ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пример 21. Вычислить двойной интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования: , где D — область, ограниченная линиями , , (см. М-1540, стр.52–55).

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

рис. 4

 

Выбирая внутреннее интегрирование по переменной , а внешнее по , получим:

.

Здесь внешний интеграл берется по переменной . Граничными точками этой переменной будут точки и , которые и определяют внешние пределы интегрирования. Внутренний интеграл берется по переменной . Пределы интегрирования для него будут являться функциями от , которые определяются из уравнений линий, ограничивающих область D снизу ( ) и сверху ( ). Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, разобьем область D на две части: пусть D₁ — часть, лежащая ниже оси , а D₂ — часть, лежащая выше оси . Тогда

.

 

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

Пример 22. Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана уравнением и (см. М-1540, стр. 57–58, формулы(16), (17), (18)).

Решение. Так как кривая задана явным уравнением , где , то вычисляем интеграл по формуле (16). Находим и

 

Пример 23. Вычислить криволинейный интеграл от точки М(1, 1) до точки N(4, 2) вдоль кривой .

Решение. Этот интеграл вычисляем по формуле (17)

 

Пример 24. Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: , , .

Решение. Кривая АВ есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти. Так как кривая АВ задана параметрически, то этот интеграл будем вычислять по формуле (18). Имеем

Замечание. Если в криволинейном интеграле путь интегрирования L разбит на несколько участков, например, на L₁ и L₂, то

= + .

Контрольная работа № 6

Дифференциальные уравнения

7. Найдите общее решение дифференциальных уравнений

7.1.	a) ; b) ; c) .	7.2.	a) ; b) ; c) .
7.3.	a) ; b) ; c) .	7.4.	a) ; b) ; c) .
7.5.	a) ; b) ; c) .	7.6.	a) ; b) ; c) .
7.7.	a) ; b) ; c) .	7.8.	a) ; b) ; c) .
7.9.	a) ; b) ; c) .	7.10.	a) ; b) ; c) .
7.11.	a) ; b) ; c) .	7.12.	a) ; b) ; c) .
7.13.	a) ; b) ; c) .	7.14.	a) ; b) ; c)
7.15.	a) ; b) ; c) .	7.16.	a) ; b) ; c) .
7.17.	a) ; b) ; c) .	7.18.	a) ; b) ; c) .
7.19.	a) ; b) ; c) .	7.20.	a) ; b) ; c) .
7.21.	a) ; b) ; c) .	7.22.	a) ; b) ; c) .
7.23.	a) ; b) ; c) .	7.24.	a) ; b) ; c) .
7.25.	a) ; b) ; c) .	7.26.	a) ; b) ; c) .
7.27.	a) ; b) ; c) .	7.28.	a) ; b) ; c) .
7.29.	a) ; b) ; c) .	7.30.	a) ; b) ; c) .

 

8. Найдите общее решение однородных дифференциальных уравнений.

8.1	a) ; b) ; c) .	8.2.	a) ; b) ; c) .
8.3.	a) ; b) ; c) .	8.4.	a) ; b) ; c) .
8.5.	a) ; b) ; c) .	8.6.	a) ; b) ; c) .
8.7.	a) ; b) ; c) .	8.8.	a) ; b) ; c) .
8.9.	a) ; b) ; c) .	8.10.	a) ; b) ; c) .
8.11.	a) ; b) ; c) .	8.12.	a) ; b) ; c) .
8.13.	a) ; b) ; c) .	8.14.	a) ; b) ; c) .
8.15.	a) ; b) ; c) .	8.16.	a) ; b) ; c) .
8.17.	a) ; b) ; c) .	8.18.	a) ; b) ; c) .
8.19.	a) ; b) ; c) .	8.20.	a) ; b) ; c) .
8.21.	a) ; b) ; c) .	8.22.	a) ; b) ; c) .
8.23.	a) ; b) ; c) .	8.24.	a) ; b) ; c) .
8.25.	a) ; b) ; c) .	8.26.	a) ; b) y″ − 12y′ − 36y=0; c) .
8.27.	a) ; b) ; c) .	8.28.	a) ; b) ; c) .
8.29.	a) ; b) ; c) .	8.30.	a) ; b) ; c) .

 

9. Железнодорожная платформа массой m, выведенная из положения равновесия, совершает колебания в вертикальной плоскости под действием вынуждающей силы , где х — время. Найдите зависимость отклонения платформы от положения равновесия от времени, если сопротивление среды пропорционально скорости, с коэффициентом пропорциональности , а восстанавливающая сила рессоры, стремящаяся вернуть платформу в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения, с коэффициентом пропорциональности . Считается, что в момент времени , , .

 

 

Таблица 3

№	m
9.1		-2
9.2		-6			1
9.3		-1			0	0
9.4			-3		-0, 3	1
9.5					1	-1
9.6			-4		0	0
9.7					0	0
9.8		-3	-4		4	0
9.9			-9		-2	2
9.10					1	0
9.11		-2			0	0
9.12					0	0
9.13			-16		1	1
9.14					0	-1
9.15		-3	-4		1	1
9.16		-6			0	0
9.17					0	0
9.18					-2	1
9.19			-16		0	0
9.20		-4			0	0
9.21			-6		1	-1
9.22			-4		0	0
9.23					0	0
9.24					0	0
9.25			-8		1	-1
9.26		-6			2	3
9.27		-25			3	-1
9.28					0	0
9.29		-5			0	0
9.30					4	0

 

 

8. Дана система дифференциальных уравнений

С помощью характеристического уравнения найти ее общее решение.

Таблица 4

№	a	b	c	d	№	a	b	c	d
10.1	-1				10.2	-2		-3
10.3			-8	-5	10.4		-1	-6
10.5				-2	10.6		-1
10.7	-7			-8	10.8	-1		-3
10.9	-1			-2	10.10	-1	-2
10.11	-1	-2		-4	10.12	-2
10.13		-2			10.14
10.15	-5	-8	-3	-3	10.16		-3
10.17	-4			-2	10.18
10.19	-3				10.20
10.21					10.22
10.23		-1	-4		10.24
10.25	-1				10.26		-2	-4
10.27	-2	-3	-1		10.28		-2	-1
10.29		-1	-4		10.30		-2

Примеры решения заданий контрольной работы № 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнения с разделяющимися переменными

Пример 25. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 32–33). Имеем:

; ; .

Интегрируем последнее уравнение

— общее решение данного уравнения.

 

Однородные уравнения первого порядка

Пример 26. Решить уравнение (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Находим ; ; . Так как правая часть зависит от , то уравнение является однородным. Делаем подстановку: , тогда и получаем , , , , , интегрируя, получим , , . Следовательно, — общее решение данного уравнения.

 

 

Линейные уравнения первого порядка

Пример 27. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Сделаем подстановку , где и — неизвестные пока функции от . Тогда и уравнение принимает вид:

или . (9)

Выбираем так, чтобы . Решаем это уравнение , ; ; интегрируя получим: ; ; . Подставляя это значение в равенство (9) получим:

; ; ; .

Таким образом, — общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида , при не является линейным. Оно называется уравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: