Инженерный стиль мышления

И. Кант

Чему и как учиться

Инженерный стиль мышления

При всем многообразии и обширности той сферы деятельности, которая связана с развитием техники, существуют универсальные психологические качества, в значительной мере предопределяющие возможность усвоения студентом соответствующих знаний, способность выработать необходимые навыки, а также будущую успешность в профессии. Среди этих качеств, на мой взгляд, важнейшим является особый склад ума, который можно определить как инженерный стиль мышления.

Замечу, что вслед за В.В. Гуленко [1] психологи, исследуя структурные формы мышления, а не его содержание(!), выделяют «четыре основных стиля мышления: причинно-следственный, диалектико-алгоритмический, фрактально-голографический и вихревой» (за разъяснениями можно обратиться к Википедии [2]). Понятие «инженерный стиль мышления» ỳже и относится к технологии осмысления мира техники. Оно тесно связано с критериями компетенций, которые ныне рассматриваются как важнейшая цель и мерило качества обучения в вузе [3].

Основу инженерного стиля мышления составляют следующие качества и умения.

Во-первых, это любознательность и стремление к пониманию физической сути природных явлений и мира техники. Во-вторых, пристрастие к количественному анализу проявлений того или иного процесса, той или иной закономерности. Здесь важны три умения: 1) ввести измеримые характеристики и параметры сущностных проявлений; 2) пренебречь несущественными факторами; 3) установить количественные взаимосвязи и закономерности. В-третьих, владение базовым арсеналом математических методов и приемов, необходимых для решения широкого круга задач в предметной области. В-четвертых, умение за математическим формализмом видеть, чувствовать природу анализируемых процессов. Это не только наполняет физическим смыслом полученные результаты, но позволяет ускорять ход решения задачи за счет эвристических приемов и обоснованных допущений. Кроме того, зачастую бывает так, что среди строгих математических решений лишь некоторые соответствуют условиям физической реализуемости или другим практическим ограничениям. Их нужно распознать и выделить из формальных решений. Этого не сделать без понимания физической сути тех процессов, количественные закономерности которых отражают математические выражения. Диаграмма на рис. 1.1 иллюстрирует роль инженерного мышления в деятельности инженера. Как всякая диаграмма психолого-социального плана она не требует подробных комментариев.

Рис. 1.1. Деятельность инженера

Заметим только, что можно выделить две основные функции инженерного мышления как слагаемого компетенций инженера: способность от реального физического мира легко переходить в виртуальный мир математических описаний, математического формализма, а затем с той же легкостью совершать обратный переход к физической реальности, к интерпретации и пониманию формальных результатов.

Рис. 1.2. Субъекты процесса обучения

Едва ли стоит (и возможно ли?) придумать специальные занятия по формированию инженерного стиля мышления. На это, в конечном счете, направлен весь процесс обучения в техническом вузе, в котором решающую роль играет взаимодействие трех субъектов: чиновника, преподавателя и студента. Безусловно, государственные стандарты и учебные планы (отчасти продукт усилий чиновников) необходимы и играют важную системообразующую роль, но к формированию инженерного стиля мышления они имеют весьма отдаленное отношение. Здесь главные факторы − это способности и мотивированность студента, с одной стороны, квалификация и вдохновение преподавателя, с другой.

Абитуриент поступает в вуз таким, каким его готовит школа, а его отношение к учебе в первую очередь определяется статусом представителей выбранной профессии. В нынешней России и с тем, и с другим дела обстоят, мягко говоря, не вполне удовлетворительно. В схеме на рис. 1.2 наряду с субъектами вузовской деятельности представлен и фактор социальных условий, которые наподобие катализатора «в реакции не участвуют, но способны ее мощно ускорить или затормозить». Весьма ограниченный спрос на инженеров из-за сырьевой ориентации экономики, приниженный статус преподавателя наносят ощутимый удар по качеству технического образования. В расчете на изменение ситуации к лучшему высказываю ряд советов для студентов, призвание которых – стать инженерами. Надеюсь, они помогут не только в формировании инженерного стиля мышления, но и вообще в учебе.

Выводы

Естественно, что инженерный стиль мышления формируется, воспитывается и тренируется в процессе изучения любой технической дисциплины, на любых учебных занятиях: на лекциях, в лабораториях, на практических занятиях и даже на экзаменах. Однако в наиболее концентрированном виде это происходит при выполнении курсовых проектов, если проектирование не сводится к действиям по шаблону, подробно изложенному в методическом пособии. Цель достигается, если преподаватель намеренно ставит студента в условия неоднозначного выбора и на всех этапах проекта играет активную роль то заказчика проекта, то опытного сослуживца, то вредного конкурента. Цель достигается с еще большим успехом, если сам преподаватель с азартом генерирует спонтанные идеи.

2. Полезные фрагменты базовых знаний

Чтобы с пониманием разобраться в предстоящих темах, нужны некоторые знания и умения, часть из которых лежит на периферии таких дисциплин, как математика, радиотехнические цепи и сигналы, и, как свидетельствует преподавательский опыт, у многих студентов недостаточны. Подготовленный читатель может пропустить эту часть. Однако раздел 2.3, на мой взгляд, всем стóит проработать или как минимум прочесть. В нем излагаются идеология и эффективные алгоритмы аппроксимации функций, служащие основой анализа, синтеза и проектирования не только антенн, но и многих других радиотехнических устройств. Минимум-миниморум, ориентированный на восполнение типичных изъянов студенческих знаний, сводится к следующему.

Комплексная алгебра

Комплексные числа (КЧ) или величины играют фундаментальную роль во множестве дисциплин, хотя бы потому, что открывают путь чрезвычайно удобному способу анализа гармонических процессов. Абсолютно необходимые базовые представления здесь просты, их мало и сводятся они к следующему:

· алгебраическая и показательная (тригонометрическая) формы записи КЧ, графическое изображение КЧ на комплексной плоскости (КП);

· формула Эйлера e^j ^φ = cos ( φ ) + j sin ( φ );

· комплексная арифметика – сложение, перемножение, деление;

· наконец, возведение в степень и извлечение корня*.

Если вы затрудняетесь представить в алгебраической форме следующие числа вычислить 1/(3 – j4) =.., e⁽^ln⁽^e⁾⁺^j⁾ =.., упростить выражение (e^jx − e ⁻ ^jx)/(e^jx + e ⁻ ^jx) =…, то вам полезно внимательно прочесть текст, набранный мелким шрифтом, или зайти на сайт [4] в меню «Общее: / Комплексная алгебра» и выполнить простенькие упражнения и проверочные тесты Комплекс_1 и/или Комплекс_2.

Комплексное число

o Все начинается с понятия мнимая единица j – это абстрактное нечто, квадрат которого есть –1: j² = –1. По-другому, . Из этого определения непосредственно следуют равенства: j²^k = (j²)^k = (−1)^k; j²^k+1 = j²^k j = j(−1)^k .

o Комплексным называют число, содержащее реальную (вещественную) и мнимую части a = a΄ + ja˝. В пределах текущего подраздела для обозначения КЧ используется подчеркивание. Ради компактности записей вместо обозначений Re( a), Im( a) будут использоваться символы «΄» и «΄΄» соответственно для реальной и мнимой частей КЧ.

o Два КЧ называют комплексно сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части: a = a΄ + ja˝ , a^* = a΄ − ja˝ . Звездочка ^* – это символ комплексного сопряжения.

Операции с КЧ в алгебраической форме

§ Суммирование КЧ осуществляется по правилу: a = ∑a _n = ∑a_n΄ + j∑a_n˝ , т.е. реальные и мнимые части КЧ складываются порознь (!). Вопросы для самопроверки: Может ли сумма двух КЧ с ненулевыми мнимыми частями быть числом вещественным? Может ли при суммировании двух КЧ с ненулевыми реальными частями получиться мнимое число? Чему равна сумма двух КЧ: a₁ = 35 – j 15 и a₂ = − 25+ j 5?

§ Умножение или деление КЧ а на вещественное число b означает соответственно умножение или деление и реальной, и мнимой частей КЧ на вещественный сомножитель: b a = b a΄+ j b a˝; a / b = a΄/ b + j a˝/ b.

§ При вычитании двух комплексных чисел их реальные и мнимые части вычитаются порознь. Задание. Вычислите a₁ − a₂ , где a₁ = 35 – j15 и a₂ = –25 + j 5.

§ Произведение двух КЧ соответствует обычному правилу раскрытия скобок, причем с мнимой единицей j обращаются как с коэффициентом и учитывают, что j² = –1: a = a₁ a₂ = (a₁΄+ j a₁˝) (a₂΄+ j a₂˝) = (a₁΄a₂΄- a₁˝a₂˝) + j (a₁΄a₂˝ + a₁˝a₂΄). Это легкое правило следует усвоить крепко-накрепко и лучше не запоминать последнюю формулу, а всякий раз раскрывать скобки, не забывая про j² = –1(!). Задания для самоконтроля. Запишите в алгебраической форме результат возведения КЧ в квадрат: a² = aa = (a΄+ ja˝) (a΄+ ja˝) = ? . Вычислите (1 + j) (2 − j) =? . Вычислите значение (−3 − j) (2 + j2) =? . Вычислите (1 + j) (1 – j) =? . Убедитесь в том, что произведение КЧ на комплексно сопряженное – есть число вещественное. Для этого продолжите запись в алгебраической форме произведения aa^* = (a΄+ ja˝) (a΄− ja˝) =?

Найдите КЧ а = j^1/2. Конечно, возводить КЧ в любую степень (в том числе извлекать корень квадратный) проще, если перейти к показательной форме КЧ. Но сформулированную задачу несложно и интересно решить в алгебраической форме. Для этого переформулируйте задачу как а² = j, после чего приравняйте вещественную часть квадрата (a΄+ ja˝) (a΄+ ja˝) нулю, а его мнимую часть приравняйте 1. Получается система двух уравнений настолько простая, что ее и решать-то не приходится: «невооруженным глазом» видно, что a΄ = a˝ и (a΄)² = (a˝)²= 1/2, таким образом, j^1/2 = 0,7071 + j 0,7071. Еще умнее записать j^1/2 = ± (0,7071 + j 0,7071).

§ Деление двух КЧ выполняют так: и числитель, и знаменатель умножают на комплексно сопряженный знаменатель, сводя дело к делению на вещественное число:

a = a₁/ a₂ = (a₁a₂^*) / (a₂a₂^*) = (a₁΄+ ja₁˝) (a₂΄− ja₂˝) / ((a₂΄+ ja₂˝) (a₂΄− ja₂˝)) =

= (a₁΄a₂΄ + a₁˝a₂˝) / (a₂΄²+a₂˝²) + j(a₁΄a₂˝ − a₁˝a₂΄) / (a₂΄²+a₂˝²).

Это правило следует усвоить, и вновь-таки едва ли стоит запоминать последнюю формулу. Лучше (и надежней!) всякий раз повторять процедуру, умножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженный знаменатель и т.д. Задания для самоконтроля: Найдите результат (1+ j) / (1– j) =? Вычислите (1 + j) / (2 – j) =? Вычислите (–3 – j) / (2 + j2) =?

Операции с КЧ в показательной форме

§ Формула Эйлера e ^j^α = cos(α) + j sin(α) не только привносит красоту и порядок в комплексную алгебру, но чрезвычайно полезна в практическом отношении, так как существенно облегчает многие вычислительные операции. Поэтому ее надо помнить. Задания для тренировки. Запишите в алгебраической форме КЧ exp(j30^°) = ? , exp(jπ/2) = exp(j90^°) = ? , exp(–j45^°) = exp(–jπ/4) =? , exp(jπ ) = exp(j180^°) = ? Информация для любопытных и сообразительных. Формула Эйлера – это всего лишь обобщение экспоненциальной функции на случай чисто мнимого аргумента. В самом деле, воспользуемся разложением exp(x) = S xⁿ/n! и заменим x на jx. Учтем, что для четных n = 2k имеем jⁿ= (–1)^k и соответственно jⁿ= j (–1)^k для нечетных n = 2k+1. Тогда exp(x) = S (–1)^k x² ^k/(2k)! + j S (–1)^k x²^k⁺¹/(2k+1)!. А теперь вспомним разложения cos(x) = S (−1)^k x²^k/(2k)! и sin(x) = S (–1)^k x²^k⁺¹/(2k+1)! Формула Эйлера доказана!

§ Показательная форма записи КЧ: a = М e^jα – непосредственно следует из формулы Эйлера. М называют модулем КЧ, а α – аргументом КЧ.

Действительно, любое КЧ a = a΄ + ja˝ можно, умножив и разделив на модуль М = , представить в виде a = М e^jα, где

α = arctg(a˝/a΄) = arccos(a΄/M) = arcsin(a˝/M).

Причем, учитывая знаки реальной (косинус) и мнимой (синус) частей, необходимо восстанавливать полное значение α (в интервале 0° ÷ 360° или ±180°), исходя из главного значения обратных тригонометрических функций, вычисляемого калькулятором. Задания для самопроверки. Запишите в показательной форме следующие КЧ: (1 – j) =?, (−3 + j4) =?, (–3 – j4) =?, (3 + j4) =?, (3 – j4) =?.

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость (КП) вводится для наглядного графического представления КЧ и операций с ними.

§ По горизонтальной оси декартовой системы координат откладывают вещественную часть КЧ, а по вертикальной – мнимую. Причем масштабы по обеим осям одинаковы, это принципиально! Тогда каждому КЧ соответствует определенная точка (или вектор) на КП (рис. 2.1). Показательной форме записи КЧ соответствуют полярные координаты соответствующей точки: М – это длина радиус-вектора точки, а α – его угол.

Рис. 2.1. Комплексная плоскость

§ Сложение КЧ соответствует обычному правилу сложения векторов: конец первого вектора служит начальной точкой второго и т.д. Это дает наглядную интерпретацию процесса суммирования и служит способом графического построения суммы КЧ.

§ Произведение двух КЧ образует вектор под углом, равным сумме углов сомножителей α = α₁ + α₂, а его модуль равен произведению их модулей М = М₁М₂. Здесь графические образы тоже полезны, хотя не столь наглядны, как при сложении.

§ Возведение КЧ в квадрат дает вектор под удвоенным углом с модулем, равным квадрату исходного модуля (результирующий модуль увеличится, если исходный модуль больше 1, и уменьшится в противном случае). Извлечение квадратного корня из КЧ, как обратная процедура, приводит к вектору по биссектрисе исходного угла с модулем, равным .

§ КЧ e^j^α – есть точка под углом α на окружности единичного радиуса.

§ КЧ (e^j^α)^1/2 имеет два значения: или e^j^α^/2, или e^j⁽^α^/2+π), так как при возведении в квадрат оба ответа дают одно и то же КЧ e^j^α (формально, их аргументы отличаются на 2π = 360°). В частности КЧ = (e^j⁹⁰^°)^1/2 соответствует двум точкам на единичной окружности: под углом 45 и 225 , а потому их декартовы координаты (алгебраическая форма двух КЧ) есть ± (0,7071 + j 0,7071).

Ортогональность функций

Другим, пожалуй, даже более впечатляющим примером исключительно плодотворного заимствования характеристик нашего евклидова пространства в интересах абстрактных математических пространств служит понятие ортогональности, в частности, ортогональности функций.

В евклидовом пространстве каждая точка х может быть определена радиус-вектором х − направленным отрезком из начала системы координат к этой точке. Свойство перпендикулярности векторов играет очень важную роль. Для того чтобы произвольный вектор х представить суммой базисных векторов {x_n}: х = ∑а _n x_n – чрезвычайно удобно использовать систему взаимно перпендикулярных единичных векторов {x_n}, образующих так называемый ортонормированный базис. Дело в том, что в этом случае каждый из коэффициентов разложения а _n определяется независимо от других, как проекция вектора х на базисный вектор x_n: а _n = (x, x_n) = ∑а _k x_nk. Если же базисные векторы не перпендикулярны друг другу, то процедура поиска коэффициентов а _n значительно усложняется и сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений.

Естественно, и в функциональном пространстве процедура разложения произвольной функции f(x) по системе базисных функций f(x) = ∑а _n f_n(x) играет такую же важную роль, как и в векторном пространстве. Заманчиво, чтобы базисные функции обладали таким же свойством взаимной «перпендикулярности». Но как это свойство определить? Можно ли ввести понятия «угол» между функциями и их «перпендикулярность»? Этот вопрос, пожалуй, посложнее вопроса о расстоянии между функциями. Воспринимая расстояние как количественную меру отклонения функций друг от друга, не так уж и трудно догадаться использовать среднеквадратичное отклонение в качестве этой меры. Чтобы ввести понятие перпендикулярности функций требует существенно более изощренная идея.

В математике эта проблема решена через обобщение понятия скалярного произведения. Для векторов евклидова пространства скалярное произведение вводится следующим образом: (x₁, x₂) = |x₁| |x₂| cos(α), где x₁ и x₂ – произвольные векторы, а α – угол между ними. Из геометрического смысла скалярного произведения вытекает ряд свойств, главные из которых сводятся к следующему. Если один из векторов образован суммой векторов, то скалярное произведение равно сумме скалярных произведений (свойство линейности). Если векторы x₁ и x₂ одинаковы (x₁ = x₂ = x), то скалярное произведение – не отрицательная величина, равная квадрату модуля вектора: (x, x) = |x|² (свойство положительной определенности), и равенство (x, x) = 0 выполняется только в случае нулевого вектора x ≡ Ø. Кроме того, ясно, что |(x₁, x₂)| ≤ |x₁| |x₂|, т.к. cos(α) ≤ 1. Перпендикулярность не нулевых векторов x₁ и x₂ проявляется в том, что их скалярное произведение обращается в нуль, поскольку cos(α) = 0 при α = 90°.

Перенося эти смысловые свойства в понятие скалярного произведения для пространства из элементов произвольной природы, в частности для пространства F комплексно-значных функций, математики определяют его так: комплексное число, сопоставляемое любой паре функций f₁ = f₁(x) и f₂ = f₁(x) и обозначаемое (f₁, f₂), является их скалярным произведением, если выполняются следующие условия:

· для любых трех элементов f₁, f₂ и f пространства F и любых чисел α и β справедливо равенство (α f₁ + β f₂, f) = α(f₁, f) + β (f₂, f) (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

· для любых элементов f₁ и f₂ справедливо равенство (f₁, f₂) = = (f₂, f₁)^*, где знак ^* обозначает комплексное сопряжение;

· для любого элемента f имеем (f, f) ≥ 0, причем (f, f) = 0 только для нулевого элемента f ≡ 0 (положительная определенность скалярного произведения).

Величина || f || = (f, f)^1/2 называется нормой элемента f (в частности, функции) и играет роль, аналогичную модулю вектора. Норма разности элементов удовлетворяет всем аксиомам метрики и тем самым порождает соответствующее пространство, в котором расстояние определено как

ρ(f₁, f₂) = || f₁ − f₂|| = (f₁ − f₂, f₁ − f₂)^1/2.

Ненулевые функции f₁ и f₂, скалярное произведение которых равно нулю |(f₁, f₂)| = 0, по лингвистическим соображениям называют не перпендикулярными, а ортогональными. Причем ясно: эти термины являются синонимами настолько абсолютными, что и применительно к векторам термин «ортогональность» широко используется, например, о системе взаимно перпендикулярных ортов говорят не иначе, как ортогональная система координат.

Для функций f(x), интегрируемых в квадрате на интервале (a, b), скалярное произведение может быть определено (и чаще всего определяется) следующим образом:

(f₁(x), f₂(x)) = . (2.9)

Убедитесь в том, что метрика ρ(f₁(x), f₂(x)) = (f₁(x) − f₂(x), f₁(x) − f₂(x))^1/2, порождаемая скалярным произведением (2.9), совпадает с метрикой (2.7). Сделать это легко, если понимать, что f(x) f ^*(x) = |f(x)|².

В случае векторного пространства исключительный интерес представляют ортогональные системы координат, порождающие совокупность взаимно ортогональных ортов* {ξ_j} (j = 1,...,N), т.е. векторов, удовлетворяющих условию (ξ_j, ξ_i) = δ_ji, где δ_ji = − так называемый символ Кронекера. В этом случае для произвольного вектора А коэффициенты α_j его разложения А = ∑α_j ξ_j по базисным ортам {ξ_j} вычисляются очень просто: α_j = (А, ξ_j).

Аналогичную роль в N-мерном функциональном пространстве играют ортонормированные базисы, образованные совокупностью N взаимно ортогональных нормированных функций {f_j(x)}, т.е. функций, удовлетворяющих аналогичному условию (f_j(x), f_i(x)) = δ_ji. Если скалярное произведение определено равенством (2.9), то функции {f_j(x)} должны удовлетворять условию = δ_ji. При этом произвольная функция f(x) этого пространства представляется разложением f(x) = ∑α_j f_j(x), где α_j = (f(x), f_j(x)) = .

Вводные замечания

На мой взгляд, лучший способ разобраться в сути какой-либо технической системы – попытаться самостоятельно, насколько это удастся, продвинуться от несложно понимаемых функциональных свойств к конкретным техническим решениям, по ходу дела принимая упрощающие допущения, осваивая необходимые новые математические приемы или «заштукатуривая» пробелы в знаниях и оставляя «узелки на память». Естественно, на этом пути студенту очень трудно быть абсолютно самостоятельным, тем более, что приемлемые временные затраты существенно ограничены. На одних этапах надо иметь настойчивого поводыря, на других – деликатного советчика. Их роль я постараюсь исполнить*. Представим себе, что никто не знает, как достичь того, чтобы АР была способна автоматически изменять свою ДН, формируя глубокие провалы в направлениях на помехи. Наша задача – осчастливить человечество. Но прежде взглянем на поле деятельности.

Начнем с толкований, которые терминам «адаптация» и «адаптивная антенная решетка» дает Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/)

Адаптация (лат. «adapto» — приспособляю) − это процесс приспособления к изменяющимся условиям внешней среды.

Адаптивная антенная решётка (ААР) — тип антенны, в которой динамическое изменение параметров и характеристик антенн меняется адаптивно к воздействиям внешних или внутренних факторов, за счет чего повышается качество приёма сигнала. В зарубежной литературе адаптивная антенная решётка зачастую называется smart antenna (умная антенна).

Хронологически первым техническим решением, которое можно отнести к ААР, является переизлучающая антенная решетка Ван-Атта (рис. 3.1,а). Она образована линейной, или плоской, антенной решеткой, симметрично (относительно центра) расположенные элементы которой попарно соединены отрезками фидеров одинаковой длины (выделены жирной линией).

Рис. 3.1. Антенная решетка Ван-Атта: а – пассивное переизлучение;

б – переизлучение с усилением и модуляцией сигнала

Если на решетку под углом θ₀ падает плоская электромагнитная волна, то на антенном элементе с координатой х наводится сигнал , который излучается симметрично расположенным элементом с координатой – х. Поэтому излучаемые решеткой сигналы имеют фазовое распределение {I_n = }, которому соответствует ДН

. (3.1)

Эта ДН сфокусирована в направлении θ₀, поскольку в направлении θ = θ₀ все сигналы, как это следует из (3.1), складываются синфазно, формируя максимум ДН. Таким образом, решетка Ван-Атта обладает заманчивой способностью переизлучать падающую на нее волну в направлении, откуда та пришла. Очевидно, что такая решетка порождает интенсивный обратный сигнал при облучении в широком секторе углов и может применяться как эффективный пассивный радиобуй навигационной системы или отражатель в интересах радиолокационной маскировки.

Вопросы для размышлений.

1. Не прибегая к формульным средствам, на основе только геометрических построений (см. рис. 3.1, а) и физических соображений обоснуйте факт, что сложения в направлении θ₀переизлученные сигналы от всех антенных элементов складываются синфазно.

2. Реальные антенные элементы согласованы не идеально. Проявляется ли это в расфазировке обратного излучения при нормальном (θ₀ = 0) и/или наклонном падении возбуждающей решетку волны? Считая допустимым разброс фаз на 30°*, оцените требуемый уровень согласования элементов решетки Ван-Атта (по модулю коэффициента отражения S₁₁, или по КСВН = (1 + | S₁₁|)/(1 − | S₁₁|)). Полезно иметь в виду, что на практике значение КСВН хорошо согласованных антенн находится в диапазоне значений 1,2 ÷ 1,5 и достигается только при тщательной отработке конструкции АР.

На рис. 3.1,б представлен вариант активной решетки Ван-Атта, предоставляющий возможность, во-первых, усиливать излучаемый сигнал, а во-вторых, использовать его для передачи информации от бортовой системы. На этой схеме кружок со стрелкой обозначает трехплечий циркулятор, который практически без потерь передает входной сигнал в плечо по стрелке. Обратное плечо является развязанным, и в идеале сигнал в это плечо не поступает. Типичное значение развязки находится в диапазоне −20дБ ÷ −40дБ.

Вопросы для размышлений.

1. Как и в случае пассивной решетки Ван-Атта рассогласование антенных элементов вызывает отклонения фаз излучаемых сигналов. Считая допустимым разброс фаз на 30°, оцените требуемый уровень согласования элементов активной решетки Ван-Атта. Зависит ли результат от коэффициента усиления усилителя и развязки циркуляторов?

2. Как видно из рис. 3.1, б каждый усилитель оказывается охваченным цепью обратной связи. Попробуйте сформулировать условие, при котором эта связь отрицательна и, соответственно, усилитель не возбуждается.

К ААР не принято относить антенны, чьи характеристики и ДН изменяются программно или по сигналам командной радиолинии, например, как у фазированных антенных решеток или антенн спутников и космических аппаратов. Даже применительно к радиолокационным или навигационным антеннам, осуществляющим автоматическое сопровождение цели по направлению за счет обработки принимаемых сигналов, говорят о режиме автосопровождения, но не адаптации.

В подавляющем большинстве случаев под ААР понимается АР, работающая в режиме приема и автоматически формирующая глубокие провалы в направлениях на источники мешающих сигналов. Применение ААР в радиолокации защищает РЛС от помех, в том числе и умышленных, воздействующих по боковым лепесткам, а также избавляет от ложных отметок, создаваемых близкими целями, сигналы которых принимались бы боковыми лепестками ДН неадаптивной антенны. ААР играют еще более важную роль в обеспечении помехозащищенности телекоммуникационных систем, поскольку их антенны должны обеспечивать радиосвязь в широком секторе углов и любые источники мешающих сигналов, расположенные в пределах этого сектора, существенно ухудшают соотношение сигнал/(шум + помеха), соответственно, сокращая дальность действия системы. В случае РЛС имеется хотя и нелегкая, но альтернатива – снижение уровня боковых лепестков. Для телекоммуникационных систем такой альтернативы не существует.

Функционал Ф2(W)

Контроль отклонения вектора W от вектора W₀ в функционале Ф₁(W) для ААР по схеме Аппелбаума (4.1) введен как средство контроля отклонения текущей ДН F(θ,T) от исходной ДН F₀(θ). Косвенного контроля, разумеется. Но почему бы не делать это непосредственно?

Давайте в качестве минимизируемого функционала попробуем взять взвешенную сумму:

. (4.2)

Первые два слагаемых, представляющие мощность мешающих сигналов и шума на выходе ААР, ничем не отличаются от аналогичных слагаемых функционала Ф₁(W) и в явном виде даются выражениями (3.13) и (3.14) соответственно. Будем, как и прежде, под F₀(θ) понимать не идеальную ДН (секторную, косекансную и т.п.), а ту ДН, которую ААР формирует в отсутствии источников мешающих сигналов за счёт исходного весового вектора W₀ или основного элемента АР. Формулы второго слагаемого для двух вариантов ААР слегка различаются.

Схема Аппелбаума

Записать явное выражение этого слагаемого – дело простых формальных перегруппировок:

(4.3)

где Ω − область контроля всех ДН: индивидуальных ДН антенных элементов f(θ) и ДН антенной решетки F(θ). В общем случае Ω − это сфера, все ДН являются функциями двух сферических координат F(θ,φ) и dΩ = sin(θ) dθ dφ. Поскольку все ДН зачастую контролируются в одной плоскости (для наземных систем связи, например), то ради простоты будем сохранять запись F(θ), имея в виду, что под θ можно понимать обобщенную двухмерную координату {θ,φ}, а под dθ – соответствующий дифференциальный элемент телесного угла dΩ = sin(θ) dθ dφ.

В теории антенн показано, что скалярное произведение ДН антенных элементов, задаваемое интегралом по области Ω определения ДН,

, (4.4)

может быть интерпретировано как взаимное сопротивление антенных элементов. Точнее говоря, будучи безразмерной величиной, Z_kn не может быть взаимным сопротивлением, но имеет прямое отношение к нему, поскольку реальная часть этого интеграла действительно характеризует активную часть взаимного сопротивления антенных элементов*.

Следуя этой терминологии и обозначению Z_kn, получаем компактную матричную запись выражения (4.3):

, (4.5)

где < Z > − квадратная матрица взаимных сопротивлений, образованная коэффициентами Z_kn.

Масштабирующий коэффициент m играет прежнюю роль. Квадрат нормы отклонения текущей диаграммы F(θ) от исходной F₀(θ) он переводит во штрафное возрастание мощности (помехи + шум). Его значение назначается из тех же соображений: увеличение этого значения снижает «чувствительность» ААР к помехам, а уменьшение – ослабляет контроль над сохранением исходной ДН в процессе адаптации. Компромисс между тем и другим фактором зависит от назначения системы.

Для ААР с основным элементом ограничение на отклонение текущей ДН F(θ,T) от исходной ДН F₀(θ) тоже представляет интерес как средство, позволяющее минимизировать потери исходной зоны связи при ослаблении помех. Учитывая (3.10) и то обстоятельство, что в рассматриваемом случае F₀(θ) = f₀(θ), получаем аналогично (4.3):

(4.6)

или в матричной форме

|| F(θ,W) − F₀(θ)||² = W ^* < Z > W. (4.7)

Окончательное выражение:

(4.8)

получаем, подставляя в (4.3) выражения (3.14), (4.4) и (4.6).

Функционал Ф3(W)

Следует иметь в виду, что в функционале Ф₂(W) фигурирует квадрат нормы отклонения комплексных диаграмм направленности F (θ) и F₀(θ). Это означает, что отличие их фазовых диаграмм проявляется в росте значения ||F(θ) – F₀(θ)||², даже если амплитудные диаграммы совпадают. В частности, если F₀(θ) − функция чётная относительно середины интервала Ω (чётны обе диаграммы: амплитудная и фазовая), а F(θ) имеет чётную амплитудную ДН (быть может, даже совпадающую с амплитудной ДН |F₀(θ)|) и нечетную фазовую, то в силу ортогональности этих функций имеем ||F(θ) – F₀(θ)||² = ||F(θ)||² + ||F₀(θ)||².

С учётом этого и того обстоятельства, что в обеспечении рабочей зоны связи важна амплитудная ДН, а фазовая диаграмма никакой роли не играет, очевидно, что в наибольшей степени требованиям к процессу адаптации ААР телекоммуникационных систем соответствует минимизация целевого функционала следующей структуры:

. (4.9)

К сожалению, в отличие от функционалов Ф₁(W) и Ф₂(W) этот функционал не преобразуется к квадратичной форме, приводящей к аналитическим решениям. Проблема обусловлена тем, что в последнем слагаемом (4.9) невозможно поменять местами суммирование по n и интегрирование. Интегрирования разности амплитудных ДН |F(θ)| и |F₀(θ)|

(4.10)

остается единственным способом вычисления этого слагаемого.

Вводные замечания

Замечание 1. В ААР используются два типа алгоритмов управления весовыми коэффициентами. Алгоритм обращения корреляционной матрицы сводится к непосредственному вычислению оптимального вектора в результате решения системы уравнений (4.30) или (4.31). Алгоритм градиентного спуска реализует «движение» в реальном масштабе времени к минимуму целевого функционала по «направлению» его антиградиента (4.24) или (4.25), т.е. относится к алгоритмам поискового типа.

Как уже отмечалось, это только кажется, что алгоритм обращения корреляционной матрицы мгновенно устанавливает оптимальное состояние ААР, никаких переходных режимов не возникает и, следовательно, нет предмета для анализа динамики управления ААР. Однако ясно, что реализация этого варианта требует «измерения»* текущих значений комплексных коэффициентов взаимной корреляции принимаемых сигналов, которые и образуют корреляционную матрицу < R > помеховых сигналов. Для этого необходима совместная обработка принимаемых сигналов , включающая усреднение на интервале времени ∆Т, как минимум, заметно превышающий интервал корреляции помеховых сигналов. Причем, с ростом числа помех и возникновением ситуаций**, при которых ухудшается устойчивость решения систем уравнений, элементы матрицы < R > должны оцениваться с возрастающей точностью, и это замедляет процесс управления из-за необходимости увеличивать время ∆Т обработки принимаемых сигналов.

Кроме того, в варианте обращения корреляционной матрицы ААР является разомкнутой системой автоматического регулирования, и поэтому к ее элементам предъявляются жесткие требования. В первую очередь, это касается фазовой стабильности трактов и всех управляемых элементов. Нестабильность их характеристик или их отклонение от расчетных зависимостей ограничивает точность воспроизведения полученного решения и, соответственно, степень подавления мешающих сигналов.

Привлекательная особенность ААР, реализующих градиентный алгоритм управления, состоит в том, что, как и во всякой системе регулирования с обратной связью, вызванные нестабильностью любых элементов отклонения характеристик цепей и объекта управления отрабатываются в процессе управления и практически не ухудшают достижимого качества. Естественно, существуют ограничения на предельные отклонения этих характеристик, но они оказываются легко выполнимыми.

Оба подхода к организации цепей адаптации представляют практический интерес, и обилие публикаций подтверждает это. Однако мы ограничимся градиентными алгоритмами по двум причинам. Во-первых, для телекоммуникационных систем наибольший интерес представляет целевой функционал G₃(W), минимизация которого не сводится к обращению матрицы и требует использования поисковых алгоритмов. Во-вторых, студенты радиотехнических специальностей оказываются в математическом отношении достаточно подготовленными к анализу динамики регулирования ААР при градиентной минимизации целевого функционала. В то время как статистические методы анализа свойств алгоритмов обращения корреляционной матрицы, связанные, например, с применением обучающих выборок и других утонченных приемов обработки случайных сигналов, лежат далеко за пределами учебных курсов.

Замечание 2. Как было показано в главе 4, реализация градиентной минимизации функционалов Ф₁(W) и Ф₂(W) для ААР приводит к структурным схемам, представленным на рис. 4.5 и 4.8. Поэтому возможны два уровня анализа алгоритма антиградиентного спуска: сугубо математический, когда рассматривается функционал и временной процесс его минимизации, или технический, когда анализируются процессы, протекающие в соответствующих схемах ААР (в той или иной степени идеализированных, естественно). Инженеру полезно уметь выполнять анализ на обоих уровнях, поэтому в этой главе и тот и другой будут перемежаться.

5.2. Процесс градиентной минимизации функционала Ф₁(W)

Численное моделирование

Перед тем как перейти к формульному анализу динамики управления ААР в общей постановке (N элементов АР, М источников помех) чрезвычайно полезно (и интересно!) выполнить численное моделирование, причем вручную, на калькуляторе. Естественно, при этом целесообразно ограничиться простейшей ситуацией, представленной на рис. 5.1: АР является линейной эквидистантной решеткой с шагом d = λ/2; состоит из основного элемента, к которому привязано начало координат, и двух компенсаторов; все элементы изотропны; интенсивная помеха, мощность которой значительно превышает уровень внутренних шумов, приходит с направления θ₁ = 60°.

Рис. 5.1. ААР с двумя компенсирующими элементами

Получим формулы, которые на уровне комплексных амплитуд описывают состояние ААР в момент времени T. Для упрощения расчетов будем пренебрегать наличием внутренних шумов. Обозначим через Ŝ₀ комплексную амплитуду помехового сигнала на выходе основного элемента. Учитывая, что фазовые сдвиги, обусловленные разностью хода лучей, при выбранной геометрии и положении источника помехи равны k d cos(θ₁) = 90° и 2k d cos(θ₁) = 180°, запишем сигналы на выходах компенсирующих элементов следующим образом: ; . Причем будем считать помеховую ситуацию стационарной, в силу чего сигналы помех (точнее их комплексные амплитуды) во времени не изменяются или изменяются настолько медленно, что на интересующем нас временном интервале переходного режима в ААР их изменениями можно пренебречь. Очевидно:

; . (5.1)

Пусть оба ФНЧ, присутствующие в цепях обратной связи, имеют одинаковые параметры: коэффициент передачи К_ф и постоянную времени Т_ф. Тогда в соответствии с уравнениями (2.2) и (2.5) сигналы на входе ФНЧ x(T) и его выходе y(T) связаны дифференциальным уравнением y(T) + T_ф dy(T)/dT = K_ф x(T). Применительно к рассматриваемой схеме имеем x(T) = R_n(T) и y(T) = −W_n(T), поэтому

или . (5.2)

Поскольку в коэффициент корреляции R_n(T) сигнала Ŝ _n с выходным сигналом Ŝ_вых входят все коэффициенты W_n(T), то два (n = 1, 2) уравнения (5.2) не независимы, а образуют систему дифференциальных уравнений, и аналитические решения типа (2.3), (2.4) не применимы, надо использовать специфические приемы решения этой системы.

В противовес аналитическим способам метод конечных разностей вооружает нас эффективным и универсальным алгоритмом численного моделирования подобных систем. Идеология метода очень проста: на малом временном интервале ∆t происходит приращение ∆W = (dW/dT) ∆t, следовательно, для последовательности моментов времени T_k = k ∆t имеем

W_n(T_k ₊₁) = W_n(T_k) – [K_ф R_n(T_k) + W_n(T_k)] ∆t/T_ф. (5.2΄)

Численное моделирование, конечно же, связано с необходимостью ввода конкретных значений. Поступим по-студенчески, зададим все, что можно, единицами, потом обсудим результаты и сообразим, на что повлияет изменение этих величин. Итак, положим Ŝ₀ = 1, K_ф = 1. Значение T_ф тоже можно выбрать произвольным, например T_ф = 1 с. Однако нетрудно сообразить, что и по смыслу, и как видно из выражения (5.2΄), в расчетах фигурирует не сама по себе постоянная времени T_ф, а относительная величина временного дискрета ∆t/T_ф, которая должна быть малой. Выберем ∆t/T_ф = 0,1. Обозначим приращение весового коэффициента на дискрете ∆t через ∆W_n. Очевидно, что

∆W_n = – [K_ф R_n(T_k) + W_n(T_k)] ∆t/T_ф.

Запишем начальное состояние ААР при k = 0 (в момент T₀ = 0): Ŝ₀ = 1; S₁ = j; Ŝ₂ = −1; W₁ = 0; W₂ = 0; Ŝ_вых = 1; R₁ = − j; R₂ = −1. Вычислим приращения коэффициентов W₁ и W₂ за временной дискрет ∆t: ∆W₁ = 0,1j и ∆W₂ = 0,1. Таким образом, новое состояние ААР в момент T₁ = 0,1 T_ф определяется следующими значениями: W₁ = 0,1j; W₂ = 0,1; Ŝ_вых = 1 + (0,1j) j + 0,1 (−1) = 0,8; R₁ = − 0,8j; R₂ = −0,8. Соответственно, приращения равны ∆W₁ = 0,07j и ∆W₂ = 0,07. Продолжите расчеты до седьмого шага, заполняя пустые ячейки табл. 5.1. Для контроля правильности вычислений приведены значения, соответствующие столбцу Ŝ_вых(T_k) и последней строке.

Таблица 5.1

Аналитическое решение

В соответствии с выражениями (4.24) градиента G₁функционала Ф₁(W) для ААР по схеме Аппелбаума и ААР с основным элементом процессы антиградиентного спуска описываются следующими матричными дифференциальными уравнениями:

, (5.3΄)

, (5.3˝)

которые являются компактной записью системы N дифференциальных уравнений. Каждое из уравнений (5.3) имеет одинаковую структуру:

, (5.4)

где < R > = − эрмитово сопряженная матрица размерности NxN; В – N-мерный вектор (m W₀ или –m R₀ соответственно). Матричное уравнение (5.4) легко решается, если догадаться искать решение в виде разложения по собственным векторам матрицы < R > [20].

Собственным вектором A_i матрицы < A > называется вектор, удовлетворяющий равенству:

< A > A_i = λ_i A_i. (5.5)

Число λ_i называется собственным числом матрицы < A >. У квадратной эрмитово сопряжённой матрицы < A >, т.е. матрицы, коэффициенты которой связаны равенством , все N ее собственных чисел вещественны и не отрицательны λ_i ≥ 0, а собственные векторы A_i взаимно ортогональны.

Особые ситуации возникают в случае кратных собственных чисел λ_i = λ_j (в том числе нулевых). Соответствующие этим числам собственные векторы определяются не однозначно, так как любая их линейная комбинация образует собственный вектор, соответствующий тому же собственному числу λ_i (или λ_j). Это неудобство легко преодолевается за счёт построения ортогональной последовательности (с помощью процедуры ортогонализации Шмидта см. раздел 2.3) из совокупности линейно независимых векторов, соответствующих кратному собственному числу.

Запишем искомый вектор W(T) и вектор В в виде разложений:

, (5.6)

где R_n – собственные векторы матрицы < R > уравнения (5.4). Естественно, что временная зависимость вектора W проявляется во временной зависимости искомых коэффициентов α_n. Используя в уравнении (5.4) разложения (5.6) и учитывая свойство (5.5), получаем векторное равенство, т.е. равенство коэффициентов разложений левой и правой частей равенства:

; (n = 1,...,N). (5.7)

Таким образом, система дифференциальных уравнений (5.4) «распалась» на N не связанных друг с другом дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложений (5.6). Теоретически при T = ∞ весовой вектор достигает установившегося режима и перестает изменяться: , следовательно, имеем α_∞_n = β_n/λ_n.

Уравнение (5.7) совпадает с уравнением ФНЧ (2.2). Его решение при ступенчатой функции β_n (в момент времени T = 0 возникает стабильная помеха) и произвольном состоянии ААР в начальный момент дается выражением (2.3), из которого следует:

, (5.8)

где β_n – коэффициенты разложения вектора m W₀ или –m R₀ в зависимости от типа ААР.

Таким образом, расчет динамики процесса адаптации сводится к проблеме поиска собственных векторов и чисел (спектра) матрицы* < R > = . С учетом свойств единичной матрицы для произвольного вектора R имеем (р_ш + m) < E > R = (р_ш + m) R, поэтому собственные векторы матриц < R > и совпадают, и только значения их собственных чисел отличаются на (р_ш + m). В некоторых случаях спектр матрицы , а вместе с ним и матрицы < R >, может быть найден аналитически, и тем самым определено решение (5.8).

Собственные векторы корреляционной матрицы

Матрицы и < Z > – эрмитово сопряженные. Причём матрица < Z > взаимных сопротивлений в силу линейной независимости индивидуальных ДН {f_n(θ)} не является особенной и не имеет нулевых собственных чисел. Иначе обстоит дело с матрицей корреляции коэффициентов помеховых сигналов.

Ситуация с одиночной помехой

Если действует единственный источник помехи, и P₁, θ₁ – соответственно мощность мешающего сигнала и направление его прихода, то элементами матрицы служат коэффициенты . Таким образом, строка {R_n}, соответствующая индексу n, повторяет строку с точностью до постоянного сомножителя P₁f_n(θ₁), и все строки матрицы оказываются линейно зависимыми.

Если обозначить через R₁ вектор-столбец, образованный компонентами , то легко убедиться в том, что R₁ является собственным вектором матрицы , которому соответствует собственное число . Действительно,

(5.9)

где . В частности, в случае изотропных элементов λ₁ = N P_П. Применительно к матрице < R > соответствующее собственное число определяется равенствами или λ₁ = р_ш + m + N P_П.

Для любого вектора R ^┴ , ортогонального вектору R₁, т.е. для вектора, компоненты {R_n^┴} которого удовлетворяют равенству , имеем:

(5.10)

где через обозначен нулевой вектор. Таким образом, в ситуации с одиночным источником мешающего сигнала любой вектор можно считать собственным вектором матриц и < R >, соответствующим нулевому собственному числу. Применительно к матрице < R > эти собственные числа имеют одинаковые значения λ_k^┴ = р_ш + m.

Воспользовавшись алгоритмом ортогонализации Шмидта (см. раздел 2.3), из произвольно выбранных N−1 линейно независимых N -мерных векторов R_k (k = 2,..., N) можно (и в упражнении 3 нужно будет) построить последовательность взаимно ортогональных векторов , образующих вместе с вектором R₁ ортогональный базис N-мерного пространства весовых коэффициентов. Тогда любой вектор W представляется разложением:

, (5.11)

в котором по понятным причинам выделено первое слагаемое. Как обычно (см. раздел 2.3 «Проектирование на подпространство»), коэффициенты разложения даются равенствами:

(5.12)

W →	1	1	0	В↓
	P₁	j P₁	– P₁
				(1–j) P₁

Рис. 5.3. Матрица <R> и умножение ее на вектор W

Упражнение 1. В выделенные жирными границами ячейки запишите* матрицу для ААР и помеховой ситуации по рис. 5.2. Конечно же, мощность помехи P₁ можно принять за единицу, но целесообразно учесть ее как скалярный сомножитель перед матрицей или как коэффициент у каждого элемента матрицы. Это позволит при последующих выкладках и вычислениях в явном виде прослеживать влияние мощности помехи на динамику процесса адаптации. Первая строчка этой матрицы заполнена для вашей уверенности. Освойте технику умножения матрицы на вектор-столбец: запишите вектор B = W в правый столбец, выделенный серым цветом, используя в качестве вектора W вектор (1, 1, 0)^Т. Здесь знак ^Тсимволизирует транспонирование (преобразование строки (1, 1, 0) в столбец). По правилам матричной алгебры компоненты вектора B есть результат умножения соответствующей строки матрицы на вектор-столбец W. В нашем случае . «Технологически» удобно вектор-столбец W записать строчкой над матрицей, как это показано на рис. 5.3. В интересах вашего самоконтроля приведено значение компоненты В₂.

Упражнение 2. Легко заметить, что вектор В предыдущего упражнения отличается от первого столбца матрицы , являющегося собственным вектором R₁, лишь коэффициентом*. Объясните этот факт двумя способами: 1) исходя из особенности структуры матрицы , 2) раскладывая (мысленно) вектор W по собственным векторам матрицы и учитывая свойство собственных векторов и значения собственных чисел. Оба способа приводят к обобщению: отмеченное свойство матрицы имеет место при любом векторе W.

Упражнение 3. Постройте ортонормированную систему собственных векторов матрицы из упражнения 1. Собственный вектор R₁ совпадает с первым столбцом матрицы , и поскольку он подлежит нормировке, то ради удобства его можно записать с точностью до произвольного скалярного коэффициента в форме R₁ = {1, −j, −1}. Нормировкой векторов займемся на последнем этапе. Следуя общей схеме, два недостающих собственных вектора можно построить из произвольно выбранных векторов. Заботясь о простоте вычислений, возьмем вектор r₂ = {1, 0, 0}. Используемый при ортогонализации коэффициент ξ₁ = (r₂, R₁) / ||R₁||² очевидно равен 1/3, потому после ортогонализации имеем = r₂ − ξ₁ R₁ = {2/3, j/3, 1/3}. Для удобства вычислений, не меняя обозначения, умножим этот вектор на 3, т.е. будем считать, что = {2, j, 1}. Проверьте, действительно ли векторы R₁ и ортогональны? При вычислении скалярного произведения не забудьте о комплексном сопряжении компонент второго вектора.

Теперь из вектора r₃ = {0, 0, 1} построим вектор = r₃ − ξ₁ R₁ − ξ₂ R₂, где ξ₁ = − 1/3, ξ₂ = 1/6, и после умножения на 2 получим = {0, −j, 1}. После нормировки, имеем , , .

Тренировка изобретательности. Ситуация, когда существует произвол в выборе чего-то, как правило, предоставляет возможности для творчества и изобретательности. Вспомните, хотя бы, как изящно Х.А. Лоренц распорядился неоднозначностью векторного потенциала А (знаменитая «калибровка Лоренца» в электродинамике). Естественно, масштаб нашей задачи не велик, но произволом в выборе векторов r₂ и r₃ можно изящно распорядиться. Действительно, что, кроме нежелания размышлять или не натренированной догадливости, мешает выбрать вектор r₂ = {1, 0, 1}, который ортогонален вектору R₁ и, следовательно, не требует никакой ортогонализации: = {1, 0, 1}. Вдохновившись таким успехом, несложно прийти к идее выбрать вектор r₃ = {0, 1, 0}, который ортогонален вектору R₂ и, следовательно, потребуется его ортогонализация только к вектору R₁:

= r₃ − j R₁ /3 = {−j/3, 2/3, j/3} ~ {−j, 2, j}.

После нормировки получаем систему векторов:

, , ,

эквивалентную предыдущей системе.

Ситуация с двумя помехами

Корреляционная матрица для ситуации, когда действуют М статистически независимых источников мешающих сигналов, есть сумма корреляционных матриц для каждого из источников (m = 1,..., М)

. (5.13)

Поскольку каждая из матриц имеет единственное отличное от нуля собственное число λ_m и соответствующий ему собственный вектор R_m, то при M < N можно предложить следующий экономный в вычислительном отношении численный алгоритм определения спектра суммарной матрицы.

Начнем со случая двух источников помех, которым соответствуют корреляционные матрицы и . Обозначим через R₁ и R₂ нормированные собственные векторы этих матриц, т.е.

(5.14)

Для удобства дальнейших выкладок введен такой фазовый сомножитель , при котором скалярное произведение (R₁, R₂) = α становится вещественной величиной.

Любой вектор R одновременно ортогональный и векторам R₁ и R₂ соответствует нулевому собственному числу обеих матриц и , а потому и для суммарной матрицы это один из собственных векторов, соответствующих нулевому собственному числу. Таким образом, ненулевым собственным числам матрицы соответствуют векторы, являющиеся линейными комбинациями векторов R₁ и R₂. Найдем эти векторы.

Запишем искомый собственный вектор в виде R_∑ = а₁ R₁ + а₂ R₂. В интересах умножения матриц и на «чужие» собственные векторы R₂ и R₁ соответственно, воспользуемся ортогональными разложениями и , где с учётом нормированности векторов R₂, R₁ и фазового сомножителя вещественный коэффициент α определяется скалярным произведением . Тогда получаем:

(5.15)

Так как любой собственный вектор не перестает быть таковым после умножения на произвольный коэффициент, то, не теряя общности, одному из искомых коэффициентов можно задать произвольное ненулевое значение. Выберем , т.е. примем R_∑ = R₁ + а₂ R₂. Тогда получаем

R_∑ = λ₁R₁ + α λ₂ R₂ + α а₂λ₁ R₁ + а₂λ₂ R₂ = =λ₁(1 + α a₂) R₁ + λ₂ (α + а₂) R₂.

(5.16)

Если R_∑ − собственный вектор матрицы , то правая часть равенства (5.16) с точностью до постоянного сомножителя повторяет этот вектор, т.е. выполняется пропорция a₂λ₁(1 + α a₂) = λ₂ (α + а₂), являющаяся квадратным уравнением относительно . Корни этого уравнения

(5.17)

определяют два собственных вектора матрицы :

и . (5.18)

Легко убедиться в том, что полученные векторы R_∑₁ и R_∑₂ ортогональны друг другу:

, (5.19)

как и должно быть для собственных векторов эрмитовой матрицы .

Собственные числа по определению (5.5) находятся по правилу, которое в компактной форме (с двухэтажными символами для компактности) записывается следующим образом:

. (5.20)

В случае АР, состоящей из изотропных излучателей, собственные числа λ₁ и λ₂корреляционных матриц и отдельных источников одинаковы и равны λ₁ = λ₂= N P_П = λ. Тогда из (5.17) следует, что , , а потому имеем

. (5.21)

Аналогичные рассуждения применимы и в ситуации с M источниками помех. Однако проблема поиска коэффициентов a_i разложения приводит к системе уравнений степени (M − 1), которую, естественно, приходится решать численно.

Вводные замечания

В отличие от радиолокационных систем, для которых эффективность адаптации в полной мере характеризуется улучшением соотношения сигнал/(шум+помеха), для телекоммуникационных систем (ТКС) важнейшей тактико-технической характеристикой является рабочая зона – зона устойчивой радиосвязи или радиоприёма. В обеспечении рабочей зоны ДН антенны играет важнейшую роль наряду с чувствительностью приемника. Целесообразность формирования провалов в направлениях на источники помех, в конечном счете, определяется стремлением препятствовать сокращению рабочей зоны из-за ухудшения чувствительности приемника под воздействием принимаемых помех. Соответственно универсальной оценкой эффективности адаптации может выступать отношение площади рабочей зоны при использовании ААР к той же величине в отсутствии адаптации (естественно, при одинаковой помеховой ситуации).

Привлекательной особенностью такой оценки является ее независимость от критерия адаптации, что позволяет использовать эту оценку для сопоставления эффективности различных критериев. Дело в том, что каждый из критериев оптимален в том смысле, какой ему соответствует. Поэтому для того чтобы решить вопрос о том, какой из критериев лучше, необходима универсальная оценка эффективности состояний, достигаемых в результате адаптации по тому или иному критерию.

ТКС предназначены для обмена информацией между абонентами, расположенными в пределах обширной области пространства, представляющей собой рабочую зону. Приёмные (а зачастую и передающие) антенны таких систем должны формировать исходную слабонаправленную диаграмму F₀(θ), обеспечивающую перекрытие по угловым координатам необходимого углового сектора. В идеале, исходная ДН F₀(θ) бывает изотропной, секторной, иногда косекансной диаграммой.

Коэффициент усиления G антенны, форма ДН F₀(θ) и чувствительность приемника P_min ТКС рассчитаны таким образом, чтобы в отсутствии помех обеспечивать надежную радиосвязь с корреспондентами, расположенными в пределах определенной области, закрашенной на рис. 6.1 светло-серым цветом.

Рис. 6.1. Зоны обзора в отсутствии или присутствии источников помех

Без учёта дифракционных явлений, обусловленных распространением радиоволн в условиях реального ландшафта или городской застройки, дальность связи R_max в направлении максимума ДН F₀(θ) определяется формулой:

. (6.1)

Здесь G – коэффициент усиления приемной антенны; P_прд и G_прд – излучаемая мощность и коэффициент усиления передающей антенны; γ − коэффициент, учитывающий дополнительные потери энергии (поглощение и рассеяние, например) на трассе от передатчика к приемнику; ζ – так называемый коэффициент различимости, который задает минимально необходимое превышение сигнала над шумом и тем самым характеризует чувствительность приемника P_min= ζ P_ш.

С формулой (6.1), которую часто называют уравнением дальности, студенты, как правило, знакомятся в курсах лекций по радиосвязи, радиолокации или телекоммуникациям. Но, во-первых, нам эта формула нужна сейчас, во-вторых, для ее вывода достаточны элементарные представления о сферической волне и характеристиках антенн, наконец, в-третьих, демонстрируемая при выводе формулы (6.1) ясность логики полезна для тренировки инженерного мышления. Рис. 6.2 иллюстрирует физические закономерности и используемые обозначения.

Рис. 6.2. Плотность потока мощности

Итак, вспомним или условимся, что приемная антенна характеризуется эффективной площадью S_эфф, под которой понимается такая поперечная площадка, через которую проходит мощность, равная той, что принимается антенной и обнаруживается на ее выходе. На расстоянии R от передатчика при изотропном излучении мощность P_прд равномерно распределяется («разбрызгивается») на всю сферу радиуса R, поэтому плотность потока мощности (значение вектора Пойнтинга П₀, Вт/м²) определяется очевидным равенством П₀= P_прд/(4πR²), где в знаменателе фигурирует площадь сферы. За счет направленности передающей антенны имеет место энергетический выигрыш, характеризуемый коэффициент усиления G_прд. Поэтому у приемной антенны плотность потока мощности П возрастает в G_прд раз П = G_прд П₀, и принимаемая мощность оказывается равной Р_пр = П S_эфф = P_прд G_прд S_эфф /(4πR²). Используя взаимосвязь между коэффициентом усиления G и эффективной площадью S_эфф = G λ²/4π, представляем это равенство в виде Р_пр = P_прд G_прд G λ² /(4πR)². Наконец, учитывая, что дальность радиосвязи R_max ограничена значением, при котором Р_пр снижается до предельно допустимого значения P_min, получаем: Р_min = P_прд G_прд G λ² /(4πR_max)². Как нетрудно видеть, это равенство равносильно равенству (6.1).

