Предпочтительные числа и нормальные

 линейные размеры

Одним из наиболее важных направлений стандартизации является разработка параметрических стандартов, в которых устанавливаются ряды параметров, характеризующих различные группы изделий: мощность, производительность, грузоподъёмность, размеры обрабатываемых заготовок и т.д. Создание и использование изделий будет наиболее успешным только тогда, когда их параметры будут согласованы между собой. Так, объём ковша экскаватора, работающего в карьере, должен быть согласован с объёмом кузова автомобиля, технологические характеристики металлургического и прокатного оборудования должны быть не только увязаны между собой, но и с соответствующими характеристиками прессов, металлорежущих станков и другого технологического оборудования. Для этого при выборе параметров изделий (размеров, грузоподъёмности, производительности и т.п.) необходимо придерживаться определённых, строго обоснованных рядов чисел, которые подчиняются определённой математической закономерности.

Такими рядами являются ряды предпочтительных чисел.

Арифметические и геометрические прогрессии

При установлении размеров и параметров стандартизируемых изделий широкое применение нашли ряды чисел, построенные по арифметической или геометрической прогрессиям.

    Арифметическая прогрессия – это последовательный ряд чисел, образованный по закону:

U_n = a + d ( n -1),   (4)

где: a – первый член прогрессии;

d – const - разность прогрессии;

n – 1, 2, 3, 4 … порядковый № члена ряда прогрессии.

Ряд, в виде арифметической прогрессии, может быть записан следующим образом;

U₁=a; U₂=a+d; U₃=a+2d; … U_n=a+d(n-1)

Если по оси абсцисс отложить порядковые номера членов арифметической прогрессии, а по оси ординат – соответствующие значения членов прогрессии, то получим график прямой линии.

Примеры арифметических прогрессий:

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 и т.д.; (а=1, d=1)

20 – 40 – 60 – 80 – 100 и т.д.; (а=20, d=20)

Недостатком арифметического ряда является одинаковая разность (интервал) размеров двух соседних членов ряда, из-за этого относительная разность между смежными членами при возрастании ряда резко уменьшается. Например, относительная разность членов арифметического ряда, где, а=d=1, будет равна:

- для 1-го – 2-го членов: [(2-1)/1]х100=100%;

- для 9-го – 10-го членов: [(10-9)/9]х100=11%.

На начальных стадиях стандартизации применяли только арифметические ряды, например, ряды параметров стандартных подшипников качения. Позднее стали применять ступенчато-арифметические ряды, например, ряд диаметров резьб:

1,0-1,1-1,2 (d=0,1); 1,4-1,6-1,8-2,0 (d=0,2); 2,5-3,0-3,5-4,0-4,5 (d=0.5) и т.д.

Ступенчато-арифметический ряд позволяет получить более равномерный ряд как в области малых, так и больших значений.

Практика показала, что для целей стандартизации наиболее удобными являются геометрические прогрессии, которые представляют собой ряд чисел, образованный по закону:

U_n = a × Q^{n -1} ,        (5)

 

где:

а – первый член геометрической прогрессии;

Q – знаменатель геометрической прогрессии;

n – 1, 2, 3, 4 … порядковый номер члена геометрической прогрессии.

Графиком геометрической прогрессии является парабола.

Примеры геометрической прогрессии:

1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 и т.д.; (а=1, Q=2);

10 – 100 – 1000 - 10000 и т.д.; (а=10, Q=10).

Если первый член геометрической прогрессии U₁=a=1, то такая прогрессия превращается в ряд:

1; Q; Q²; Q³; Q⁴ … Q^n-1.

Каждый член такой прогрессии находится из выражения:

 

N_i = Qⁱ ,              (6)

где i = (0; 1; 2; 3 …) – порядковый номер члена прогрессии. Для единицы порядковый номер члена i = 0.

Свойства геометрических прогрессий,

Начинающихся с единицы.

1 Отношение двух смежных членов прогрессии всегда постоянно и равно знаменателю прогрессии. Например, для прогрессии 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 и т.д., это свойство выглядит: 2/1 = 4/2 = 8/4 = 2 = Q.

 

2 Произведение или частное от деления двух членов прогрессии всегда является членом этой прогрессии. Возьмём прогрессию из п.1:

2×4=8; 8×4=32; 16×4=64;

16:2=8, 64:8=8; 32:8=4; 32:16=2.

В общем виде это записывается так:

 

N_n×N_m=N_n+m; N_n:N_m= N_n-m,     (7)

Где: n и m – значения порядкового номера (i) членов прогрессии. 

 

3 Целая положительная степень любого члена прогрессии всегда является членом этой прогрессии:

2² =4; 2³ =8; 4³ = 64; 2⁵ =32 или в общем виде:

N_n^m = N_{n * m} ,   (8)

 

Где:

- n - значение порядкового номера (i) членов прогрессии;

- m – целая положительная степень.

Недостатком таких прогрессий является то:

- что сумма и разность двух членов прогрессии в общем случае не являются членами прогрессии;

- что члены геометрической прогрессии в десятичной системе не являются круглыми числами и, при использовании на практике, их надо округлять. Исключением является прогрессия со знаменателем 10.

 

2.8.5 Ряды предпочтительных чисел и основные ряды
нормальных линейных размеров

Как показывает практика стандартизации параметров машин геометрические прогрессии более пригодны для создания параметрических рядов машин, чем арифметические. 

Разработка параметрических стандартов позволяет установить ряды параметров, характеризующих машины и оборудование: мощность, производительность, грузоподъёмность, габариты и т.п.        

Кроме того, параметры машин, взаимодействующих друг с другом должны быть согласованы между собой, например, объем ковша экскаватора должен быть увязан с объёмом кузова автомобиля, работающего в карьере; ширина листов или диаметры кругов, которые изготавливаются на прокатных станах в металлургическом производстве, должны быть увязаны с характеристиками прессов, металлорежущих станков и другого технологического оборудования. 

Для этого при выборе рядов параметров необходимо придерживаться специально выбранных, строго обоснованных рядов чисел, подчиняющихся определённым математическим закономерностям.

Такими рядами и являются ряды предпочтительных чисел.

Требования, которым должны отвечать ряды предпочтительных чисел:

- представлять рациональную систему чисел, отвечающую потребностям производства и эксплуатации;

- быть бесконечными в сторону как малых, так и больших чисел;

- включать все десятикратные значения любого члена в единицу;

- быть простыми и легко запоминаемыми.

В РФ ряды предпочтительных чисел установлены ГОСТ 8032, который соответствует международным стандартам, и являются универсальной системой числовых значений параметров и размеров продукции всех отраслей хозяйства.

Основные ряды предпочтительных чисел представляют собой геометрические прогрессии со знаменателями:

- R 5, Q =  ≈ 1,6;

- R 10, Q =  ≈ 1,25;

- R 20, Q =  ≈ 1,12;

- R 40, Q =  ≈ 1,06

Ряды предпочтительных чисел в каждом десятичном интервале содержат соответственно 5, 10, 20 и 40 чисел, что отражено в обозначении ряда: R5, R10, R20 и R40. В технически обоснованных случаях допускается применять округлённые значения предпочтительных чисел, обозначаемые R′ – для чисел первого округления и R″ – для чисел второго округления.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: