ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Уравнения, не содержащие уиу′
Пример 28. Решить дифференциальное уравнение второго порядка
(см. М-1540, стр. 35).
Решение.
;
;
;
. Интегрируя, находим
.Далее
;
;
, интегрируя, получаем
— общее решение.
Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.
Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции
: 
Пример 29. Найти общее решение уравнения
(см. М-1540, стр. 35)
Решение.Делаем подстановку
. Тогда
. Получим
,
;
;
.
Интегрируя последнее уравнение, найдем
;
. Так как
, то
;
, откуда
— это и есть общее решение данного уравнения.
Уравнения, явно не содержащие независимую переменную
:
Пример 30. Найти общее решение уравнения
(см. М-1540, стр. 36).
Решение.Делая подстановку
,
, получим
,
. Интегрируем обе части уравнения:
;
;
;
. Так как
, то
;
;
;
. Интегрируя, найдем:

.
Итак, общий интеграл данного уравнения
.
Линейные уравнения второго порядка
Пример 31.Найти общее решение уравнения
(см. М-1540, стр. 37-38, уравнение(10), табл.3, 4).
Решение.Искомое решение будем искать в виде
, где
– общее решение уравнения
, а у*− частное решение всего уравнения. Составим характеристическое уравнение
,
. Следовательно,
.
Найдем
. Так как правая часть уравнения равна
, то это случай 4 табл.4 и частное решение было бы
, если бы числа
не было среди корней характеристического уравнения. Но, так как число
встречается среди корней характеристического уравнения один раз (
), то
. Найдем
,
, подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тождество
;
,
откуда
.
Таким образом,
и общее решение уравнения будет
.
Если в начальный момент времени
известны
и
, то можно найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее этим условиям, то есть решить так называемую задачу Коши.
Пример 32. Найти частное решение уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям
(см. М-1540, стр. 39).
Решение.Данное уравнение — это уравнение вида (10), при
,
,
,
.
Найдем сначала общее решение данного уравнения
.
Для этого решим соответствующее однородное уравнение:
. Следовательно
.
Так как числа
нет среди корней характеристического уравнения, то (случай 3, табл.2) частное решение
подбираем в таком же виде, как и правая часть
,
,
. Подставляем эти значения в уравнение
.
Следовательно,
. Значит,
– общее решение данного уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем:
. Так как
и
, то получаем

Подставляя эти значения в общее решение, найдем частное решение
, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Пример 33. Найти частное решение уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям:
(см. М-1540, стр. 39–40).
Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при
,
,
,
.
Решаем уравнение
. Составляем характеристическое уравнение
.
Следовательно,
– общее решение уравнения без правой части. По виду правой части
находим число
(случай 2, табл. 2). Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому

;

;
. Подставим эти значения в данное уравнение
или
. Сравнивая слагаемые, содержащие
и
, получим
Поэтому
,
– общее решение данного уравнения. Найдем

Учитывая начальные условия, найдем:
,
, откуда
. Подставляя эти значения в общее решение, получим
— частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Физический смысл полученного решения (и предыдущих) в том, что это есть отклонение некоторой динамической системы от положения равновесия в любой момент времени. В частности, при
получим
.
Системы дифференциальных уравнений
Пример 34. Найти общее решение системы
(см. М-1540, стр. 40–41).
Решение. Пусть
,
, подставим эти значения в систему:
.
Получим систему линейных уравнений относительно
. Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю:
.
Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня
. Возьмем сначала
и подставим в последнюю систему:
.
Полагая
, найдем
и тогда
,
. Пусть теперь
и тогда
.
Выбирая
, найдем
и тогда
,
. Можно показать, что общим решением системы будет пара функций
и
:
,
, где
и
– произвольные постоянные.
