Способы представления колебаний

Используют несколько основных способов представления колебательных процессов.

Аналитический метод (с помощью дифференциальных уравнений). Для характеристики амплитуды, скорости и ускорения изменения соответствующих параметров колебательной системы можно использовать простые математические соотношения:

                           (1.5)

Метод векторных диаграмм отражает пространственное расположение векторов амплитуды, скорости и ускорения гармонического колебания. 

Например, если частоты колебаний двух систем совпадают, а амплитуды и фазы колебаний различаются, то результирующее колебание с использованием рассмотренных методов может быть представлено следующим образом:

    

            (1.6)

В инженерной практике и научно-исследовательской работе для представления колебаний широкое применение нашел метод плоских диаграмм.

В измерительной технике для определения частоты, разности частот, сдвига фаз, а также для получения низкочастотных колебаний широко применяют принцип суперпозиции колебаний. При сложении колебаний с отличающимися частотами возникают биения колебаний:

                        (1.7)

Колебания на основной частоте происходят с частотой = , а биения – с частотой .

Суперпозиция колебаний, отличающихся по частоте, приводит к появлению биения колебаний с амплитудной модуляцией, зависящей от соотношения амплитуд. Частота биения колебаний равна разности частот суммируемых колебаний.

Спектральный метод используют для разложения колебаний на отдельные составляющие.

Метод фазовых диаграмм (фазовый портрет).

Фазовые траектории позволяют наглядно представить колебания на так называемой фазовой плоскости в системе координат . Уравнением фазовой траектории является зависимость:

,                                         (1.8)

 где:  - скорость изменения параметра (х).

Рассмотрим в качестве примера фазовую траекторию гармонического колебания:

                            (1.9)

Параметрическое уравнение фазовой траектории гармонического колебания имеет вид эллипса с полуосями  и :

                                      (1.10)

Направление движения изображающей точки по фазовой траектории в верхней полуплоскости всегда слева направо ( >0), а в нижней – справа налево ( <0). Точки пересечения фазовой траектории с осью абсцисс определяют амплитуду колебаний.

          

а)                                                      б)

       

             в)                                                      г)

Рисунок 1.5 Разновидности фазовых диаграмм, отражающие основные режимы колебаний: центр (а); фокус (б); узел (в); седло (г).

Семейство фазовых траекторий (рис. 1.5), отражающих всевозможные движения колебательной системы, называется фазовым портретом осциллятора. В зависимости от структуры фазовых траекторий различают следующие основные типы особых точек на фазовой плоскости: центр; фокус; узел; седло. Особая точка – центр (рис. 1.5а) характерна для фазовых портретов, отражающих незатухающие колебания. В случае затухающих колебаний эллипсоидальная фазовая траектория трансформируется в спираль, тогда особая точка в центре координат называется фокусом (рис. 1.5б). При сильном демпфировании фазовые траектории на плоскости расходятся, фазовый портрет качественно меняется и принимает вид, показанный на рисунке. Такая особая точка получила название – узел (рис. 1.5в). Фазовый портрет с особой точкой – седлом показан на следующем рисунке. Отличительная особенность седла в том, что через особую точку проходят две вырожденные фазовые траектории, называемые сепаратрисами. Эта точка отображает неустойчивое равновесие осциллятора.

В зависимости от соотношения параметров колебательной системы решение дифференциального уравнения осциллятора может дать различные семейства кривых на фазовой плоскости в виде эллипса, параболы, гиперболы (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 Фазовый портрет нелинейной колебательной системы.

Фазовые траектории и портреты применяются для анализа поведения сложных динамических систем.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: