Общие закономерности генерации и распространения волновых процессов в различных средах

При синтезе и анализе измерительных устройств, реализующих волновые процессы необходимо учитывать особенности распространения волн в различных средах. Например, из общей теории колебаний и волн известно, что для любой волны с амплитудой , на границе раздела сред с отличающимися импедансами  и  происходит разделение на проходящую волну с амплитудой  и отраженную составляющую с амплитудой . При этом справедливы следующие соотношения:

,      .                  (1.30)

Из данных формул следует, смещения в падающей и отраженной волнах при  находятся в фазе, а при  - в противофазе.

Если , то падающая волна полностью отражается с обращением фазы, а прошедшая волна отсутствует:

, .                          (1.31)

Если , то коэффициенты отражения и прохождения принимают значения

, .                     (1.32)

При этом отраженная волна оказывается в фазе с падающей и имеет одинаковую с ней амплитуду, а амплитуда прошедшей волны равна удвоенной амплитуде падающей. Поток энергии падающей волны ( ) равен сумме потоков энергии отраженной ( ) и прошедшей ( ) волн:           

                         .                                         (1.33)

Для энергетических коэффициентов отражения и пропускания справедливы следующие соотношения:

, .           (1.34)

При согласовании импедансов ( ) энергия от границы раздела сред не отражается.

В случае распространения волны через промежуточный слой среды чтобы исключить отраженную волну и обеспечить прохождение всей энергии через две границы раздела сред с импедансами  и  необходимо ввести слой согласующей среды толщиной, равной четверти длины волны, и импедансом , равным среднему геометрическому импедансов согласуемых сред:

.                            (1.35)

Для волн, также свойственны эффекты дисперсии, интерференции, дифракции. При распространении волн в среде происходит их поглощение и рассеяние. Степень затухания амплитуд колебаний для разных частот различна, что обусловливает искажение формы сигнала. Скорость распространения волны зависит от параметров среды. В общем случае, когда существование дисперсии зависит от присутствия не зависящих от параметров волны временных (частотных) и пространственных масштабов, можно говорить о пространственно-временной дисперсии. При распространении низкочастотной волн в кристалле, длина которых много больше постоянной решетки, сигналы распространяются без искажений. Для высокочастотных волн, длина которых сравнима с постоянной решетки, имеет место пространственная дисперсия, а постоянная решетки проявляет себя как пространственный масштаб среды. При интерференции волн в среде их полная энергия сохраняется, происходит лишь перераспределение энергии из областей с минимальной интенсивностью в пространственные интервалы, где локализуются максимумы интерференционной картины.

Как известно уравнение плоской одномерной синусоидальной волны имеет вид:

Это уравнение отличается от уравнения синусоидальных колебаний тем, что колеблющая величина S зависит не только от времени, но и от координаты.   

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны. Для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.

При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной. Рассмотрим, для примера, процесс сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

(1.36)

Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течение периода) её изменения малы (что имеет место при малых dk и dω), волна ещё похожа на синусоиду; её иногда называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что в теории колебаний называют биениями; но при этом биения происходят не только во времени, но и в пространстве. Таким образом, в результате суперпозиции нескольких синусоидальных волн образуется несинусоидальная волна с определенным набором частот и волновых чисел. За скорость распространения такой волны в пространстве берётся скорость распространения фиксированной амплитуды. Но если в случае простой синусоидальной волны эта скорость совпадает со скоростью распространения фиксированной фазы (фазовая скорость), то в случае сложной несинусоидальной волны сама амплитуда зависит от времени и координаты.

Амплитуда сложной волны определяется выражением:

                                  (1.37)

Фиксированная амплитуда А будет удовлетворять условию:

                                 (1.38)

Взяв полный дифференциал от этого выражения, получим:

                                      (1.39)

Скорость распространения фиксированной амплитуды в несинусоидальной волне:

                                         (1.40)

является групповой скоростью волны и в общем случае отличается от фазовой скорости:

                                            (1.41)

Связь между этими скоростями можно легко получить, учтя зависимость частоты и волнового числа от длины волны:

.                                 (1.42)

Таким образом, среда называется диспергирующей, если в ней волны разной длины распространяются с разной скоростью. Зависимость скорости волны (фазовой) от длины волны (частоты) называется дисперсией.

Групповая скорость совпадает с фазовой только в недиспергирующих средах, где все составляющие сложной волны перемещаются с одинаковой скоростью, при этом результирующая волна не меняет своей формы. Для монохроматической волны фазовая и групповая скорости всегда совпадают, даже в диспергирующих средах.

Фазовая скорость есть чисто абстрактное математическое понятие, так как не связана с перемещением в пространстве чего-либо материального. Групповая скорость связана с перемещением в пространстве возмущения фиксированной амплитуды; поскольку энергия волны связана с её амплитудой, групповая скорость есть скорость распространения энергии в пространстве. В общем случае фазовая скорость, например, электромагнитной волны, может превышать скорость света в среде, групповая же скорость всегда меньше либо равна скорости света.

Волны бывают бегущие и стоячие. Бегущими называются волны, переносящие энергию в пространстве. Стоячие волны образуются в результате суперпозиции двух одинаковых бегущих (друг другу навстречу) волн.

В измерительной технике широко применяют эффект Доплера. Суть его заключается в том, что вследствие перемещения источника и приемника волн относительно друг друга происходит изменение частоты (длины) волны, регистрируемой приемником. Если приёмник неподвижен, он регистрирует ту же частоту волны, которую генерирует источник. Если, например, приёмник движется с постоянной скоростью, то расстояние, пройденное волной, изменится, при этом соответственно изменится и частота принимаемых сигналов. Поскольку длина волны, регистрируемая приемником:

,                                        (1.43)

её легко пересчитать в частоту f:

                                         (1.44)

В случае реальной среды наблюдается поглощение волн (так называется затухание волны в пространстве); механическая энергия колеблющихся частиц переходит во внутреннюю, тепловую энергию среды. При распространении гармонической (синусоидальной) волны частицы среды совершают гармонические (синусоидальные) колебания.

Интерференция волн – это такое наложение волн, при котором происходит устойчивое во времени и в зависимости от соотношения между фазами этих волн усиление амплитуды колебаний в одних точках пространства и ослабление в других.

Необходимые условия для наблюдения интерференции:

· волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы её можно было успеть зарегистрировать);

· волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление), так как, например, две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции.

Иными словами, складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные). Волны, для которых выполняются эти два условия, являются когерентными. Первое условие иногда называют временной когерентностью, второе - пространственной когерентностью.

Частным случаем интерференции является суперпозиция двух одинаковые волн, распространяющихся навстречу друг другу. При этом результирующая волна имеет следующие особенности:

• отсутствует поток энергии в результирующей волне (суммарный поток равен нулю);
• точки волны с фиксированной амплитудой не перемещаются в пространстве, а пульсируют в пределах половины длины волны.

В пространстве, занятом стоячей волной, образуются так называемые узлы и пучности. Узлы - это области невозмущенного пространства, расстояние между узлами равно половине длины простой волны (это расстояние принимается за длину стоячей волны). Пучности стоячей волны - это точки пространства, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой.

Стоячие волны можно наблюдать, например, на стержне, один или оба конца которого закреплены. Представление о стоячей волне на стержне с закреплёнными концами даёт следующий рисунок.

Рисунок 1.15 Образование стоячей волны в стержне с закрепленными концами

Рассмотрим стоячие волны в самом общем случае. Сложим две одинаковые волны, распространяющиеся навстречу друг другу:

 ,                               (1.45)

,                         (1.45)

,            (1.47)

где α - разность фаз двух волн (в каждой точке пространства она одинакова).            

Видно, что в результате сложения зависимости от координаты и времени разделились. Амплитуда стоячей волны стала, в отличие от амплитуды бегущей волны, периодической функцией только координаты

.                           (1.48)

Выражения, соответственно, для узлов и пучностей стоячей волны принимают следующий вид:

 ,                               (1.49)     

.                                         (1.50)      

Если один или оба конца тела, в котором возбуждаются стоячие волны, закреплены, то α = π.

Если оба конца струны закреплены, то на концах стержня, естественно, располагаются узлы стоячей волны. В режиме автоколебаний стержня по его длине укладывается целое число длин стоячих волн:

                                       (1.51)

Таким образом, каждый объект характеризуется своим дискретным набором (спектром) длин стоячих волн (частот). Частоты, возбуждаемые в таких объектах, называются его собственными частотами. При изменении параметров объекта изменяется и его набор собственных частот. 

Ограниченную среду или тела, в которых возбуждаются стоячие волны (стержень, струна и т.п.) называют колебательной системой, так при этом больше физического сходства с колебаниями вибраторов, чем с волнами в открытом пространстве. В частности, существует понятие резонанса для таких систем - эффективно возбуждаются только те волны, которые удовлетворяют описанному условию.

Контрольные вопросы к главе 1

1. Какие особые точки фазового портрета относятся к состояниям устойчивого и неустойчивого равновесия?
2. Как зависит амплитуда и фаза скорости (тока) осциллятора от частоты внешнего воздействия?
3.  Поясните зависимость амплитуды и фазы смещения (заряда) от частоты.
4. Почему скорость, ускорение и амплитуда колебаний достигают максимальных значений на разных частотах?

5. В чем суть перехода колебаний в системах с конечным числом степеней свободы к волновым процессам в системах с распределенными параметрами?

6.  Что такое акустический импеданс среды?

7.  Проведите аналогию между согласованием импедансов двух сред с согласованием импедансов нагрузки и линии передачи.

8.  Поясните физическую природу дисперсионных явлений при распространении волн в дискретных и сплошных средах.

9.  Может ли групповая скорость быть больше фазовой?

10.  Что такое пространственная и временная когерентность волн?

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: