Декартова система координат плоскости и пространства

Пусть О - произ­вольная фиксированная точка некоторой плоскости и ( ; ) - один из ортонормированных базисов той же плоскости.

 

Опр.20 Сово­купность фиксированной точки О и ортонормированного базиса ( ; ) называется декартовой (или прямо­угольной) системой координат на плоскости. Точка О назы­вается началом координат. Прямые Ох и Oу, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов и (Рис.13), называются осями координат: Ox - ось абсцисс, Оу - ось ординат. Систему координат будем обоз­начать O или хOу, а плоскость с соответствующей систе­мой координат будем называть плоскостью Оху.

 

Легко увидеть, что декартова система координат на плоскости задается двумя взаимно перпенди­кулярными прямыми - осями, на каждой из которых вы­брано положительное направление и задан отрезок еди­ничной длины. Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты.

Четверти нумеруются против часовой стрелки, как на рис.13.

 

 

Рассмотрим произвольную точку М плоско­сти Oxу (Рис.13). Радиус-вектором точки М по отношению к точ­ке О называется вектор , соединяющий начало координат с данной точкой.

Координатами точки М в системе координат O называются координаты радиус-вектора в базисе ( ; ). Если =(х; у), то коор­динаты точки М записывают так: М(х; у), число х назы­вается абсциссой точки М, у - ординатой точки М.

Координаты точки могут быть найдены как проекции радиус-вектора на каждую из осей, х= а_х=Пр_ох и у=а_у=Пр_оу , =(а_х; а_у).

 

Обратно: если М(х; у), то =(х; у).

Опр.21 Совокупность фиксированной точ­ки О и ортонормированного базиса ( ; ; ) называется декартовой (или прямоугольной) системой координат в пространстве размерности n=3.

 

Как и на плоскости, точка О называется нача­лом координат. Прямые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направле­нии базисных векторов , , (Рис. 14), называются осями координат:

Ox – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов. Координатами точки М называются координаты радиус-вектора в базисе ( ; ; ), при этом если =(х; у; z), то пишут М(х; у; z), где х - абсцисса, у - ордината, z - аппликата точки М.

Обратно: если М(х; у; z), то =(х; у; z).

 

Прямоугольная система координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел (их координатами), а на плоскости - между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

В декартовой системе координат упорядоченная пара чисел одновременно задает как точку данной плоскости, так и радиус-вектор этой точки и целое множество равных ему векторов. Аналогично и в трёхмерном случае. В дальнейшем будем задавать векторы не двумя точками (начальной и конечной) а только конечной с указанием её координат. Считаем начальной точкой всех векторов (если противное не оговорено отдельно) точку О – начало координат.

 

Аналогично рассмотренным случаям n=2 и n=3 можно ввести понятие декартовой системы координат n-мерного пространства, которое можно обозначить R ⁿ. Точки такого пространства, как и векторы, задаются указанием упорядоченного набора n чисел - её декартовых координат.

Действия над векторами в координатной форме

Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы

=x₁× +y₁× +z₁× и =x₂× +y₂× +z₂× ,

т.е. =( x₁; y₁; z₁) и =( x₂; y₂; z₂).

Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов

декартовыми, если отдельно не оговорено противное.

С такими векторами можно выполнить следующие действия:

сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее:

Сравнение

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты , = ( х₁ = х₂, y₁=y₂, z₁=z ₂ ).

Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, .

Векторы различных размерностей несравнимы.

Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы;

7.2 Сумма и разность векторов:

координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности)

одноименных координат этих векторов,

± =(x₁× +y₁× +z₁× ) ± ( x₂× +y₂× +z₂× )= (х₁±х₂)× +(y₁±y₂)× +( z₁±z₂)× ,

(x₁; y₁; z₁) ± (x₂; y₂; z₂) = (x₁±x₂; y₁±y₂; z₁±z₂);

7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его

координаты, l× =l× ( x₁ +y₁ +z₁ )=(lх₁)× +(ly₁)× +(lz₁)× ,

l× ( x₁; y₁; z₁)= (l× x₁; l× y₁; l× z₁);

7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме:

(8) × =х₁× x₂+y₁× y₂+ z₁× z₂,

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных

произведений одноименных координат.

Выведем эту формулу:

× =( x₁ +y₁ +z× )× ( x₂ +y₂ +z× )=

= х₁x₂× ² + x₁y₂× × + x₁z₂× +

+ y₁x₂× × + y₁y₂× ² + y₁z₂× +

+ z₁x₂× + z₁y₂× + z₁z₂× ²_.

Векторы , , ортонормированны,

т.е. для них × = × = = = = = 0, ²= ²= ²=1,

поэтому × =х₁x₂× 1+y₁y₂× 1+ z₁z₂× 1;

Модуль вектора

При = формула (8) примет вид × = ²= x₁²+y₁²+z₁²,

получим (9) | |= , | |= ,

т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному

корню из суммы квадратов его координат;

7.6 Косинус угла между векторами (при ¹ 0, ¹ 0)

(10) cos( ^ )= = .

Если ^ , то × =0 и, следовательно х₁х₂+y₁y₂+z₁z₂=0 – условие

перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами;

Условие коллинеарности

Пусть векторы и коллинеарны, тогда =l ,

х₁₌lx₂, y₁₌ly₂, z₁₌lz₂.

Получили, что если выполнено ,

то векторы и коллинеарны.

 

Координаты вектора (без разделителей “; “ ) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz:

=1 следовательно .

– условие коллинеарности двух трехмерных

векторов, заданных координатами.

Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю;

7.8 Координаты вектора

Если известны координаты начальной точки и конечной точки вектора , то координаты такого вектора (после переноса начальной точки в начало координат О) находятся как разность векторов и (из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),

(11) ;

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: