Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли для струйки

Идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся, плавно изменяющееся течение идеальной жидкости, находящееся под воздействием только одной массовой силы – веса жидкости (рис. 3.1).

 

 

Рис. 3.1

Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными. За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 1-2 переместится в положение 1¢-2¢.

Выведем уравнение неразрывности (сохранения массы).

Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях, можно представить в виде двух составляющих (рис. 3.1):

,

Масса жидкости, заключенная в объемах W₁ и W₂ определится как

, .

Так как приток массы извне в рассматриваемой струйке отсутствует, то,

M₁ = M₂,

следовательно, учитывая, что плотность жидкости постоянна, получим

W₁ = W₂.

Нетрудно заметить, что  для рассматриваемых положений является общим, тогда объемы  и равны , т.е.  

.

В результате можно записать  или

.

Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости (уравнение неразрывности).

В случае течения идеальной жидкости в трубе (с конечными площадями поперечных сечений) уравнение неразрывности примет вид:

.

Выведем уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки

.                                           (*)

Работа поверхностных сил давления:

; .

Знак минус во второй формуле появляется, так как работа силы давления  совершается против направления перемещения струйки жидкости, а  и . Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки, равна нулю вследствие ортогональности векторов давления и скорости.

Суммарная работа поверхностных сил определится выражением (с учетом уравнения неразрывности)

.

Элементарная работа массовых сил (силы тяжести) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы

.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки в начальном и конечном положениях, поэтому она определяется как разность энергий положений жидкости в объемах 1-2 и 1¢-2¢. При этом энергия положения промежуточного объема 1¢-2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1-1¢ и 2-2¢. Из уравнения неразрывности следует, что объемы, а, следовательно, и силы тяжести элементов 1-1¢ и 2-2¢ равны между собой:

.

Тогда работа силы тяжести равна произведению разности высот на силу тяжести dG:

.

Изменение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки равно изменению кинетической энергии положения участка струйки в конечном и начальном положениях, поэтому она определяется как разность энергий положения жидкости в объемах 1¢-2¢ и 1-2. При этом энергия положения промежуточного объема 1¢-2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1-1¢ и 2-2 ¢. Поэтому, учитывая, что , получим

;

.

Подставляя полученные выражения в выражение (*), получим

.

После преобразований, с учетом того, что , получим

или, после перегруппирования членов,

.

Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.

Последнее выражение можно представить в виде:

.                        (**)

Величина z называется геометрическим напором,  – пьезометрическим напором,  – скоростным напором. Величина  называется гидродинамическим напором (слово «динамический» подчеркивает, что этот термин относится к движущейся жидкости, но смысл напора остается, как и у гидростатического напора), а величина  получила название полного напора. Отметим, что в ряде случае геометрический и пьезометрический напоры называют высотами.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму геометрического, пьезометрического и скоростного напоров и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение рисунком (см. рис. 3.2), где показано изменение всех трех напоров вдоль струйки.

 

 

 

Рис. 3.2

 

На представленном рисунке видно, как меняются напоры вдоль струйки в зависимости от положения сечений струйки относительно горизонта и изменения поперечных сечений. Линия изменения пьезометрических напоров называется пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки (перпендикулярно движению жидкости).

Введем понятие удельной энергии жидкости. Удельной энергией жидкости называют энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы.

Если уравнение (**) домножить на вес жидкости , то будем иметь

,

где  – энергия положения частицы массы жидкости ;

 – работа сил давления;

 – кинетическая энергия частицы массы жидкости ;

 – полная механическая энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости (отнесенной к единице веса жидкости).

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: