неравенстве таких векторов, .

 

Так, векторы и , изображенные на рис.1, равны между собой, = т.к имеют равные длины и их направления совпадают. Из того же рисунка видно, что т.к. различны их направления.

 

Получили, что вектор задают его модуль и направление, но он не зависит от выбора начальной точки. При параллельном переносе вектор не изменяется, чем будем активно пользоваться в дальнейшем.

 

Очевидно, что для равенства векторов выполнено

1) Если = , то = ;

2) Если = и = , то = .

 

Для векторов отношение вида “ < “ и “ > “ не определены, их можно применять только к модулям векторов.

 

Опр.8 Углом между двумя ненулевыми векторами и называется угол между направлениями этих векторов. Этот угол обозначается ( ^ ).

Говорят, что ненулевой вектор параллелен пло­скости, если прямая АВ параллельна этой плоскости.

Опр.9 Ненулевые векторы называются ком­планарными, если они

параллельны одной и той же плоскости.

Сложение векторов

При нахождении суммы векторов используются несколько внешне отличающихся способов: правила параллелограмма, треугольника и многоугольника.

3.1.1 Правило параллелограмма:

Пусть даны векторы и (рис. 2.а). Отложим оба этих вектора от произвольной точки О, = и и достроим треугольник ОАВ до параллелограмма ОАСВ. Суммой векторов и является вектор , соединяющий начальную точку векторов с противолежащей вершиной построенного параллелограмма;

A

 

 

3.1.2 Правило треугольника :

Пусть даны векторы и (рис.2.б). От произвольной точки О отложим вектор = , а затем из точки А отложим вектор = . Вектор = , соединяющий начало вектора с концом вектора , является суммой векторов и и обозначается + . Таким образом = + , или = + .

 

 

Рис. 2(б)

3.1.3 Для нахождения суммы трех и большего числа векторов применяют правило многоугольника: суммой несколь­ких векторов является вектор, по величине и направлению равный направленному отрезку, замыкающему пространственную ломаную линию, построенную на данных векторах, т. е. начало вектора суммы совпадает с началом первого вектора, а его конец - с концом последнего. На рис.3 изображен вектор = + + + + .

 

 

 

 

Свойства суммы векторов

3.1.4.1 Свойство коммутативности: + = + ;

3.1.4.2 Свойство ассоциативности: ( + )+ = +( + );

3.1.4.3 Свойство существования вектора, нейтрального от­носительно

операции сложения: + = .

 

 

Свойство коммутативности следует непосредственно из рис.4.а, а свойство ассоциативности - из рис.4.б. Для доказательства третьего свойства положим = и = , тогда по правилу треугольника получим + = + = = ;

3.1.4.4 Сумма векторов не зависит от способа построения. Суммы векторов, найденные по правилам параллелограмма, треугольника и многоугольника для одинаковых векторов дают совпадающие результаты.
3.2 Вычитание векторов

Опр.10 Для вектора противоположным ему называется вектор . Вектор, про­тивоположный вектору , обозначается - . Из определения следует, что противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления (рис. 5).

Пусть = , тогда - = . Так как + = = , то +(- )= .

 

Опр.11 Разностью векторов и называется вектор

и обозначается .

 

Из определения - = +(- ) следует: чтобы вычесть из вектора

вектор , нужно к вектору прибавить вектор - , противополож­ный

вектору (рис. 6).

 

 

Разность двух векторов, отложенных от одной точки, является вектором, соединяющим конечную точку вычитаемого (который вычитаем) с конечной точкой уменьшаемого (из которого вычитаем).

Из рис.7 видно, что если на векторах и , отложенных от одной точки, построить параллелограмм и провести его диагонали, то одна из его диагоналей равна сумме + , а другая - разности - векторов.

Умножение вектора на число

Опр.12 Вектором , умноженным на число l, называется вектор, длина которого равна |l|× | | и направление совпадает с направлением вектора , если l> 0, либо противоположно направлению вектора , если l< 0. Умножение вектора на число l обозначается l× или l .

 

По определению l× = для любого l и 0× = для любого . Отметим, что векторыl× и коллинеарные и |l× |=|l|× | |.

На рис. 8 изображены векторы , 2 , и .

 

3.3.2 Свойства умножения вектора на число

3.3.2.1 Свойство ассоциативности относительно числовых множителей:

a× (b× )=(a× b)× ;

3.3.2.2 Свойство дистрибутивности векторного множителя относительно

операции сложения чисел: (a+b)× =a× +b× ;

3.3.2.3 Свойство дистрибутивности числового множителя относительно

операции сложения векторов: a× ( + )= a× + a× .

 

Предлагаем читателю самостоятельно доказать эти свойства.

