Составители: ст.преп. Елена Николаевна Бесперстова

Стр 1 из 4Следующая ⇒

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Контрольные задания и примеры их решения для студентов

2 курса инженерно-технических специальностей

заочной формы обучения

Часть 3

Составители: Е. Н. Бесперстова

В. А.Гордеев

О. Ф. Маркович

Самара

2009

УДК 517

Высшая математика: контрольные задания и примеры их решения для студентов 2 курса инженерно-технических специальностей заочной формы обучения / составители: Е. Н. Бесперстова, В. А. Гордеев, О. Ф. Маркович. – Самара: СамГУПС, 2009. – 34 с.

Утверждены на заседании кафедры 02.03.09, протокол № 5.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают следующие разделы: неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы.

Предназначены для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей.

Составители: ст.преп. Елена Николаевна Бесперстова

ст. преп. Владимир Александрович Гордеев

доц. Олег Филиппович Маркович

Рецензенты: к.т.н., доцент СГУ Г. В. Воскресенская;

к.т.н., доцент СамГУПС Ю. В. Гуменникова

Под редакцией к.т.н., доц. В. П. Кузнецова

Подписано в печать 08.12.2009. Формат 60× 90 1/16.

Усл. печ. л. 2, 1. Заказ № 230.

Порядок выполнения и защиты контрольных работ

По высшей математике

1. По курсу высшей математики 3 семестра, предусмотрено выполнение двух контрольных работ. В каждом из заданий задачи разбиты на 30 вариантов. Номер варианта контрольных работ определяется остатком от деления на 30 числа, образованного последними двумя цифрами учебного шифра, указанного в зачетной книжке студента. Если последние две цифры образуют число, меньшее 30, то они и определяют номер варианта.

2. Каждая из контрольных работ выполняется в тетради. На лицевой стороне обложки тетради указать название учебного заведения, номер контрольной работы по высшей математике, Ф.И.О. студента, номер учебного шифра, Ф.И.О. преподавателя, рецензирующего работу.

3. Решение каждой из задач оформить с записью номера задания, номера задачи варианта, условия задачи. Решение задачи выполнить со всеми развернутыми расчетами и краткими пояснениями, необходимые рисунки по ходу решения задач выполнять в карандашном исполнении и использованием чертежных инструментов.

4. В конце каждой контрольной работы привести список используемой литературы, поставить подпись и дату представления работы.

5. Прорецензированная работа с отметкой «допущена к собеседованию» защищается студентом до начала экзаменационной сессии.

6. Студенты, не защитившие контрольных работ по математике, к сдаче экзамена не допускаются.

7. Контрольные работы с отметкой рецензента «работа не допущена к собеседованию» переделываются студентом заново с учетом замечаний рецензента и направляются на повторную проверку.

Рабочая программа, теоретические сведения и методические указания для выполнения контрольных заданий указаны в методических указаниях №1540 (сокращенно М-1540).

Рекомендуемая литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – Т.1. – М.: Интеграл-пресс, 2002.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.1. –М.: Дрофа, 2007.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения, кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – Т.3. – М.: Дрофа, 2005.

4. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – Т. 1, 2. – М.: Высшая школа, 2002.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2001.

6. Бесперстова Е.Н., Додонова Н.Л., Маркович О.Ф., Фролов В.А. Методические указания, рабочая программа и контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 3. Самара: СамГАПС, 2005.

Контрольная работа № 5

1. Найдите неопределенные интегралы.

1.1.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.2.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.3.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.4.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.5.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.6.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.7.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.8.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.9.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.10.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.11.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.12.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.13.a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.14.a) ; b) ; c) ; d) e) .
1.15. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.16. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.17. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.18. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.19. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.20. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.21. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.22. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.23. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.24. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.25. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.26. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.27. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.28. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
1.29. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	1.30. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

2.1. ;	2.2. ;	2.3. ;
2.4. ;	2.5. ;	2.6. ;
2.7. ;	2.8 ;	2.9. ;
2.10. ;	2.11. ;	2.12. ;
2.13. ;	2.14. ;	2.15. ;
2.16.	2.17 ;	2.18. ;
2.19. ;	2.20. ;	2.21. ;
2.22. ;	2.23. ;	2.24. ;
2.25. ;	2.26. ;	2.27. ;
2.28.	2.29. ;	2.30. .

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

3.1.	3.2.	3.3.
3.4.	3.5.	3.6.
3.7.	3.8.	3.9.
3.10.	3.11	3.12.
3.13.	3.14.	3.15.
3.16. .	3.17.	3.18.
3.19.	3.20. .	3.21.
3.22.	3.23.	3.24. .
3.25.	3.26.	3.27.
3.28. .	3.29. .	3.30

4. Произвести вычисления.

4.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

4.2. Вычислите длину дуги кривой .

4.3. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми , x=1.

4.4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.5. Вычислите длину дуги арки циклоиды .

4.6. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и прямой .

4.7. Вычислите длину дуги кривой .

4.8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

4.9. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

4.10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.11. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линией .

4.12. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

4.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

4.14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

4.15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

4.16. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и осью Оу .

4.17. Вычислите длину дуги кардиоиды .

4.18. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами .

4.19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

4.20. Вычислите длину астроиды .

4.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

4.22. Вычислите длину дуги кривой , ограниченной прямыми .

4.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

4.24. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .

4.25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.26. Вычислите длину дуги кривой .

4.27. Вычислите длину дуги данной линии .

4.28. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу линии .

4.29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой .

4.30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

5.1.	;	.
5.2.	;	.
5.3.	;	.
5.4.	;	.
5.5.	;	.
5.6.	;	.
5.7.	;	.
5.8.	;	.
5.9.	;	.
5.10.	;	.
5.11	;	.
5.12.	;	.
5.13.	;	.
5.14.	;	.
5.15.	;	.
5.16.	;	.
5.17.	;	.
5.18.	;	.
5.19.	;	.
5.20.	;	.
5.21.	;	.
5.22.	;	.
5.23.	;	.
5.24.	;	.
5.25.	;	.
5.26.	;	.
5.27.	;	.
5.28.	;	.
5.29.	;	.
5.30.	;	.

6. Вычислите криволинейный интеграл

6.1. , где L — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(1, 1)

a) по кривой ; b) по ломаной линии ОВА, где В(0, 1);

c) по окружности .

6.2. , где L — путь, соединяющий точки А(1, 0) и В(0, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(1, 1);

c) по окружности .

6.3. , где L — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(–4, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии ОCА, где C(0, 2);

c) по эллипсу .

6.4. , где L — путь, соединяющий точки А(–2, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–2, 2);

c) по окружности .

6.5. , где L — путь, соединяющий точки А(0, –3) и В(3, 0)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(3, –3);

c) по параболе .

6.6. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, –1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–1, –1);

c) по параболе .

6.7. , где L — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(0, 4)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(2, 4);

c) по эллипсу .

6.8. , где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С(2, 2);

c) по прямой .

6.9. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–1, 2);

c) по эллипсу .

6.10. , где L — путь, соединяющий точки А(4, 0) и В(0, 2)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С(4, 2);

c) по эллипсу .

6.11. , где L — путь, соединяющий точки А(1, 2) и В(2, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(2, 2);

c) по параболе .

6.12. , где L — путь, соединяющий точки А(9, 0) и В(0, 3)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С(9, 3);

c) по прямой .

6.13. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, –1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–1, –1);

c) по параболе .

6.14. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–1, 2);

c) по эллипсу .

6.15. , где L — путь, соединяющий точки А(0, 3) и В(1, 4)

a) по кривой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(0, 4);

c) по прямой x = t− 3; y=t

6.16. , где L — путь, соединяющий точки А(3, 0) и В(0, 3)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(3, 3);

c) по окружности .

6.17. , где L — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(3, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(2, 1);

c) по окружности .

6.18. , где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по кривой ; b) по ломаной линии АСВ, где С ;

c) по прямой .

6.19. , где L — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(1, 3)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(0, 3);

c) по параболе .

6.20. , где L — путь, соединяющий точки А(–4, 0) и В(0, –2)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–4, –2);

c) по прямой .

6.21. , где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С ;

c) по прямой .

6.22. , где L — путь, соединяющий точки O(0, 0) и В(2, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии OСВ, где С(0, 2);

c) по окружности .

6.23. , где L — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А

a) по прямой ; b) по ломаной линии ОВА, где В(–1, 0);

c) по полукубической параболе .

6.24. , где L — путь, соединяющий точки А(–2, 5) и В(0, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(0, 5);

c) по параболе .

6.25. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСB, где С(–1, 2);

c) по эллипсу .

6.26. , где L — путь, соединяющий точки А(–2, 0) и В(0, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–2, 1)

c) по эллипсу .

6.27. , где L — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(4, 0)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(4, 2);

c) по эллипсу .

6.28. , где L — путь, соединяющий точки А(–1, 0) и В(0, –3)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(–1, –3);

c) по эллипсу .

6.29. , где L — путь, соединяющий точки А(2, 4) и В(4, 2)

a) по кривой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(4, 4);

c) по прямой .

6.30. , где L — путь, соединяющий точки А(0, –3) и В(4, 0)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С(4, –3);

c) по эллипсу .

Примеры решения заданий для выполнения

Контрольной работы № 5

Таблица 1

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 16. Вычислить определенный интеграл

(см. М-1540, стр. 20–21).

Решение.

При вычислении этого интеграла были применены формулы

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Решение.

Таким образом, несобственный интеграл равен , т. е. он сходится.

Решение.

Для построения кривой составим таблицу значений функции.

Таблица 2


		2, 55	1, 5		-	-	-	-	-		1, 5	2, 55

Для значения будут повторяться в силу периодичности функции . Строим кривую по точкам (нижняя часть кривой симметрично достраивается) (рис. 3).

рис. 3

Заметим, что построенная фигура состоит из четырех равных частей, поэтому

(кв.ед.)

Контрольная работа № 6

Дифференциальные уравнения

7. Найдите общее решение дифференциальных уравнений

7.1.	a) ; b) ; c) .	7.2.	a) ; b) ; c) .
7.3.	a) ; b) ; c) .	7.4.	a) ; b) ; c) .
7.5.	a) ; b) ; c) .	7.6.	a) ; b) ; c) .
7.7.	a) ; b) ; c) .	7.8.	a) ; b) ; c) .
7.9.	a) ; b) ; c) .	7.10.	a) ; b) ; c) .
7.11.	a) ; b) ; c) .	7.12.	a) ; b) ; c) .
7.13.	a) ; b) ; c) .	7.14.	a) ; b) ; c)
7.15.	a) ; b) ; c) .	7.16.	a) ; b) ; c) .
7.17.	a) ; b) ; c) .	7.18.	a) ; b) ; c) .
7.19.	a) ; b) ; c) .	7.20.	a) ; b) ; c) .
7.21.	a) ; b) ; c) .	7.22.	a) ; b) ; c) .
7.23.	a) ; b) ; c) .	7.24.	a) ; b) ; c) .
7.25.	a) ; b) ; c) .	7.26.	a) ; b) ; c) .
7.27.	a) ; b) ; c) .	7.28.	a) ; b) ; c) .
7.29.	a) ; b) ; c) .	7.30.	a) ; b) ; c) .