6.2. Коэффициент ξ эффективности адаптации

Если источников помех нет, то площадь рабочей зоны S₀ или объем V₀ (в случае объемного распределения корреспондентов) даются очевидными соотношениями:

, (6.2)

где Ω – соответственно угловой сектор или телесный угол рабочей зоны.

Чтобы в дальнейшем не перегружать выкладки тривиальными формулами, ограничимся широко распространенным случаем наземных ТКС, рабочая зона которых представляет собой участок поверхности. Не составляет труда, используя вторую часть соотношения (6.2), обобщить соответствующие формулы на случай пространственной радиосвязи с рабочей областью в виде объема.

Без адаптации в присутствии помех исходная ДН F₀(θ) не изменяется, и единственным эффектом является ухудшение чувствительности приемника из-за того, что теперь полезный сигнал должен превышать сумму внутренних шумов и принятых помех. Пусть в М направлениях {θ_m} действуют статистически независимые источники помех, интенсивность каждого из них удобно характеризовать мощностью p_m, воспринимаемой антенной при ориентации на источник помехи. В этих условиях суммарная мощность принимаемых помех определяется очевидным образом . Соответственно формула (6.2) для дальности связи трансформируется в равенство:

. (6.3)

Вызванное присутствием помех уменьшение дальности связи приводит к сокращению рабочей зоны Š₀, хотя исходная ДН F₀(θ), значение коэффициента усиления G₀ антенны и форма рабочей зоны сохраняются. При этом после замены R_max на _max остаются в силе формулы (6.2). В дальнейшем, имея в виду наземные телекоммуникационные системы, ограничимся рабочими зонами на плоскости. Соответственно

. (6.4)

На рис. 6.1 представлена ситуация с единственным (для простоты изображения) источником помехи. Область Š₀ окрашена темно-серым цветом.

В той же самой ситуации процессор адаптивной антенны, регулируя весовой вектор w, формирует оптимальную ДН F(W,θ) с провалами на источники помех. Благодаря этому снижается мощность принимаемых помех , и, соответственно, в меньшей степени уменьшается максимальная дальность связи:

. (6.5)

Здесь учитывается то обстоятельство, что коэффициент усиления антенны в режиме адаптации G^ad отличается от значения G₀ в исходном состоянии, как правило, несколько снижается.

Подставляя (6.4) в (6.2) и заменяя исходную ДН на текущую ДН F(W,θ), получаем величину рабочей зоны в виде:

. (6.6)

На рис. 6.1 рабочая зона S^ad, соответствующая адаптированной ДН F(W,θ), выделена серым цветом.

Представляется целесообразным оценивать эффект от применения ААР отношением площадей рабочих зон после адаптации S^ad и без нее Š₀ в одинаковых помеховых ситуациях. Учитывая (6.4) и (6.6), получаем выражение для коэффициента эффективности:

(6.7)

В структуре этого выражения, как это зачастую бывает, можно обнаружить ясный физический смысл. Первый сомножитель в квадратных скобках характеризует выигрыш в дальности связи за счет ослабления помех, благодаря провалам ДН. Второй сомножитель характеризует проигрыш в покрытии рабочей зоны из-за отклонения адаптированной ДН F(W,θ) от исходной ДН F₀(θ), т.е. из-за наличия тех же самых провалов.

Строго говоря, при редко случающемся условии G_ad > G₀ выражение (6.7) дает слегка завышенную оценку эффективности адаптации. Дело в том, что участки за пределами номинальной зоны связи S₀, конечно, не вредны, но не должны учитываться при вычислении ξ. Иначе они выступают в качестве компенсации потерь связи в пределах S₀. Поэтому в выражении (6.7) было бы правильно видоизменить ДН F(W,θ) следующим образом

Подумайте, следует ли при этом изменять значение коэффициента усиления G_ad в формуле (6.7)?

Комплексный коррелятор

Рис. 7.1. Комплексный коррелятор: а – по схеме коррелятора;

б – по схеме СВЧ-смесителя

КК как функциональный элемент ААР должен формировать значение комплексной величины ε_n, связанной с текущими комплексными амплитудами Ŝ _n помеховых сигналов n-го элемента АР и комплексной амплитудой Ŝ_вых сигнала на выходе ААР простым соотношением , где черта сверху означает усреднение на интервале времени, превышающем интервал корреляции помеховых сигналов. Легко убедиться в том, что необходимую функцию осуществляет устройство, состоящее из двух одинаковых цепочек, каждая из которых образована умножителем и интегратором, роль которого выполняет ФНЧ (рис. 7.1, а). На одни входы умножителей подается сигнал s_вых(t), а на другие – сигнал s_n(t) и сигнал s_n(t), сдвинутый по фазе на 90° соответственно.

Действительно, если s_вых(t) = А_вых cos(ωt + φ_o) и s_n(t) = А _n cos(ωt + φ_n), то имеем:

(7.1)

Таким образом, с точностью до не существенного сомножителя структурная схема по рис. 7.1,а обладает требуемыми функциональными свойствами, и сигналы ε_n΄, ε_n˝ на выходах её квадратурных цепочек представляют комплексную величину ε_n = ε_n΄ + jε_n˝ = − основную составляющую градиентов целевых функционалов Ф₁(W) и Ф₂(W).

Интересно отметить, что в зависимости от вида сигналов s₁(t) и s₂(t) результат интегрирования* имеет различный смысл, и, соответственно, устройства, реализующие эту процедуру, называются по-разному.

· В случае узкополосного радиосигнала s₁(t) на несущей частоте f_o и опорного сигнала s₂(t) той же частоты f_o это фазовый детектор или амплитудно-фазовый различитель в зависимости от того используется ли амплитудный ограничитель или нет.

· Если s₁(t) − узкополосный радиосигнал сигнал на несущей f_o, а s₂(t) − гармонический сигнал частоты f_г = f_o + f_ПЧ, то интегратор представляет собой смеситель, переносящий спектр сигнала s₁(t) на промежуточную частоту f_ПЧ.

· Если s₁(t) и s₂(t) − случайные сигналы, то интегрирование дает коэффициент корреляции сигналов s₁(t) и s₂(t), и цепочку перемножитель + ФНЧ естественно называть коррелятором. Помехи, зачастую, представляют собой широкополосные шумы, поэтому схема по рис. 7.1,а из синфазной и квадратурной цепочек называется комплексным коррелятором (КК).

В случае узкополосных сигналов s₁(t) и s₂(t) с одинаковой средней частотой f_o операцию (7.1) с равным правом можно рассматривать и реализовать как амплитудно-фазовый различитель, или как смеситель, или как коррелятор.

Если приёмники ААР построены на принципах супергетеродинного приёма, то корреляционную обработку целесообразно осуществлять после смесителей (с общим гетеродином) на промежуточной частоте, тогда коррелятор реализуется схемой на операционных усилителях. В случае приёмников прямого усиления на корреляторы поступают высокочастотные сигналы, в частности, СВЧ-диапазона. Тогда каждый из умножителей КК можно выполнить как СВЧ-смеситель по типичной схеме, представленной на рис. 7.1,б. Входные сигналы s₁(t) и s₂(t) поступают на суммарно-разностный восьмиполюсник. Суммарный s₁(t) + s₂(t) и разностный s₁(t) − s₂(t) сигналы после квадратичных амплитудных детекторов вычитаются и интегрируются, формируя сигнал:

ε = ∫[(s₁(t) + s₂(t))²− (s₁(t) − s₂(t))²]dt = 2 ∫s₁(t) s₂(t) dt.

Из технических факторов, приводящих к отклонению реальных характеристик КК от идеальных, наиболее значимым является ограниченный динамический диапазон выходных сигналов. Этот фактор аналогичен нелинейности амплитудных характеристик других функциональных элементов, влияние которых на процесс адаптации можно моделировать с помощью предназначенных для этого универсальных пакетов, например, таких как MATLAB - Simulink.

И. Кант

Чему и как учиться

Инженерный стиль мышления

Основу инженерного стиля мышления составляют следующие качества и умения.

Рис. 1.1. Деятельность инженера

Рис. 1.2. Субъекты процесса обучения

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 493; Нарушение авторского права страницы