 

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.

Рассмотрим ненулевой вектор и единичный вектор ° того же направления, что и вектор . Тогда из определе­ния умножения вектора на число следует, что =| |× °, откуда °= .

 

Таким образом, чтобы получить единичный вектор того же направления, что и данный вектор , нужно данный вектор умножить на число .

 

Пример 1

Для равностороннего треугольника АВС со стороной 2 построить вектор

и найти его модуль.

Решение:

Построение вектора по правилу многоугольника показано на рис.9, учитывая , , . В результате .

 

Нетрудно доказать, что треугольник EFK (К – пересечение прямых DE и FG) правильный и подобный треугольнику АВС (имеет два угла в 60⁰ как и в треугольнике АВС, из ). Получили, что т.к. =1.

Пусть М – середина DK, тогда треугольник KMG равносторонний со стороной 1 (равный треугольнику EFK). В треугольнике DMG две стороны DM и MG совпадают и равны 1, угол между ними 120⁰ (дополняет угол в 60⁰). Искомую сторону DG найдём как хорду окружности радиуса R=MD=MG=1, опирающуюся на центральный угол в 120⁰,

тогда искомый модуль вектора .

Пример 2

Для правильного пятиугольника ABCDE построить векторы

, , , .

 

 

Построение данных векторов показано на рис.10,

. Вектор по правилу многоугольника.

 

 

 

4 Базис векторного пространства

Опр.13 Линейной комбинацией векторов ₁ , ₂ , …, _n называется

вектор вида (1) х₁× ₁+x₂× ₂+_…+x_n× _n , где x₁, x₂, …, x_n - числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

 

Например, для вектора можно говорить, что он представлен в виде линейной комбинации векторов и с коэффициентами х₁=2 и х₂= -3. Можно сказать, что вектор разложен по векторам и .

 

Опр.14 Векторы ₁ , ₂ , …, _n называются линейно зависимыми, если найдутся коэффициенты, среди которых хотя бы один отличен от нуля, при которых линейная комбинация таких векторов является нулевым вектором т.е. х₁× ₁+x₂× ₂+_…+x_n× _n =0 при .

Опр.15 Векторы ₁ , ₂ , …, _n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым вектором только при всех нулевых коэффициентах.

Утверждения:

Утв.1 Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих

векторов является линейной комбинацией других.

Пусть х₁× ₁+x₂× ₂+_…+x_n× _n =0 при ,

тогда = - х₁× ₁ - x₂× ₂ -_…- x_n× _n , разделив равенство на

получим = y₁× ₁+y₂× ₂+_…+y_n× _n ( где , ).

Вектор является линейной комбинацией других векторов;

Пусть вектор раскладывается по другим, =y₁× ₁+y₂× ₂+_…+y_n× _n.

В линейную комбинацию векторов х₁× ₁+х₂× ₂+…+ × +_…+ х_n× _n

подставим разложение вектора , получим

х₁× ₁+х₂× ₂+…+ × ( y₁× ₁+y₂× ₂+_…+y_n× _n )+_…+ х_n× _n =

= (х₁+ × y₁)× ₁+(х₂+ × y₂)× ₂+…+ (х_n+ × y_n)× _n.

Потребовав одновременное равенство нулю коэффициентов при каждом из n-1 слагаемом, получим систему n-1 линейных уравнений от n переменных. Данная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение – набор x₁, x₂, …, x_n при . При таких коэффициентах линейная комбинация векторов нулевая (по построению).

Из определения следует, что в таком случае векторы линейно зависимы;

Утв.2 Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то такие векторы

линейно зависимы.

В этом случае достаточно взять коэффициент при нулевом векторе

равным 1 и все остальные коэффициенты нулевыми, чтобы линейная

комбинация векторов стала нулевой;

Утв.3 Любые два коллинеарных вектора и линейно зависимы.

В этом случае , их линейная комбинация , которая равна нулю при =0. Достаточно взять х₁=1 и х₂= - , чтобы линейная комбинация обратилась в ноль (нулевой вектор).

Получили линейную зависимость векторов и ;

Утв.4 Три и более компланарных вектора линейно зависимы.

Если среди векторов есть хотя бы один нулевой либо пара коллинеарных векторов, то данные векторы линейно зависимые (по Утв.2 и Утв.3).

Пусть даны три попарно неколлинеарных ненулевых компланарных вектора . Покажем, что если векторы и не коллинеарны, то любой вектор , компланарный с и , можно представить единственным образом в виде (1) =x× +y× , где х и у — некоторые числа.

Выполним построение (рис.11):

а) Отложим все три вектора от одной точки О;

б) Из конечной точки вектора проведем прямые, параллельные направлениям

векторов и ;

в) Найдем точки M и N пересечения построенных прямых с прямыми,

проходящими через О в направлении векторов и ;

г) Из коллинеарности и получим ,

из коллинеарности и получим .

В результате получили т.е. один из трёх компланарных векторов выражается через другие и по Утв.1 они линейно зависимы.

 

Утв.5 Если среди векторов имеется два линейно зависимых, то все

такие векторы являются линейно зависимыми.

 

Под векторным пространством будем понимать множество векторов, рассматриваемых в данном случае, множество всех точек, в котором лежат начальные и конечные точки векторов при их параллельном переносе. Векторным пространством может служить прямая, плоскость, обычное пространство и др.

Опр.16 Размерностью векторного пространства называется наибольшее количество линейно независимых векторов данного пространства. Размерность обычно обозначается буквой n.

 

Опр.17 Афинным базисом (просто базисом, репером ) векторного пространства называются некоторые n его линейно независимых векторов, взятые в определенном порядке.

 

Векторы, соединяющие точки одной прямой являются коллинеарными т.е. линейно зависимыми (Утв.3). Получаем, что на прямой невозможно найти два линейно независимых вектора и размерность данного векторного пространства (прямой) равна 1 (т.к. один ненулевой вектор является линейно независимым, =0 только при ). Базисом данного пространства (прямой) можно взять любой ненулевой вектор данного пространства.

 

На плоскости любые три вектора компланарные и по Утв.5 они линейно зависимы, n . Два неколлинеарных вектора плоскости линейно независимы, т.е. n=2. Векторным базисом на плоскости можно взять любые два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке.

В плоскости существует бесконечное множество базисов.

 

Базисом обычного (трёхмерного) пространства можно взять любые три некомпланарных и ненулевых вектора, взятых в определенном порядке.

 

Утв.7 Если задан базис векторного пространства размерности n, то любой вектор такого пространства единственным образом раскладывается по базисным, .

Упорядоченные числа х₁, х₂, …, х_n (коэффициенты разложения) при этом называются афинными координатами вектора в базисе ( ).

При n=2

Пусть ( ; ) - один из базисов некоторой плоскости. Тогда можно показать, что любой вектор этой плоскости может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е.

(2) =x× +y× .

Это означает, что если на плоскости выбран базис ( ; ), то каждому вектору этой плоскости однозначно сопоставлена упорядоченная пара чисел х и у и, наоборот, каждой упорядоченной паре чисел х и у соответствует на плоскости единственный вектор , определяемый равенством (2). Числа х и у являются афинными координатами вектора в базисе ( ; ), при этом пишут: = (х; у).

Процесс разложения показан на Рис.10, где в качестве базиса взяты два неколлинеарных вектора , и по ним разложен вектор .

Афинные координаты вектора в базисе ( ; ) находятся следующим образом:

1) , при противоположных направлениях векторов и

коэффициент х становится отрицательным (пишем знак “ – “);

2) , при противоположных направлениях векторов и

коэффициент y становится отрицательным (пишем знак “ – “).

 

 

При n=3

Пусть ( ; ; ) - произвольный базис пространства. Так как базисные векторы , , некомпланарны, то можно показать, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде

(3) =x× +y× +z× , где х, у, z - некоторые числа.

Это означает, что для любого вектора существует и притом только одна тройка чисел (х; у; z), удовлетво­ряющих равенству (3). Справедливо и обратное утверждение: тройка чисел (х; у; z) в данном базисе ( ; ; ) по формуле (3) определяет единственный вектор . Числа х, у и z являются афинными координатами вектора в базисе ( ; ; ). Если вектор пространства задан своими координатами х, у и z, то пишут = (х; у; z).

 

 

К

Пример 3

В параллелограмме ABCD угол А острый, К – середина стороны ВС (Рис.10.а).

Найти разложение вектора по базису , .

 

Решение:

1 способ

Выполним дополнительные построения показанные на Рис.10.б:

1) Отложим вектор от вершины А,

от которой отложены базисные векторы.

Получим вектор ;

2) Из точки Е (конечной точки для

вектора ) проведём прямые ЕN

и ЕМ, параллельные прямым АВ

и AD соответственно;

Рис.10.б

3) Точка N – пересечение прямых

АВ и NE. Точка М –

пересечение прямых АD

и ME.

 

Разлагаемый вектор является суммой векторов и по правилу параллелограмма. Вектор равен вектору т.к. равны их модули и их направления совпадают, следовательно = . Вектор сонаправлен с вектором , | |=0, 5× | |, следовательно =0, 5× .

Получили = = + = +0, 5× , т.е. = ,

= .

 

2 способ

12345Следующая ⇒

Поделиться: