Решение уравнений и неравенств

Практическая работа №1

Решение уравнений и неравенств

Линейные уравнения и неравенства 0

а) Уравнение приводим к виду  

Раскрывая скобки, помним:

-на множитель перед скобкой умножается каждое слагаемое в скобке с учетом его знака

-слагаемые с х переносятся в левую часть уравнения, без х – в правую часть ; при переносе через «=» знак слагаемого меняется на противоположный

-всегда делим на множитель, стоящий перед х

 

 б) Неравенство приводим к виду  

Раскрывая скобки, помним:

-на множитель перед скобкой умножается каждое слагаемое в скобке с учетом его знака

-слагаемые с х переносятся в левую часть уравнения, без х – в правую часть ; при переносе через «  » знак слагаемого меняется на противоположный

-если множитель перед х положительный, то при делении на него знак неравенства не меняется, если отрицательный, знак неравенства меняется на противоположный

-решение неравенства всегда – интервал

 

Ответ:  

Квадратные уравнения и неравенства

а)  

Ищем дискриминант  

 

 (кратность=2)

 корней нет

 

 

 

б)  

 

По теореме Виетта  

Корни ищем подбором по таблице умножения

 

в) Квадратичные неравенства решаем методом интервалов

· ищем корни левой части

· ставим их на ось

· если перед  стоит положительный коэффициент, то знаки +-+, если отрицательный – то -+-

· в ответ записываем интервалы со знаком «+», если неравенство  ,и со знаком

« - « ,если неравенство  

 

Корни левой части

+

-

+

х

-6,5

4

 

Ответ:  

    1 вариант                                                                2 вариант                                                                                 

1.                                          1.  

2.                                                       2.  

3.                                                            3.  

4.                                                                4.   

5.                                                                   5.  

6.                                                                      6.  

7.                                                               7.  

8.                                                              8.  

9.                                                                           9.  

10.                                                                10.

 

III вариант

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  

14.

15.

 

Практическая работа №5

Простейшие иррациональные уравнения

Простейшие уравнения

1.  

2.  

3.  при условии, что одна из функций (та, которая проще )  

4.Если уравнение содержит корень нечетной степени, то обе части уравнения возводим в степень, равную показателю корня. Дополнительных условий нет, т.к. корни нечетной степени определены для всех х.  

Примеры:

1.

 

Ответ:

2.

 

Ответ:  

3.  

 

Ответ:  

4.

 

Ответ:  

 

Решить уравнения:

 

Задачи на «3»

1.

2.  

3.  

4.  

5.  

6.

7.  

8.

 

Практическая работа №6

Иррациональные уравнения

Специальные приемы решения иррациональных уравнений

1.Введение новой переменной

Если уравнение содержит одно и то же выражение и под знаком корня и без него, то удобнее ввести новую переменную, не забывая о том, что арифметический корень всегда неотрицателен

Пример:  

 

Ответ:  

2.  Использование свойств монотонности функции

1)  .Если  монотонная функция, то уравнение имеет не более одного корня ( его можно найти подбором ).

2)  . Если одна функция возрастающая, а другая – убывающая, то уравнение имеет не более одного корня ( его можно найти подбором ).

3) Сумма возрастающих функций есть возрастающая функция.

Пример:  

Подбором х=1

Ответ:  

3. Домножение на сопряженное

Пример:  

Домножим обе части уравнения на сумму корней

 

Сложим последнее уравнение с заданным, получим

 

Ответ:{0;  3}

 Решить уравнения

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

 

 

Практическая работа №7

Практическая работа №8

Иррациональные неравенства

Методы  решения

1.Введение вспомогательной переменной

Если неравенство содержит одно и то же выражение и под знаком корня и без него, то удобнее ввести новую переменную, не забывая о том, что арифметический корень всегда неотрицателен

Пример

 

Корни левой части

 (удовлетворяют (*))

                                                           

Ответ:  

2. Метод интервалов

Алгоритм решения

1) Преобразовать неравенство так, чтобы в правой части стоял ноль; левую часть обозначаем . Решаем неравенство   

2) Найти область определения

3) Найти корни  с учетом их кратности

4) На числовой оси отметить область определения функции , нанести ее корни и на каждом интервале определить знак и выбрать знак в соответствии со знаком неравенства.

Важно:

         - если функция непрерывна на интервале и не имеет на нем корней, то она сохраняет знак на этом интервале;

         - если есть разрыв области определения, то с каждой стороны разрыва берем контрольную точку;

          - если функция имеет корень четной кратности, то вокруг него знак не меняется;

           - в случае нестрогого неравенства необходимо присоединить к решениям неравенства решения соответствующего уравнения.

Пример

 

Введем функцию  и решаем неравенство  

1) Найдем область определения функции  

Корни левой части  

D_y=[-3;3]         

2) Найдем корни функции

 

 Сумма всех коэффициентов равна нулю, поэтому

 

3)               

 

Ответ:  

Решить неравенства:

1.

2.  

3.  

4.  

5.

6.  

7.

8.  

 

Практическая работа 9

Примеры:

a) 3^2x-1 = 27               3^2x-1 = 3³     2x–1 = 3    Ответ: x=2

Ответ: x=–7 0

b) =         x²-4x+3=2x²+x+3

x²+5x = 0               x(x+5) = 0  x₁ = 0, x₂ = -5      Ответ:  

2) Если уравнение содержит 3 и более слагаемых вида a^p(x), то по свойствам степени составные показатели раскладываются в произведение (дробь), за скобку выносится общий множитель a^f(x), приводя уравнение к виду a^f(x) =a^b   f(x)=b

Пример:

 Ответ: x=–2

Решить уравнения:

1)  

2)  

3)

4)

5)

6)

7)  

8)  

9)  

10)  

 

Практическая работа 10

Практическая работа 11

Практическая работа 12

Практическая работа 13

Практическая работа № 14

Вычисление логарифмов

Логарифмом числа   (  ) по основанию а (  ) называется показатель, в который надо возвести число  , чтобы получить число

                                                                                              

Основное логарифмическое тождество:  

Свойства

1.  

2.                                                                          

3.

4.  

5.  ,  любое число

6.  

7.  

8.  

Примеры:

Найти значение выражения

1)  (использовали свойства 3,4,5,2)

2)  (использовали свойство 6)

3)  (использовали основное тождество, свойство 5,2)

4)  (использовали свойства 5, 4, 3)

5) Найти  , если  

Решение:

 (использовали свойства 7, 3, 4)

Вычислить:

1.

2.    

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. +   

10.

11.

12.

13. Найдите , если .

14. Найдите , если .

 

 

Практическая работа № 15

Практическая работа № 16

Практическая работа № 17

Решить неравенства

1)   

2)  

3)

4)

5)

6)

7)

8)  ≥ 0.

9)  ≤ 0

Практическая работа № 18

Практическая работа №1

Решение уравнений и неравенств

123Следующая ⇒

Поделиться: