Молекулярно-кинетическая теория газов

Механические колебания

Основные формулы

1. Уравнение гармонических колебаний

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

t – время;

а, w, j – соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебаний; (wt + j) – фаза колебаний в момент t.

2. Круговая частота колебаний

где n и T – частота и период колебаний.

3. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

4. Ускорение при гармоническом колебании

5. Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где А₁ и А₂ – амплитуды составляющих колебаний;

j₁ и j₂ –их начальные фазы.

6. Начальная фаза j результирующего колебания может быть найдена из формулы

7. Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А₁ и А₂ и начальными фазами j₁ и j₂,

Если начальные фазы j₁ и j₂ составляющих колебаний одинаковы, уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

8. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

где m – масса точки;

k – коэффициент квазиупругой силы (k = mw²).

9. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

10. Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

где m – масса тела;

k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l – длина маятника;

g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а – расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

L = J/(ma) – приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд.

11. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где r – коэффициент сопротивления;

d – коэффициент затухания [d = r / (2m)];

w₀ – собственная круговая частота колебаний

12. Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения п. 11)

где А (t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t;

w – их круговая частота.

13. Круговая частота затухающих колебаний

14. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А₀ – амплитуда колебаний в момент t = 0.

15. Логарифмический декремент колебаний

где а (t) и а (t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

16. дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где F₀ · cos wt – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания;

F₀ – ее амплитудное значение: f₀ = F₀/m.

17. Амплитуда вынужденных колебаний

18. Резонансная частота и резонансная амплитуда

Примеры решения задач

Задача 1. На упругой пружине совершает гармонические колебания шарик массой 200 г. амплитуда колебаний 5 см, период 4 с, начальная фаза p/6. Написать уравнение колебаний x = f (t). Определить координату шара в начальный момент и через 2 с от начала движения. Определить максимальное ускорение и максимальную упругую силу, действующую на тело. Найти жесткость пружины.

Дано: m = 0,2 кг T = 4 c А = 0,05 м a₀ = p/6 t₁ = 0 t₂ = 2 с

Решение

Уравнение движения в общем виде запишется

где

Таким образом,

k = ? х₀ = ? x = ? а_max = ? F_max = ?

При t₁ = 0

при t₂ = 2 с

Найдем скорость и ускорение шарика:

Таким образом, а_max = 0,12 м/с². Согласно второму закону Ньютона найдем силу, действующую на тело, F = ma = – 0,06 cos откуда F_max = 0,06 Н.

Для нахождения жесткости пружины вспомним, что откуда

Задача 2. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Найти траекторию результирующего движения, построить ее и показать направление движения точки. Уравнения колебаний:

x = cos pt, см; y = 2 sin cм. (1)

Дано : x = cos pt, см y = 2 sin

cм

Решение

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из данных уравнений. Применим формулу косинуса половинного угла:

(2)

y = f (x)

Учтем, что Используя соотношение (2), запишем: Отсюда или

(3)

Возводя в квадрат, выражаем

(4)

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси х. Из уравнений (1) следует, что амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1 см, по оси О Y – 2 см. следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения y, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию çх ç ≤ 1.

х	–1	–0,75	–0,5	0	0,5	1
	0	±0,71	±1	±1,41	±1,73	±2

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины 2,5 см, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд ABCD:

Из уравнений (1) получаем периоды колебаний по осям ОХ и О Y:

Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершит только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент при t = 0 имеем: х = 1, у = 2. Точка находится в положении А. при t = 1 с получим: х = –1, у = 0. Материальная точка находится в вершине параболы.

При t = 2 с получим: х = 1, у = –2. Материальная точка находится в положении D. После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Задача 3. Период затухающих колебаний маятника равен 4 с, логарифмический декремент затухания равен σ = 1,6; начальная фаза колебаний j = 0. Смещения маятника из положения равновесия при равно 4,5 см. написать уравнение затухающих колебаний маятника. Построить график колебательного движения в пределах двух периодов.

Дано: Т = 4 с σ = 1,6 j = 0 х = 4,5 см при

Решение

Уравнение затухающих колебаний имеет вид

(1)

В нашем случае

x = f (t)

Амплитуда а найдется из условия х = 4,5 при t = с. запишем уравнение:

см.

Отсюда выражаем и находим А = 6,7 см. Уравнение колебаний маятника примет вид:

см. (2)

Для построения графика найдем моменты времени t₁, t₂, t₃, …, t_n, соответствующие смещению х = 0. Из уравнения (1) при j = 0 находим так как А ¹ 0 и е^–^b^t ¹ 0, то sin wt = 0. Получаем wt = np, где п = 0, 1, 2 …, Так как то следовательно, график будет пересекать ось х в точках t₁ = 0; t₂ = = 2 с; t₃ = =
= 4 c и т. д. График будет начинаться в начале координат и периодически пересекать ось Х. Найдем положение и величину максимумов и минимумов.

Как известно из математики, максимумы и минимумы находятся в тех точках, где первая произвольная функции обращается в ноль. Следовательно, положение экстремумов графика затухающих колебаний определяется уравнением

Из уравнения (1) находим (при j = 0)

Разделив это уравнение на А · b · е^–^b^t · сos (w t), получим

откуда

Решение этого уравнения

где п – целое число,

п = 0, 1, 2…

Следовательно, положения максимумов и минимумов задаются уравнением

или

Отсюда координаты первых экстремумов

t₁ = 0,842 с; t₂ = 2,842 с; t₃ = 4,842 с; t₄ = 6,842 с.

Подставляя найденные значения t в уравнение (2), найдем соответствующие значения х:

см;

см,

и построим график.

	t₁	t₂	t₃	t₄
t	0,842 c	2,842 c	4,842 c	6,842 c
x	4,64 cм	–2,08 см	0,97 см	–0,39 см

График затухающего колебательного движения

Контрольная работа № 1

Студент-заочник должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с третьей цифрой справа его шифра.

Пример. Номер зачетной книжки 13799. Студент решает седьмой вариант.

Вариант	Номера задач
0	3	16	23	39	43	55	62	74
1	6	20	26	37	50	58	70	78
2	5	13	28	40	46	52	64	72
3	10	18	24	31	48	56	61	79
4	7	14	21	35	44	59	68	77
5	2	11	29	34	49	54	67	71
6	8	17	25	32	41	60	65	73
7	9	12	27	36	47	53	69	76
8	1	15	22	38	42	57	63	80
9	4	19	30	33	45	51	66	75

1. Материальная точка переместилась из положения I с координатами х₁ = 1 см, у₁ = 10 см в положение II с координатами х₂ = 5 см, у₂ = 6 см. Определить модуль и направление вектора перемещения по отношению к выбранной системе координат.

2. Расстояние между двумя точками в начальный момент l = 300 м. Точки движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ = 1,5 м/с и
v₂ = 3,5 м/с. Выбрав удобную систему отсчета, написать кинематический закон движения материальных точек и построить графики зависимостей x₁(t) и x₂(t). Найти пути, пройденные каждой точкой до встречи. Построить графики зависимости пути, пройденного первой и второй точкой от времени.

3. Один автомобиль прошел половину пути со скоростью v₁, а вторую половину пути со скоростью v₂; другой автомобиль шел треть времени со скоростью v₁, а две трети времени – со скоростью v₂. Какова средняя скорость каждого автомобиля?

4. Пароход идет от Горького до Астрахани 5 суток, а обратно –7 су-ток. Сколько времени будут плыть плоты от Горького до Астрахани?

5. Тело свободно падает с высоты Н. Какой путь оно проходит в последнюю секунду своего падения? Чему равна скорость тела при подлете к Земле?

6. Движение двух материальных точек выражается уравнениями

где А₁ = 20 м; В₁ = 2 м/с; С₁ = –4 м/с²; А₂ = 2 м; В₂ = 2 м/с; С₂ = 0,5 м/с².

В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения этих точек в этот момент?

7. Скорость поезда между двумя пунктами v₁ = 80 км/ч, средняя скорость на всем пути v₂ = 60 км/ч, причем остановки занимают время
t_ост = 1 ч. Найти расстояние между этими пунктами.

8. Тело, двигаясь равноускоренно, прошло некоторый путь за 12 с. За какое время оно прошло последнюю треть пути?

9. Тело, двигаясь равноускоренно, прошло за 10 с путь 150 м, причем за десятую секунду оно прошло путь 24 м. Найти начальную скорость и ускорение тела.

10. Движение материальной точки задано уравнениями:

Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 c.

11. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания вышки. Определить начальную скорость v₀ и конечную v скорости камня.

12. Тело брошено под некоторым углом a к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.

13. Миномет установлен под углом a = 60° к горизонту на крыше здания, высота которого h = 40 м. начальная скорость v₀ мины равна 50 м/с. Определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность S полета, скорость v в момент падения мины на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

14. Снаряд, выпущенный из орудия под углом a = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя t₁ = 10 с и t₂ = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v₀ и высоту h.

15. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v₀= 30 м/с. Определить его скорость в конце второй секунды после начала движения.

16. Тело падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно упруго ударяется о закрепленную площадку, расположенную под углом 30° к горизонту. Найти полное время движения тела и дальность его полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

17. Как изменяются время и дальность полета тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, если скорость бросания увеличить в два раза?

18. Самолет летит горизонтально со скоростью 360 км/ч на высоте 490 м. когда он пролетает над точкой а, с него сбрасывают пакет. На каком расстоянии от точки А пакет упадет на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

19. Тело брошено с начальной скоростью v₀ под углом a к горизонту. Найти скорость тела в высшей точке подъема и в точке его падения.

20. Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол его скорость равна 7,8 м/с. Высота стола Н = 1,5 м. Чему равна начальная скорость тела v₀?

21. Диск радиусом 15 м, находившимся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное ускорения точек на окружности в конце второй секунды после начала вращения.

22. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с². Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно
а = 13,6 см/с². Найти радиус колеса.

23. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. зависимость пути от времени дается уравнением x = ct³, где с = 0,1 м/с³. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна v = 0,3 м/с.

24. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению где А = 3 рад; В = –1 рад/с; С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

25. Велосипедное колесо вращается с частотой n = 5 с^–1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени 1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделает колесо за это время.

26. Маховое колесо, спустя 1 мин после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение равноускоренное.

27. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала v = 79,2 см/с.

28. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

29. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A + В t + Ct² + Dt³, где В = 1 рад/с, С = 1 рад/с² и D = 1 рад/с³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3,46 см/с².

30. Тело брошено со скоростью v₀ = 10 м/с под углом a = 45° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через t = 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

31. Под действием постоянной силы F = 20 н тело двигается прямолинейно так, что зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = A – Bt + Ct². Найти массу тела, если С = 1 м/с².

32. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45°. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = Ct², где С = 1,73 м/с². Найти коэффициент трения тела о плоскость.

33. Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с². Найдите силу тяги, если уклон равен 0,02 и коэффициент сопротивления 0,04.

34. С какой горизонтальной силой надо действовать на брусок массой 2 кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона 30°, чтобы он двигался равноускоренно вверх по наклонной плоскости? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,3.

35. Два бруска массой 100 г каждый, связанные невесомой нитью, соскальзывают с наклонной плоскости с углом 30°. Коэффициент трения нижнего бруска о плоскость равен 0,2, верхнего – 0,5. Определить силу натяжения нити.

36. Груз массой 50 кг равноускоренно поднимают с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната.

37. Груз массой 50 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 300 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.

38. Три груза массой по 1 кг связаны нитью и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы 10 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити, если коэффициент трения 0,1.

39. На горизонтальной вращающейся платформе лежит груз на расстоянии 75 см от оси вращения. Каков должен быть коэффициент трения, чтобы груз не скользил, если платформа вращается с частотой
12 об/мин?

40. С какой максимальной скоростью может двигаться велосипедист на закруглении радиуса 25 м, если коэффициент трения между дорогой и колесами велосипеда 0,15? Какой при этом будет угол наклона велосипедиста к вертикали?

41. Движение материальной точки описывается уравнением
х = 20 + 2t – t². Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и 5 с после начала движения. Найдите модуль и направление силы, вызвавшей это изменение.

42. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения равен 0,05?

43. Ящик с песком, имеющий массу М, подвешен на тросе длиной l. Длина троса значительно больше линейных размеров ящика. Пуля, масса которой m, летит в горизонтальном направлении и попадает в ящик, застревая в нем. трос после попадания пули отклоняется от вертикали на угол a. Определить скорость пули.

44. Снаряд, выпущенный из пушки, установленный под углом 45° к горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.

45. Граната, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка массами 1,0 кг и 1,5 кг. Скорость большего осколка осталась после разрыва горизонтальной и возросла до 25 м/с. определить скорость и направление движения меньшего осколка.

46. Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со скоростью 100 м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально: одна на восток, другая – на запад. Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг?

47. Шарик массой 200 г упал с высоты 5 м на горизонтальную плиту и отскочил от нее на высоту 3 м. Определить модуль изменения импульса шарика в результате удара.

48. Мяч, летящий со скоростью v₁ = 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью v₂ = 20 м/с. Найти, чему равно изменение импульса мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии при этом равно 8,75 Дж.

49. Из орудия массой 5·10³ кг вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете равна 7,5·10⁶ Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

50. Тело массой в 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией в 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

51. На невесомом стержне весит груз массой m. Груз отклоняют на 90° и отпускают. Найти натяжение стержня при прохождении им положения равновесия.

52. Две пружины жесткостью k₁ = 10³ Н/м и k₂ = 3·10³ Н/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации Dl = 5 см.

53. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой т = 10 г, если пружина была сжата на Dх = 5 см и жесткость пружины k = 200 Н/м?

54. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 10³ кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью
36 км/ч в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,07.

55. По наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиною склона 1 м скользит тело массой в 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти: 1) коэффициент трения тела о плоскость; 2) количество тепла, выделенного при трении. Начальная скорость тела равна нулю.

56. Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол a = 10° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти, чему равен коэффициент трения, если известно, что тело проходит по горизонтали такое же расстояние, как и по наклонной плоскости.

57. Тело массой 100 кг поднимают с ускорением 2 м/с² на высоту 25 м. Какая работа совершается при подъеме тела?

58. Тело движется вдоль оси ОХ, направленной горизонтально. Проекция скорости этого тела на эту ось изменяется со временем по закону v_х = 10 + 2t. Какую работу совершает сила, действующая на это тело, в течение 10 с, если она составляет угол 60° с направлением движения тела?

59. Равнодействующая сил, действующих на тело, равна 50 Н и
направлена горизонтально. Координата тела изменяется по закону
х = 24 + 10t – t². Какую работу совершает сила за 5 с?

60 Камень бросили под углом a = 60° к горизонту со скоростью
v₀ = 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня т = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

61. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью
7,2 км/ч. на какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горы равен 10 м на каждые 100 м пути.

62. Шар диаметром 10 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. масса шара 0,25 кг. Найти кинетическую энергию шара.

63. Маховик радиусом R = 10 см насажен на горизонтальную ось. На обод маховика намотан шнур, к которому привязан груз массой
т = 100 г. Опускаясь равноускоренно, груз прошел расстояние 160 см за
2 с. определить момент инерции маховика.

64. Тонкий стержень длиной 50 см и массой 0,6 кг вращается около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине. Уравнение вращения стержня j = At + Bt³, где А = 1 рад/с; В = 0,1 рад/с³. Определить момент силы m в момент времени t = 2 с.

65. Через блок радиусом 3 см перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами т₁ = 100 г и т₂ = 120 г. при этом грузы пришли в движение с ускорением а = 3 м/с². Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать.

66. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью w₁ = 1 рад/с. С какой угловой скоростью w₂ будут вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кг · м². Длина стержня 2,4 м, его масса 8 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

67. Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращается с частотой 8 об/с. при торможении он остановится через время t = 4 с. определить тормозящий момент М.

68. Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 0,1 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен 120 кг · м². Момент инерции человека рассматривать как для материальной точки.

69. Якорь мотора вращается с частотой 25 об/с. Определить вращающий момент М, если мотор развивает мощность 500 Вт.

70. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

71. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость равна 20 см/с. Найти циклическую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

72. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с². Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

73. Колебания точки происходят по закону х = а cos (wt + j). В некоторый момент времени смещение точки х равно 5 см, ее скорость равна 20 см/с и ускорение а = –80 см/с². Найти амплитуду А, циклическую частоту w, период Т колебаний и фазу (wt + j) в рассматриваемый момент времени.

74. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

х₁ = A₁ sin wt и x₂ = A₂ cos wt,

где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; w = 1 с^–1.

Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту n, начальную фазу j. Найти уравнение этого движения.

75. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями

х = A₁ sin wt и у = A₂ cos wt,

где А₁ = 0,5 см; А₂ = 2 см.

Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

76. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту n колебаний такого физического маятника.

77. Период обращения искусственного спутника Земли Т = 50 мин. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник.

78. Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением а = 2,5 м/с². Определить период Т колебаний маятника.

79. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

80. Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Законы идеальных газов.

Основные формулы

1. Количество вещества

где N – число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т. д.);

N_А – постоянная Авогадро;

m – молекулярная масса.

2. Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Менделеева–Клапейрона)

где т – масса газа;

m – молярная масса газа;

R – универсальная газовая постоянная;

Т – термодинамическая температура.

3. Закон Дальтона

где р – давление смеси газов;

р _i – парциальное давление i-го компонента смеси;

п – число компонентов смеси.

4. Молярная масса смеси газов

5. Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

где V – объем системы;

r – плотность вещества.

6. Основное уравнение кинетической теории газов

где áe_nñ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

7. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы) –

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

8. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

9. Скорость молекул:

средняя квадратичная:

или

средняя арифметическая:

или

наиболее вероятная:

или

где т₁ – масса одной молекулы.

Примеры решения задач

Задача 1. Сколько молекул содержится в 1 м³ водорода при нормальных условиях? Какова масса одной молекулы водорода?

Дано: V = 1 м³ T = 273 °К р = 1·10⁵ Па m = 2·10^–3 кг/моль

Решение

Число молекул в одном моле любого газа (число Авогадро) N_А = 6,02·10²³ 1/моль. Объем одного моля любого газа (в том числе и водорода) при нормальных условиях V₀ = 22,4 л/моль =
= 22,4·10^–3 м³/моль. Следовательно, число молекул водорода, содержащихся в 1 м³ при нормальных условиях, определяется соотношением

п₀ = ? т = ?

Эта величина одинакова для любого газа и называется числом Лошмидта. Масса одной молекулы водорода кг.

Задача 2. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кисло-рода при температуре 7 °С и давлении 700 мм рт.ст.

Дано: m₁= 4 г = 0,004 кг m₁ = 2·10^–3 кг/моль m₂ = 32 г = 0,032 кг m₂ = 32·10^–3 кг/моль T = 280 °К р_см = 700 мм рт. ст. = = 700·133 = 9,31·10⁴ Па

Решение

Чтобы найти плотность смеси, необходимо знать ее массу и объем, тогда

Объем смеси можно найти, используя уравнение Менделеева–Клапейрона:

r_см= ?

отсюда

и тогда

кг/м³.

Задача 3. Дан график зависимости объема идеального газа от температуры. По этой известной зависимости построить графики в осях
р – Т.

Расшифруем, графики каких процессов показаны на осях:

1—2 – изобарический процесс (р₁ = const);

2—3 – изотермический процесс;

3—4 – изобарический процесс (р₂ = const, но р₂ < p₁).

Вычертим графики этих же процессов на других осях:

Задача 4. Открытый сосуд с газом нагрели от 27 °С до 127 °С. Определить, как изменилась масса газа в сосуде. Изменением размеров сосуда при нагревании пренебречь.

Дано: Т₁ = 300 °К Т₂ = 400 °К V₁ = V₂ = V₀

Решение

При нагревании открытого сосуда с газом в сосуде остаются постоянными давление и объем сосуда. Процесс перехода газа из одного состояния в другое является изобарным, но воспользоваться уравнением Гей-Люссака нельзя, так как меняется масса газа. Поэтому запишем уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение

состояния) для двух состояний газа:

откуда

Задача 5. В закрытом баллоне объема V₁ = 2 л находится воздух, давление которого р₁ = 0,53·10⁵ Па при комнатной температуре. Затем баллон опускают в воду той же температуры и на глубине h = 1,2 м открывают. Какой объем воды V войдет в баллон, если атмосферное давление р₀ = 0,99·10⁵ Па?

Дано: р₁ = 0,53·10⁵ Па V₁ = 2 л = 2^–3 м³ р₀ = 0,99·10⁵ Па h = 1,2 м r = 10³ кг/м³

Решение

Здесь имеет место изотермический процесс сжатия воздуха в баллоне. По закону Бойля-Мариотта

где р₂ – давление на глубине h.

V = ?

Па.

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

где п – концентрация частиц;

U – их потенциальная энергия;

п₀ – концентрация частиц в точках поля, где U = 0;

k – постоянная Больцмана;

T – термодинамическая температура;

е – основание натуральных логарифмов.

2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

где р – давление газа; т – масса частицы; m – молярная масса;

h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой;

р₀ – давление на этом уровне;

g – ускорение свободного падения;

R – универсальная газовая постоянная.

3. Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

где f (х) – функция распределения молекул по значениям данной физичес-кой величины х (плотность вероятности).

