Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Вращение сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная по­верхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.15).

 

Рис. 2.15

 

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и . Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Учитывая, что сила  нормальна к свободной поверхности, получим

,

отсюда

или после интегрирования

.

В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения при r=0 и z=h получим C=h и, поэтому окончательно будем иметь

,                               (2.10)

где .

Таким образом, свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения. Максимальную высоту подъема жидкости можно определить, используя выражение (2.10) и исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.

Запишем закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и глубины h’ относительно верхней точки жидкости (без вывода):

.

Вращение сосуда с жидкостью вокруг горизонтальной оси

При таком вращении угловая скорость w столь велика, что  (действие силы тяжести можно не учитывать). Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементар­ного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.16). На выделенный элемент жидкости действуют силы давле­ния и центробежная сила.

 

 

Рис. 2.16

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp (разложили p в ряд Тейлора, но так как в данном случае p зависит только от r, то dr/dr сократился), получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

 или .

После интегрирования получим

.

Постоянную C найдем из условия, что при r = r₀ p = p₀, следовательно,

.

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:

.                           (2.11)

Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

,

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах:

.

Если  равно внешнему давлению, то

.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления F_б на боковую стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.

Приведем выражение для определения силы F_б без вывода:

, где  – длина цилиндра.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: