Расстояние между двумя точками

Очевидно, что:

1) l> 0 лишь в случае, когда точка М

лежит между точками М₁ и М₂;

2) l=0, если точки М и М₁ совпадают;

3) l< 0 в случае, если точка М лежит вне

отрезка М₁М₂;

4) Если М отлична от М₁, то

¹ - , следовательно, l¹ -1.

Наша задача заключается в том, чтобы найти коорди­наты (x; y) точки М, делящей отрезок М₁М₂ в заданном отношении l¹ -1, если известны координаты (х₁, у₁) и (x₂; y₂) точек М₁ и М₂.

Перепишем равенство (13) в координатной форме:

(х-х₁; у-у₁)=l(х₂-х; y₂-у), т.е. .

Решая первое уравнение относительно х, второе уравнение относительно у, получим (14) x= , y= – координаты искомой точки М.

Формулы (14) называются формулами деления отрезка в данном отношении.

В частности, если l=1, т. е. если , точка М(х; у) является серединой отрезка М₁М₂. Формулы (14) примут вид x= , y= .

Следовательно, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Для нахождения координат точки М(х; у; z), делящей отрезок прямой пространства, определенного точками M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂), в заданном отношении l, аналогичными рассуждениями получаем формулы

(15) x= , y= , z= .

В частности, если точка М (х; у; z) делит отрезок М₁М₂ пополам, то l=1 и формулы (15) примут вид x= , y= , z= .

7.11 Перечисленные операции обобщаются и для векторов

с любым конечным числом переменных n:

пусть даны векторы , ,

тогда для них

,

,

,

,

Если ¹ 0, ¹ 0 и , то ^ ,

, ,

, векторы и коллинеарны.

Для точек и

вектор ,

расстояние |АB|= ,

середина .

Все свойства перечисленных действий, рассмотренные ранее (не в координатной форме), сохраняются.

Пример 5

Даны векторы = (1; 2; 3 ), =(1; -2; 0 ), =(1; 2 ), =(1; 2; 3), =(3; 2; 1).

Для них 1) Перечислить равные векторы;

2) Найти 2× –3 + ;

3) Вычислить скалярное произведение векторов и ;

4) Вычислить ;

5) Найти модули векторов , , ;

6) Найти угол между и (в градусах и радианах).

Решение:

1) Среди перечисленных векторов только одна пара совпадающих векторов:

= т.к. совпадают все соответствующие координаты ( 1=1, 2=2, 3=3),

¹ т.к. различны их вторые и третьи координаты (2¹ -2, 3¹ 0 ),

¹ т.к. векторы имеют различные размерности и несравнимы;

2) 2× –3 + =2× (1; 2; 3) –3× (1; -2; 0) + (1; 2; 3 )=(2; 4; 6) – (3; -6; 0) +(1; 2; 3)=

=(2 –3 + 1; 4 – (-6) +2; 6 – 0 +3)= (0; 12; 9),

2× –3 + =(0; 12; 9);

3) × =(1; 2; 3)× (1; -2; 0)=1× 1 + 2× (-2) + 3× 0 =1 – 4 +0 = -3,

× =3;

4) 1 способ:

–2 = (1; 2; 3) –2× (1; -2; 0) =(1–2; 2 + 4; 3–0)=(-1; 6; 3),

2 +3 =2× (1; 2; 3)+3× (3; 2; 1)= (2+9; 4+6; 6+3)=(11; 10; 9),

( –2 )× ( 2 +3 ) = (-1; 6; 3)× (11; 10; 9) = -1× 11 + 6× 10 + 3× 9 = 76;

2 способ:

( –2 )× ( 2 +3 )= × 2 + × 3 +(-2 )× 2 +(-2 )× 3 =

= 2× × +3× × – 4× × – 6× × ,

× = (1; 2; 3)× (1; 2; 3) = 1× 1 + 2× 2 + 3× 3 = 14,

× = (1; 2; 3)× (3; 2; 1) = 1× 3 + 2× 2 + 3× 1 = 10,

× = (1; -2; 0)× (1; 2; 3) = 1× 1 + (-2)× 2 + 0× 3= -3,

× = (1; -2; 0)× (3; 2; 1) = 1× 3 + (-2)× 2 +0× 1 = -1,

( –2 )× ( 2 +3 )= 2× 14 + 3× 10 –4× (-3) –6× (-1) = 28 + 30 +12 + 6 = 76.

( –2 )× ( 2 +3 )=76;

5) Модули векторов:

6) Косинус угла между векторами

cos ( ^ )= = ,

( ^ )= arccos(0, 387) 67⁰ , в радианах ( ^ )=67⁰ 1, 169.

Пример 6

Даны точки пространства А(1; 2; 3) и В(4; -2; 1).

Найти координаты точек М₁ – делящей отрезок АВ в отношении =0, 4

и М₂ – середины отрезка АВ.

Решение:

Для нахождения координат точки М₁ воспользуемся формулами (15)

x= , y= , z= , которые при =0, 4 примут вид

x= , y= , z= .

Получили точку М₁(1, 857; 0, 857; 2, 429).

Если точка М₂ делит отрезок АВ пополам, то ее координаты найдутся как полусумма координат концов отрезка:

x= , y= , z= .

Получили точку М₂(2, 5; 0; 2).

Ответ: М₁(1, 857; 0, 857; 2, 429), М₂ (2, 5; 0; 2).