Элементы статистической физики

 

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

 

 

где п – концентрация частиц;

 U – их потенциальная энергия;

 п₀ – концентрация частиц в точках поля, где U = 0;

 k – постоянная Больцмана;

 T – термодинамическая температура;

 е – основание натуральных логарифмов.

 

2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

 

 

где р – давление газа; т – масса частицы; m – молярная масса;

 h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой;

 р₀ – давление на этом уровне;

 g – ускорение свободного падения;

 R – универсальная газовая постоянная.

 

3. Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

 

 

где f (х) – функция распределения молекул по значениям данной физичес-кой величины х (плотность вероятности).

 

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

 

 

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v + dv,

 

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале;

 N – общее число молекул;

 т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

 

где  – относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости v_в;

f (и) – функция распределения по относительным скоростям.

 

6. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

 

где d – эффективный диаметр молекулы;

 п – концентрация молекул;

 ávñ – средняя арифметическая скорость молекул.

 

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

 

 

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

 

 

где h – динамическая вязкость газа;

 – градиент (поперечный) скорости течения его слоев;

 DS – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.

 

9. Динамическая вязкость

 

 

где r – плотность газа (жидкости);

 ávñ – средняя скорость хаотического движения его молекул;

 álñ – их средняя длина свободного пробега.

 

10. Закон Ньютона

 

 

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

 

11. Закон Фурье

 

 

где DQ – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S – за время Dt;

 К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

12. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

 

 

где с_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

 r – плотность газа;

ávñ – средняя арифметическая скорость его молекулы;

álñ – средняя длина свободного пробега молекул.

 

13. Закон Фука

 

,

 

где Dт – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt;

 D – коэффициент диффузии;

 – градиент концентрации молекул;

 т₁ – масса одной молекулы.

 

14. Коэффициент диффузии

 

Примеры решения задач

 

Задача 1. Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 °К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше, чем на 4 м/с.

Дано:   Dv = 8 м/с Т = 300 °К

Решение

 

Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла): число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + Du, равно

 

                         (1)