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v + dv,

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале;

N – общее число молекул;

т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

где – относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости v_в;

f (и) – функция распределения по относительным скоростям.

6. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

где d – эффективный диаметр молекулы;

п – концентрация молекул;

ávñ – средняя арифметическая скорость молекул.

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

где h – динамическая вязкость газа;

– градиент (поперечный) скорости течения его слоев;

DS – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.

9. Динамическая вязкость

где r – плотность газа (жидкости);

ávñ – средняя скорость хаотического движения его молекул;

álñ – их средняя длина свободного пробега.

10. Закон Ньютона

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

11. Закон Фурье

где DQ – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S – за время Dt;

К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

12. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

где с_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

r – плотность газа;

ávñ – средняя арифметическая скорость его молекулы;

álñ – средняя длина свободного пробега молекул.

13. Закон Фука

где Dт – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt;

D – коэффициент диффузии;

– градиент концентрации молекул;

т₁ – масса одной молекулы.

14. Коэффициент диффузии

Примеры решения задач

Задача 1. Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 °К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше, чем на 4 м/с.

Дано: Dv = 8 м/с Т = 300 °К

Решение

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла): число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + Du, равно

(1)

Здесь N – полное число молекул газа,

– функция распределения Максвелла,

где v – данная скорость;

v_в – наиболее вероятная скорость.

Уравнение (1) справедливо при условии Du << u. По условию задачи v = v_в, следовательно, и уравнение (1) примет вид

Сначала убедимся, что Du << u. Так как то

(2)

Определим теперь наиболее вероятную скорость

м/с.

Подставляя это значение v_в в (2) и имея ввиду, что Dv = 8 м/с,
поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от
(v_в – 4) м/с до (v_в + 4) м/с, получим

т. е. Du << u.

Задача 2. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при давлении 2 мм рт. ст и температуре 27 °С.

Дано: р = 2 мм рт. ст. = 266 Па Т = 300 °К m = 32 ·10^–3 кг/моль s = 2,9 ·10^–10 м (из таблицы)

Решение

Средняя продолжительность свободного пробега молекул равна отношению

t = ?

где álñ – средняя длина свободного пробега молекул;

ávñ – средняя арифметическая скорость молекул.

Среднюю длину свободного пробега молекул газа можно вычислить по формуле

где s – эффективный диаметр молекул;

k – постоянная Больцмана.

Средняя арифметическая скорость молекул газа вычисляется по формуле

Тогда

Ответ: t = 9,3 ·10^–8 с.

Задача 3. Пространство между двумя большими параллельными пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластинами Dl = 50 мм. Одна пластина поддерживается при температуре Т₁ = 293 °К, другая при температуре Т₂ = 313 К. Вычислить поток тепла q, приходящейся на единицу площади пластин, если давление в газе 760 мм рт.ст.

Дано: Dl = 5 ·10^–2м T₁ = 293 °К T₂ = 313 К р = 10⁵ Па

Решение

Из закона Фурье количество теплоты, прошедшее посредством теплопроводности через площадь DS за время Dt, равно

Поток тепла представляет собой количество тепла, прошедшее через площадь DS за единицу времени, поэтому

Коэффициент теплопроводности

где r – плотность гелия;

Плотность гелия при данных условиях можно найти, пользуясь уравнением Менделеева–Клапейрона

откуда

Подставив выражения для ávñ, álñ, c_V и r выразим К:

где

Тогда поток тепла через единичную площадь будет равен

Термодинамика

Основные формулы

1. Связь между молярной (С_m) и удельной (с) теплоемкостями газа

где m – молярная масса газа.

2. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

где i – число степеней свободы;

R – универсальная газовая постоянная.

3. Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:

4. Уравнение Р. Майера

5. Показатель адиабаты

6. Внутренняя энергия идеального газа

где áeñ – средняя кинетическая энергия молекулы;

N – число молекул газа;

n – количество вещества.

– изменение внутренней энергии.

7. Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле

где V₁ – начальный объем газа;

V₂ – его конечный объем.

Работа газа при изобарическом процессе (р = const):

при изотермическом процессе (Т = const):

при адиабатическом процессе:

где Т₁ – начальная температура газа;

Т₂ – его конечная температура.

8. Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатическом процессе)

9. Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатическом процессе:

10. Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

где Q – количество теплоты, сообщенное газу;

DU – изменение его внутренней энергии;

A – работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики при изобарическом процессе:

при изохорическом процессе (А = 0):

при адиабатическом процессе (Q = 0):

11. Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя;

Q₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

где Т₁ – температура нагревателя;

Т₂ – температура охладителя.

12. Изменение энтропии

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы.

Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

13. Формула Больцмана

где S – энтропия системы;

W – термодинамическая вероятность ее состояния;

k – постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Задача 1. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой т = 1 кг. Для повышения температуры кислорода на DТ = 10 °К ему было сообщено количество теплоты Q = 9,1 кДж. Найти удельную теплоемкость кислорода, работу, совершаемую им при расширении, и увеличение его внутренней энергии.

Дано: m = 1 кг m = 32 ·10^–3кг/моль Q = 9,1·10³ Дж DТ = 10 °К

Решение

Так как поршень в любой момент находится в равновесии, то во время нагревания кислорода его давление р остается также постоянным. Тогда удельная теплоемкость при постоянном давлении

c _р = ? А = ? DU = ?

Работа расширения при постоянном давлении

где V₁ и V₂ – начальный и конечный объем газа.

Уравнение состояния газа до и после нагревания

(1)

(2)

Вычитая из выражения (2) выражение (1), найдем

следовательно,

кДж.

Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии DU и на совершение работы А:

отсюда

кДж.

Задача 2. В цилиндре с площадью основания 100 см² находится воздух при температуре 17° С. На высоте 50 см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на котором лежит гиря весом 50 кГ. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на 50 °С? Атмосферное давление 760 мм рт. ст.

Дано: S = 100 см² = 0,01 м² Т₁ = 290 °К h = 0,5 м Р₀ = 150 кГ = 1470 Н р_А = 760 мм рт. ст. = 1·10⁵ Па DТ = 50 °К

Решение

В процессе нагревания газ расширяется и совершает работу по преодолению веса груза и силы атмосферного давления, действующих на поршень. Так как эти силы постоянны, то при достаточно медленном нагревании газ будет расширятся изобарически и его работу можно вычислить:

А = ?

При равновесии поршня давление р уравновешивается атмосферным давлением р_А и давлением, создаваемым гирей весом Р₀:

По закону Гей-Люссака ,

следовательно,

Дж.

Задача 3. Азот, занимавший при давлении р₁ = 2 ·10⁵ Па объем
V₁ = 5 л, расширяют до объема 8 л, при этом давление падает до значения
р₂ = 10⁵ Па. Процесс происходит сначала по изотерме, затем – по изохоре. Определить работу сил давления газа, изменение внутренней энергии и количество поглощенной теплоты при этом переходе.

Дано: p₁ = 2·10⁵Па V₁ = 5 л = 5·10^–3м³ V₂ = 8 л = 8·10^–3 м³ m = 28·10^–3кг/моль р₂ = 10⁵ Па i = 5

Решение

Q₁₂ = ? DU₁₂ = ? А₁₂ = ?

При переходе из состояния 1 в состояние 2 надо рассмотреть каждый из указанных процессов отдельно, тогда

(1)

Изменение внутренней энергии не зависит от процесса и в любом случае

(2)

Используя уравнение Менделеева–Клапейрона для состояний 1 и 2, получим

Дж.

Работа газа при изотермическом расширении

Дж.

Учитывая, что А_а₂ = 0, находим А₁₂ = А_1а= 470 Дж.

Для изотермического процесса (участок 1–а)

Дж; .

Для изохорического процесса (участок а–2)

Дж.

Общее количество теплоты

Дж.

Знак минус показывает, что газ отдавал теплоту окружающим телам.

Задача 4. Некоторая масса азота при давлении 1 атм имела объем 5 л, а при давлении 3 атм – объем 2 л. Переход от начального к конечному состоянию был сделан в два этапа: сначала по изохоре, а затем по изобаре. Определить изменение внутренней энергии, количество теплоты и произведенную работу.

Дано: i = 5 р₁ = 1 атм = 10⁵ Па V₁ = 5 л = 5·10^–3 м³ р₂ = 3 атм = 3·10⁵Па V₂ = 2 л = 2·10^–3 м³ m = 32·10^–3 кг/моль

Решение

Покажем графически, как происходил переход газа от первого состояния ко второму:

1) DU = ? 2) Q = ? 3) A = ?

1) При изохорном процессе вся теплота идет только на изменение внутренней энергии, работа при изохорном процессе не совершается, т. е.

2) При изобарном процессе на основе I начала термодинамики теплота идет как на изменение внутренней энергии, так и на работу:

За оба процесса:

Дж,

Дж.

Задача 5. Определить отношение для смеси 3 молей аргона и 5 молей кислорода.

Дано: n₁ = 3 моля n₂ = 5 молей m₁ = 40·10^–3 кг/моль m₂ = 32·10^–3 кг/моль i₁ = 3 i₂ = 5

Решение

По определению молярные теплоемкости и соответственно равны:

g = ?

Общее количество теплоты, затраченное на нагревание смеси из аргона и кислорода, найдем как сумму теплоты, затраченной на нагревание каждого газа в отдельности, а число молей смеси – как сумму молей аргона и кислорода, тогда

Ответ: 1,47.

Задача 6. Температура пара, поступающего в паровую машину,
t₁ = 130 °С; температура в конденсаторе t₂ = 25 °С. Определить теоретически максимальную работу при затрате количества теплоты Q = 5,1 кДж.

Дано: T₁ = 403 °К Т₂ = 298 °К Q₁ = 5,1·10³ Дж

Решение

Коэффициент полезного действия цикла Карно

. (1)

КПД любого теплового двигателя

А = ?

, (2)

где А – полезная работа, совершаемая двигателем;

Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.

Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим

откуда

1,3 кДж.

Задача 7. Кислород, масса которого т = 160 г при температуре
t₁= 27 °С расширяется изотермически, а затем изохорно нагревается до
t₂ = 127 °С. Найти изменение энтропии, если известно, что начальное и конечное давления одинаковы.

Дано: т = 1,16 кг m = 32·10^–3 кг/моль i = 5 Т₁ = 300 °К Т₂ = 400 °К

Решение

S₃ – S₁ = ?

Для процессов 1–2–3 изменение энтропии

(1)

где

Подставляя выражения dQ_T и dQ_V в выражение (1) и учитывая, что при изотермическом процессе получим:

Учитывая, что р₁ / р₂ = V₂/ V₁ (для процесса 1–2) и р₁ / р₂ = T₂/ T₁ (для процесса 2–3), получим V₂/ V₁ = T₂/ T₁, тогда

Задача 8 . 14 г азота адиабатически расширяются так, что давление уменьшается в 5 раз, а затем изотермически сжимаются до первоначального давления. Найти приращение энтропии при этих процессах.

Дано: d Q₁ = 0 т = 1,4·^10–4 кг m = 28·10^–3кг/моль р₁/р₂ = 5 Т₂ = соnst

Решение

Приращение энтропии можно найти по формулам

DS = ?

где ΔS₁– приращение энтропии при адиабатическом процессе;

ΔS₂– приращение энтропии при изотермическом процессе.

Так как dQ₁ = 0 по условию задачи, то и ΔS₁ = 0. Чтобы найти ΔS₂ запишем, чему равно количество теплоты dQ₂, которое при изотермическом процессе полностью расходуется на работу, т. е. dQ₂ = pdV. Отсюда Используя уравнение Менделеева-Клапейрона выразим давление через температуру и объем и подставим вместо р под интеграл. Тогда

Задача 9. Найти приращение энтропии DS при расширении 2 г водорода от V₁ = 1,5 л до V₂ = 4,5 л, если процесс расширения происходит: 1) при постоянном давлении; 2) при постоянной температуре.

Дано: i = 5 т = 2·10^–3кг m = 2·10^-3кг/моль V₁ = 1,5·10^–3м³ V₂ = 4,5·10^–3 м³ 1) р = соnst 2) Т = соnst

Решение

Используя формулу для приращения энтропии , найдем и , выразив dQ из I начала термодинамики сначала для изобарического, а затем для изотермического процессов:

DS₁ = ? DS₂ = ?

Отношение при изобарическом процессе равно отношению поэтому

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ЖИДКОСТИ

Основные формулы

1. Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

для произвольного количества вещества n газа

где a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа);

V – объем, занимаемый газом; V_m – молярный объем;

р – давление газа на стенки сосуда;

или – внутренне давление, обусловленное силами взаимодействия молекул.

2. Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

3. Внутренняя энергия реального газа

где С _V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

4. Поверхностное натяжение

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости, или

где DЕ – изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади DS поверхности этой пленки.

5. Формула Лапласа в общем случае записывается в виде

где р – давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости;

s – поверхностное натяжение;

R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в случае сферической поверхности

6. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

где q – краевой угол;

R – радиус канала трубки;

r – плотность жидкости;

g – ускорение свободного падения.

7. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями

где d – расстояние между плоскостями.

8. Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход Q_V = vS;

б) массовый расход Q_m = rvS, где S – площадь поперечного сечения трубки тока; v – скорость жидкости; r – ее плотность.

9. Уравнение неразрывности струи

где S₁ и S₂ – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

v₁ и v₂ – соответствующие скорости течений.

10. Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

где р₁ и р₂ – статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока;

v₁ и v₂ – скорости жидкости в этих сечениях;

и – динамические давления жидкости в этих же сечениях;

h₁ и h₂ – высоты сечений над некоторым уровнем;

rgh₁ и rgh₂ – гидростатические давления.

Уравнения Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной высоте (h₁ = h₂),

11. Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

Примеры решения задач

Задача 1. Бак, имеющий форму куба, длина ребра которого l, наполнен водой. определить силу давления на стенку бака со стороны воды, если атмосферное давление равно р₀.

Дано: l, r, p₀

Решение

F = ?

На рисунке показан график зависимости давления от глубины погружения h. Давление на боковую стенку линейно зависит от h, следовательно,

где р₁ = р₀; р₂ = р₀ + rgl.

Таким образом,

Ясно, что сила давления не будет приложена в центре грани куба, а будет несколько смещена вниз.

Задача 2. Полный медный шар, наружный объем которого V, плавает в воде так, что половина его погружена в воду. Найти объем полости шара, если плотность меди r₁, а воды – r₂.

Дано:

r₁; r₂; V

Решение

V₀ = ?

Так как шар находится в равновесии, то

Масса шара m = r₁ (V – V₀).

По закону Архимеда

Получим уравнение

откуда

Задача 3. Найти добавочное давление, обусловленное поверхностным натяжением, внутри шаровой капли радиусом R. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен s.

Дано: s; R

Решение

Рассечем мысленно каплю диаметральной плоскостью на две половинки. Вследствие поверхностного натяжения обе половинки притягиваются друг к другу с силой Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S = pR², поэтому

Dр = ?

Задача 4. Найти массу воды, поднявшейся по стеклянной капиллярной трубке диаметром 0,5 мм, если коэффициент поверхностного натяжения воды 7,2 ·10^–2 Н/м.

Дано: s = 7,2 ·10^–2 Н/м d = 0,5 ·10^–3 м

Решение

Сила поверхностного натяжения, действующая по краю мениска жидкости, направлена вверх и уравновешивает силу тяжести столбика жидкости.

т = ?

откуда

кг.

Задача 5. Из трубы сечением S₁ бьет вертикально вверх струя воды. Найти сечение струи на высоте h над отверстием трубы. Расход воды из трубы равен Q.

Дано: S₁; h; Q

Решение

Уравнение Бернулли для данного случая:

S₂ = ?

где v₁ – скорость воды в сечении S₁;

v₂ – скорость в сечении струи S₂ на высоте h.

Уравнение неразрывности

Отсюда находим v₁ и v₂ и подставляем в уравнение Бернулли:

откуда

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Студент-заочник должен решить семь задач того варианта, номер которого совпадает с третьей цифрой справа его шифра.

Пример. Номер шифра (номер зачетной книжки) 13799. Студент решает седьмой вариант.

Вариант	Номера задач
0	3	15	21	34	42	53	62
1	7	12	27	40	44	58	65
2	5	19	30	33	48	51	67
3	10	16	22	35	46	59	61
4	6	11	26	38	43	54	64
5	8	20	29	31	49	56	68
6	1	14	23	36	47	60	69
7	9	17	25	37	45	52	63
8	4	13	24	32	50	57	66
9	2	18	28	39	41	55	70

1. Открытую стеклянную трубку длиной l = 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают. Какой длины останется в трубке столбик ртути? Атмосферное давление равно
750 мм рт. ст.

2. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной L = 1 м находится столбик ртути высотой h = 20 см. если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на l = 10 см. до какого давления была откачана трубка? Плотность ртути r = 1,36 ·10⁴ кг/м³.

3. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом находится газ при давлении 10⁵ Па, во втором – при давлении 0,6 ·10⁵ Па. Объем первого баллона V₁ = 1 л, второго – V₂ = 3 л. какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура постоянная. Объемом трубки можно пренебречь.

4. Три баллона емкостью V₁ = 3 л, V₂ = 7 л и V₃ = 5 л наполнены соответственно кислородом (р₁ = 2 ·10⁵ Па), азотом (р₂ = 3 ·10⁵ Па) и углекислым газом (р₃ = 0,6 ·10⁵ Па) при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой, причем образуется смесь той же температуры. Каково давление смеси?

5. Дан график изменения состояния идеального газа в координатах р, V. Представить этот цикл в координатах р, T и V, Т.

6. В цилиндре, площадь основания которого равна S = 100 см², находится воздух при температуре 12 °С. атмосферное давление 10⁵ Па. На высоте h = 60 см от основания цилиндра расположен поршень. На сколько опустится поршень, если на него поставить гирю массой т = 100 кг, а воздух в цилиндре при этом нагреть до 27 °С? трение поршня о стенки цилиндра и вес самого поршня не учитывать.

7. Из баллона со сжатым водородом емкостью V = 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре t₁ = 7 °С манометр показывал р = 5 ·10⁶ па. Через некоторое время при температуре t₂ = 17 °С манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа?

8. Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом V₀ = 120 м³ при повышении температуры от t₁ = 15 °С до t₂ = 25 °С? Атмосферное давление р₀ = 10⁵ Па.

9. При какой температуре кислород (О₂), находясь под давлением 0,2 ·10⁶ па, имеет плотность 1,2 кг/м³?

10. В сосуде при температуре t = 100 °С и давлении р = 4 ·10⁵ Па находится 2 м³ смеси кислорода О₂ и сернистого газа SO₂. Определить парциальное давление компонентов, если масса сернистого газа 8 кг.

11. В баллоне емкостью 0,05 м³ находятся 0,12 кмоль газа при давлении 0,6 ·10⁷ Па. Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул газа.

12. Найти средние квадратичные скорости молекул азота и кислорода при температуре 27 °С.

13. Найти импульс молекулы водорода при температуре 20 °С. скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

14. В сосуде объемом 5 л находится 20 г кислорода под давлением 10⁵ Па. Найти: 1) среднюю квадратичную скорость молекул газа; 2) число молекул, находящихся в сосуде; 3) плотность газа.

15. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна
500 м/с. Давление газа равно 5 ·10⁴ Па. Найти плотность газа при этих условиях.

16. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 461 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа?

17. Чему равна энергия вращательного движения молекул, содержащихся в 1 кг азота при температуре 7 °С?

18. Чему равна энергия теплового движения молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 2 л и находящегося под давлением в 1,5 ·10⁵ Па?

19. 1 кг двухатомного газа находится под давлением 8·10⁴ па и имеет плотность 4 кг/м³. Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях.

20. Какое число молекул двухатомного газа занимает объем V = 10 см³ при давлении 40 мм рт. ст. и при температуре 27 °С? Какой энергией теплового движения обладают эти молекулы?

21. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 0,02 м³, равна 5 ·10³ Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул равна 2 ·10³ м/с. Найти: 1) количество азота в баллоне; 2) давление, под которым находится азот.

22. Смесь состоит из двух молей одноатомного газа и одного моля двухатомного газа. Определить мольные теплоемкости и смеси.

23. Вычислить теплоемкость при постоянном объеме двухатомного газа, заключенного в сосуд V = 10 л при нормальных условиях.

24. Разность удельных теплоемкостей некоторого двухатомного газа с_р – с _V = 2,08 кДж/кг ·К. Определить молярную массу m газа и его удельные теплоемкости с_р и с _V.

25. Каковы удельные теплоемкости с_р и с _V смеси газов, содержащей кислород массой т₁ = 10 г и азот массой т₂ = 20 г?

26. Определить удельную теплоемкость с _V смеси газов, содержащей V₁ = 5 л водорода и V₂ = 3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях.

27. В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теплоемкость с _V смеси газов, если массовые доли аргона и азота одинаковы и равны 0,5.

28. Вычислить удельные теплоемкости с_р и с_V газов: 1) гелия; 2) углекислого газа.

29. Для некоторого двухатомного газа удельная теплоемкость при постоянном давлении равна 840 Дж/кг · К. чему равна масса одного моля этого газа?

30. Чему равны удельные теплоемкости с_р и с_V некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м³?

31. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при температуре 17 °С и давлении 10⁴ Па.

32. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия 2,1 ·10^–2 кг/м³.

33. Найти среднее число столкновений в 1 с молекул азота при
t = 27 °С и давлении р = 0,5 ·10⁵ Па.

34. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха условно принять равным 3 ·10^–10 м.

35. В колбе объемом 100 см³ находится 0,5 г азота. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при этих условиях.

36. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него при этих условиях равен 0,142 см²/с.

37. Найти диаметр молекулы кислорода, если известно, что для кислорода коэффициент внутреннего трения при 0 °С равен 18,8 ·10^–6 Н·с/м²?

38. Найти коэффициент диффузии и коэффициент внутреннего трения воздуха при давлении 10⁵ Па и температуре 10 °С. диаметр молекулы воздуха принять равным 3 ·10^–10 м.

39. Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях.

40. Какая часть молекул водорода при температуре 0 °С обладает скоростями от 2000 м/с до 2100 м/с.

41. Один киломоль воздуха при давлении р₁ = 10⁶ Па и температуре Т₁ = 390 °К изохорически изменяет давление так, что его внутренняя энергия изменяется на DU = –71,7 кДж, затем изобарически расширяется и совершает работу А = 745 кДж. Определить параметры воздуха (считать
с_V = 721 Дж/кг ·К = const).

42. При изобарическом сжатии азота была совершена работа, равная 12 кДж. Определить затраченное количество теплоты и изменение внутренней энергии газа.

43. Определить работу расширения 7 кг водорода при постоянном давлении и количество теплоты, переданное водороду, если в процессе нагревания температура газа повысилась на 200 °С.

44. В цилиндре диаметром 20 см и высотой 42 см с подвижным поршнем находится газ под давлением 12 ·10⁵ Па при температуре 300 °С. определить работу, совершаемую газом при снижении температуры до
10 °С при постоянном давлении.

45. При изотермическом сжатии 2,8 кг окиси углерода объем его уменьшился в четыре раза. Определить работу сжатия, если температура газа 7 °С.

46. Азот, адиабатически расширяясь, совершает работу, равную
480 кДж. Определить конечную температуру газа, если до расширения он имел температуру Т₁ = 362 К. масса азота т = 12 кг. Теплоемкость считать постоянной.

47. 28 г азота, находящегося при температуре 40 °С и давлении 10⁵ Па, сжимается до объема в 13 л. Найти температуру и давление азота после сжатия, если: 1) азот сжимается изотермически; 2) азот сжимается адиабатически. Найти работу сжатия в каждом из этих случаев.

48. При изотермическом расширении 2 кг водорода, взятых при давлении 6 ·10⁵ Па и объеме 8,31 м³, была совершена работа 547 ·10³ Дж. Определить конечные параметры водорода, если после изотермического расширения газ был адиабатически сжат, причем была совершена такая же работа, что и при расширении.

49. Сероводород (Н₂S) массой 6 кг, занимающий объем 3 м³ при температуре 27 °С, сжали адиабатически так, что давление его увеличилось в два раза. Определить конечные объем, температуру и изменение внутренней энергии газа.

50. Азот массой 2 кг при температуре 7 °С занимает объем 830 дм³. В конце адиабатического сжатия температура возросла до 227 °С, а давление увеличилось до 15,2 ·10⁵ Па. Определить отношение с_р/с_V.

51. Найти изменение энтропии при превращении 20 г льда при
t = –10 °С в пар при t = 100 °С.

52. Найти изменение энтропии при плавлении 1 кг льда, находящегося при температуре 0 °С.

53. Смешали воду массой 4 кг при температуре Т₁ = 280 К с водой массой 10 кг при температуре Т₂ = 350 К. Найти: 1) температуру смеси;
2) изменение энтропии, происходящее при смешивании.

54. Лед массой 2 кг при температуре 0 °С был превращен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего температуру 100 °С. определить массу т₂ израсходованного пара. Каково изменение энтропии системы лед – пар?

55. 7 г водорода расширяются изобарически до удвоения объема. Найти изменение энтропии при этом расширении.

56. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 10 г водорода от 10⁵ до 0,5 ·10⁵ Па.

57. 650 г расплавленного свинца при температуре плавления вылили на лед при t = 0 °С. найти изменение энтропии при этом процессе.

58. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении 15 г гелия от объема V₁ = 10 л до V₂ = 30 л.

59. Совершая цикл Карно, газ получил от нагревателя теплоту
Q₁ = 1 кДж и совершил работу А = 200 Дж. Температура нагревателя
Т₁ = 375 К. Определить температуру охладителя.

60. Совершая цикл Карно, газ отдал охладителю 2/3 теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру охладителя, если температура нагревателя Т₁ = 425 °К.

61. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыльный пузырь, увеличить его диаметр от d₁ = 1 см до d₂ = 11 см.

62. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром внутреннего канала d = 1 мм. Найти массу вошедшей в трубку воды. Считать смачивание полным.

63. Определить работу А, которую необходимо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем от V₁ = 10 см³ до
V₂ = 20 см³.

64. Две капли ртути радиусом R = 1 мм каждая слились в одну большую каплю без изменения температуры. Какая энергия выделится при этом слиянии?

65. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром 5 см. Определить также работу, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

66. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного давления р₀, если диаметр пузыря d = 5 мм?

67. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h = 20 мм. Определить коэффициент поверхностного натяжения глицерина, если диаметр канала равен 1 мм.

68. Найти скорость течения по трубке углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м³. Диаметр трубы равен 2 см.

69. Тонкое алюминиевое кольцо радиусом 8,0 см соприкасается с мыльным раствором. Каким усилием можно оторвать кольцо от раствора? Температуру раствора считать комнатной. Масса кольца 10 г.

70. Под каким давлением находится воздух внутри пузырька радиусом 5 ·10^–3 мм, расположенного под поверхностью воды?

Литература

1. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс физики. – М.: Наука, 1970. –
Т. 1. – §§ 10, 11.

2. Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. – Т. 1. –
§§ 34–42.

3. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1973. – Т. 1. – §§ 4.1–4.3.

4. Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк., 1981.

5. Новодворская Е. М., Дмитриев Э. М. Методика проведения упражнений по физике во втузе. – М.: Высш. шк., 1981.

6. Беликов С. Б. Решение задач по физике. – М.: Высш. шк., 1986.

7. Савельев И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1987.

8. Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1994.

9. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями. – М.: Высш. шк., 1999.

10. Айзенцон А. Е. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1996.

Справочные таблицы

Плотность твердых тел

Твердое тело	Плотность, кг/с²	Твердое тело	Плотность, кг/м²
Алюминий Барий Ванадий Висмут Железо Литий	2,7 ·10³ 3,5 ·10³ 6,0 ·10³ 9,8 ·10³ 7,8 ·10³ 0,53 ·10³	Медь Никель Свинец Серебро Цезий Цинк	8,9 ·10³ 8,9 ·10³ 11,3 ·10³ 10,5 ·10³ 1,9 ·10³ 7,1 ·10³

Плотность жидкостей

Жидкость	Плотность, кг/м²	Жидкость	Плотность, кг/м²
Вода (при 4 °С) Глицерин Ртуть	1,00 ·10³ 1,26 ·10³ 13,6 ·10³	Спирт Сероуглерод	0,80 ·10³ 1,26 ·10³

Механические колебания

Основные формулы

1. Уравнение гармонических колебаний

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

t – время;

2. Круговая частота колебаний

где n и T – частота и период колебаний.

3. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

4. Ускорение при гармоническом колебании

где А₁ и А₂ – амплитуды составляющих колебаний;

j₁ и j₂ –их начальные фазы.

6. Начальная фаза j результирующего колебания может быть найдена из формулы

Если начальные фазы j₁ и j₂ составляющих колебаний одинаковы, уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

8. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

где m – масса точки;

k – коэффициент квазиупругой силы (k = mw²).

9. Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

10. Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

где m – масса тела;

k – жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

где l – длина маятника;

g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний;

а – расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

L = J/(ma) – приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд.

11. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где r – коэффициент сопротивления;

d – коэффициент затухания [d = r / (2m)];

w₀ – собственная круговая частота колебаний

12. Уравнение затухающих колебаний (решение дифференциального уравнения п. 11)

где А (t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t;

w – их круговая частота.

13. Круговая частота затухающих колебаний

14. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

где А₀ – амплитуда колебаний в момент t = 0.

15. Логарифмический декремент колебаний

где а (t) и а (t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

16. дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

F₀ – ее амплитудное значение: f₀ = F₀/m.

17. Амплитуда вынужденных колебаний

18. Резонансная частота и резонансная амплитуда

Примеры решения задач

Дано: m = 0,2 кг T = 4 c А = 0,05 м a₀ = p/6 t₁ = 0 t₂ = 2 с

Решение

Уравнение движения в общем виде запишется

где

Таким образом,

k = ? х₀ = ? x = ? а_max = ? F_max = ?

При t₁ = 0

при t₂ = 2 с

Найдем скорость и ускорение шарика:

Для нахождения жесткости пружины вспомним, что откуда

x = cos pt, см; y = 2 sin cм. (1)

Дано : x = cos pt, см y = 2 sin

cм

Решение

(2)

y = f (x)

Учтем, что Используя соотношение (2), запишем: Отсюда или

(3)

Возводя в квадрат, выражаем

(4)

х	–1	–0,75	–0,5	0	0,5	1
	0	±0,71	±1	±1,41	±1,73	±2

Из уравнений (1) получаем периоды колебаний по осям ОХ и О Y:

Дано: Т = 4 с σ = 1,6 j = 0 х = 4,5 см при

Решение

Уравнение затухающих колебаний имеет вид

(1)

В нашем случае

x = f (t)

Амплитуда а найдется из условия х = 4,5 при t = с. запишем уравнение:

см.

Отсюда выражаем и находим А = 6,7 см. Уравнение колебаний маятника примет вид:

см. (2)

Из уравнения (1) находим (при j = 0)

Разделив это уравнение на А · b · е^–^b^t · сos (w t), получим

откуда

Решение этого уравнения

где п – целое число,

п = 0, 1, 2…

Следовательно, положения максимумов и минимумов задаются уравнением

или

Отсюда координаты первых экстремумов

t₁ = 0,842 с; t₂ = 2,842 с; t₃ = 4,842 с; t₄ = 6,842 с.

Подставляя найденные значения t в уравнение (2), найдем соответствующие значения х:

см;

см,

и построим график.

	t₁	t₂	t₃	t₄
t	0,842 c	2,842 c	4,842 c	6,842 c
x	4,64 cм	–2,08 см	0,97 см	–0,39 см

График затухающего колебательного движения

Контрольная работа № 1

Пример. Номер зачетной книжки 13799. Студент решает седьмой вариант.

Вариант	Номера задач
0	3	16	23	39	43	55	62	74
1	6	20	26	37	50	58	70	78
2	5	13	28	40	46	52	64	72
3	10	18	24	31	48	56	61	79
4	7	14	21	35	44	59	68	77
5	2	11	29	34	49	54	67	71
6	8	17	25	32	41	60	65	73
7	9	12	27	36	47	53	69	76
8	1	15	22	38	42	57	63	80
9	4	19	30	33	45	51	66	75

6. Движение двух материальных точек выражается уравнениями

где А₁ = 20 м; В₁ = 2 м/с; С₁ = –4 м/с²; А₂ = 2 м; В₂ = 2 м/с; С₂ = 0,5 м/с².

8. Тело, двигаясь равноускоренно, прошло некоторый путь за 12 с. За какое время оно прошло последнюю треть пути?

10. Движение материальной точки задано уравнениями:

Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 c.

57. Тело массой 100 кг поднимают с ускорением 2 м/с² на высоту 25 м. Какая работа совершается при подъеме тела?

74. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

х₁ = A₁ sin wt и x₂ = A₂ cos wt,

где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; w = 1 с^–1.

х = A₁ sin wt и у = A₂ cos wt,

где А₁ = 0,5 см; А₂ = 2 см.

Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Законы идеальных газов.

Молекулярно-кинетическая теория газов

Основные формулы

1. Количество вещества

где N – число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т. д.);

N_А – постоянная Авогадро;

m – молекулярная масса.

2. Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Менделеева–Клапейрона)

где т – масса газа;

m – молярная масса газа;

R – универсальная газовая постоянная;

Т – термодинамическая температура.

3. Закон Дальтона

где р – давление смеси газов;

р _i – парциальное давление i-го компонента смеси;

п – число компонентов смеси.

4. Молярная масса смеси газов

5. Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

где V – объем системы;

r – плотность вещества.

6. Основное уравнение кинетической теории газов

где áe_nñ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

7. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы) –

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

8. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

9. Скорость молекул:

средняя квадратичная:

или

средняя арифметическая:

или

наиболее вероятная:

или

где т₁ – масса одной молекулы.

Примеры решения задач

Дано: V = 1 м³ T = 273 °К р = 1·10⁵ Па m = 2·10^–3 кг/моль

Решение

п₀ = ? т = ?

Эта величина одинакова для любого газа и называется числом Лошмидта. Масса одной молекулы водорода кг.

Задача 2. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кисло-рода при температуре 7 °С и давлении 700 мм рт.ст.

Решение

Чтобы найти плотность смеси, необходимо знать ее массу и объем, тогда

Объем смеси можно найти, используя уравнение Менделеева–Клапейрона:

r_см= ?

отсюда

и тогда

кг/м³.

Расшифруем, графики каких процессов показаны на осях:

1—2 – изобарический процесс (р₁ = const);

2—3 – изотермический процесс;

3—4 – изобарический процесс (р₂ = const, но р₂ < p₁).

Вычертим графики этих же процессов на других осях:

Дано: Т₁ = 300 °К Т₂ = 400 °К V₁ = V₂ = V₀

Решение

состояния) для двух состояний газа:

откуда

Дано: р₁ = 0,53·10⁵ Па V₁ = 2 л = 2^–3 м³ р₀ = 0,99·10⁵ Па h = 1,2 м r = 10³ кг/м³

Решение

Здесь имеет место изотермический процесс сжатия воздуха в баллоне. По закону Бойля-Мариотта

где р₂ – давление на глубине h.

V = ?

Па.

12 3 Следующая ⇒