Простейшие иррациональные неравенства

Методы решения

1. Не забывать анализировать исходное неравенство

2. Если неравенство содержит корни нечетной степени, то обе части неравенства возводим в эту степень

3. Если неравенство содержит корни четной степени, то переходим к равносильной системе: - обе части неравенства возводим в эту степень, при условии что обе части неравенства неотрицательны;

           - добавляем условие, что подкоренные выражения неотрицательны

Примеры:

1.

 

2.

 

Т.к. в левой части стоит неотрицательная величина, то она не может быть меньше отрицательного числа

Ответ:  

3.

 

Корни левой части             

Решим (2)

Корни левой части

Пересечем решение (1) и     решение (2)

Ответ: (-1;0); (3;4)

Решить неравенства:

 

 

1.

2.

3.  

4.  

5.  

6.   

7.  

8.

9.  

10.  

11.  

 

 

 

Практическая работа №8

Иррациональные неравенства

Методы  решения

1.Введение вспомогательной переменной

Если неравенство содержит одно и то же выражение и под знаком корня и без него, то удобнее ввести новую переменную, не забывая о том, что арифметический корень всегда неотрицателен

Пример

 

Корни левой части

 (удовлетворяют (*))

                                                           

Ответ:  

2. Метод интервалов

Алгоритм решения

1) Преобразовать неравенство так, чтобы в правой части стоял ноль; левую часть обозначаем . Решаем неравенство   

2) Найти область определения

3) Найти корни  с учетом их кратности

4) На числовой оси отметить область определения функции , нанести ее корни и на каждом интервале определить знак и выбрать знак в соответствии со знаком неравенства.

Важно:

         - если функция непрерывна на интервале и не имеет на нем корней, то она сохраняет знак на этом интервале;

         - если есть разрыв области определения, то с каждой стороны разрыва берем контрольную точку;

          - если функция имеет корень четной кратности, то вокруг него знак не меняется;

           - в случае нестрогого неравенства необходимо присоединить к решениям неравенства решения соответствующего уравнения.

Пример

 

Введем функцию  и решаем неравенство  

1) Найдем область определения функции  

Корни левой части  

D_y=[-3;3]         

2) Найдем корни функции

 

 Сумма всех коэффициентов равна нулю, поэтому

 

3)               

 

Ответ:  

Решить неравенства:

1.

2.  

3.  

4.  

5.

6.  

7.

8.  

 

Практическая работа 9

Решение простейших показательных уравнений

1) Если уравнение содержит два слагаемых вида a^p(x), то по свойствам степени уравнение приводится к виду:

a^f(x) = a^g(x), где a>0, a≠1; это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x)

Примеры:

a) 3^2x-1 = 27               3^2x-1 = 3³     2x–1 = 3    Ответ: x=2

Ответ: x=–7 0

b) =         x²-4x+3=2x²+x+3

x²+5x = 0               x(x+5) = 0  x₁ = 0, x₂ = -5      Ответ:  

2) Если уравнение содержит 3 и более слагаемых вида a^p(x), то по свойствам степени составные показатели раскладываются в произведение (дробь), за скобку выносится общий множитель a^f(x), приводя уравнение к виду a^f(x) =a^b   f(x)=b

Пример:

 Ответ: x=–2

Решить уравнения:

1)  

2)  

3)

4)

5)

6)

7)  

8)  

9)  

10)  

 

Практическая работа 10

⇐ Предыдущая123

Поделиться: