Понятие расстояния. Функциональные пространства

Задумайтесь над вопросом «Что такое пространство?» Попробуйте дать определение не с позиции его физической сути (пустота ли это, особый ли вид материи, называемой эфиром), а в сугубо обыденном смысле как универсального вместилища (контейнера без границ) для всего существующего. Кстати, любой материальный объект, существуя в пространстве, и сам имеет пространственные свойства. Так какой же смысл стоит за нашим интуитивным понятием пространства, пространства, в котором мы живем?

Математика с исключительной изящностью отвечает на этот вопрос: пространство Х – это множество* точек {х}, каждой паре из которых сопоставляется число, называемое расстоянием ρ(x_i , x_j) или метрикой пространства. Расстояние, точнее правило его определения, должно удовлетворять следующим аксиомам: для произвольных точек x_i , x_{j ,} x_k из Х

· расстояние – положительная вещественная величина, т.е. ρ(x_i , x_j) ≥ 0;

· если x_i = x_j, то ρ(x_i , x_j) = 0, и наоборот(!) (аксиома тождества);

· ρ(x_i , x_j) = ρ(x_j , x_i) (аксиома симметрии);

· ρ(x_i , x_j) ≤ ρ(x_i , x_k) + ρ(x_k , x_j)  (аксиома/неравенство треугольника).

Первое свойство (о неотрицательности расстояния) математики опускают [10], так как оно вытекает из остальных аксиом.

Действительно, записывая аксиому треугольника при x_i = x_j и учитывая, что в этой ситуации ρ(x_i , x_j) = 0, а расстояние от x_i до x_k такое же, как и от x_k до x_i, получаем 0 ≤ 2ρ(x_i, x_k), т.е. ρ(x_i, x_k) ≥ 0. Но для нас, инженеров, это важное свойство полезно упомянуть в явном виде, поскольку оно составляет важный фрагмент интуитивных человеческих представлений о расстоянии между точками в пространстве.

Совершенно очевидно, что эти аксиомы – не изобретение математиков. Это формализация нашего интуитивного восприятия пространства и расстояния в нем. В частности, неравенство треугольника соответствует тому факту, что путь от x_i до x_j короче или хотя бы не длиннее, чем путь, пройденный сначала от x_i до x_k, а потом от x_k до x_j. После того, как интуитивное трансформировано в четкие математические соотношения, открываются колоссальные возможности использовать понятие расстояния в качестве количественной меры близости элементов любой природы, в частности, функций.

Рассмотрим множество F функций f ( x ), называя и относясь к конкретной функции f_i ( x ) как к абстрактной точке f_i. Если определить какое-то правило, по которому для каждой пары элементов множества F сопоставляется (вычисляется) величина ρ( f_i , f_j ), удовлетворяющая перечисленным аксиомам, то тем самым будет введено понятие расстояния между точками множества F (расстояние между функциями!), превращающее это множество в пространство функций – функциональное пространство. Тогда открывается возможность формулировать и решать задачи о наилучшем приближении к требуемой функции (в смысле выбранной меры близости-расстояния). Поскольку лингвистически словосочетание «расстояние между двумя функциями» звучит странно, то применительно к функциональному пространству принято пользоваться более абстрактным термином «метрика».

Среди большого числа возможных вариантов метрик и порождаемых ими функциональных пространств чаще других используются две метрики. Во-первых, это метрика, определяемая равенством:

,                               (2.7)

имеющая смысл среднеквадратичного отклонения функций.

Во-вторых, это метрика, определяемая равенством:

,                            (2.8)

имеющая смысл максимального отклонения функций. Эта метрика называется линейной.

Ортогональность функций

Другим, пожалуй, даже более впечатляющим примером исключительно плодотворного заимствования характеристик нашего евклидова пространства в интересах абстрактных математических пространств служит понятие ортогональности, в частности, ортогональности функций.

В евклидовом пространстве каждая точка х может быть определена радиус-вектором х − направленным отрезком из начала системы координат к этой точке. Свойство перпендикулярности векторов играет очень важную роль. Для того чтобы произвольный вектор х представить суммой базисных векторов {x_n}: х = ∑а _n x_n – чрезвычайно удобно использовать систему взаимно перпендикулярных единичных векторов {x_n}, образующих так называемый ортонормированный базис. Дело в том, что в этом случае каждый из коэффициентов разложения а _n определяется независимо от других, как проекция вектора х на базисный вектор x_n: а _n = (x, x_n) = ∑а _k x_nk. Если же базисные векторы не перпендикулярны друг другу, то процедура поиска коэффициентов а _n значительно усложняется и сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений.

Естественно, и в функциональном пространстве процедура разложения произвольной функции f(x) по системе базисных функций f(x) = ∑а _n f_n(x) играет такую же важную роль, как и в векторном пространстве. Заманчиво, чтобы базисные функции обладали таким же свойством взаимной «перпендикулярности». Но как это свойство определить? Можно ли ввести понятия «угол» между функциями и их «перпендикулярность»? Этот вопрос, пожалуй, посложнее вопроса о расстоянии между функциями. Воспринимая расстояние как количественную меру отклонения функций друг от друга, не так уж и трудно догадаться использовать среднеквадратичное отклонение в качестве этой меры. Чтобы ввести понятие перпендикулярности функций требует существенно более изощренная идея.

В математике эта проблема решена через обобщение понятия скалярного произведения. Для векторов евклидова пространства скалярное произведение вводится следующим образом: (x₁, x₂) = |x₁| |x₂| cos(α), где x₁ и x₂ – произвольные векторы, а α – угол между ними. Из геометрического смысла скалярного произведения вытекает ряд свойств, главные из которых сводятся к следующему. Если один из векторов образован суммой векторов, то скалярное произведение равно сумме скалярных произведений (свойство линейности). Если векторы x₁ и x₂ одинаковы (x₁ = x₂ = x), то скалярное произведение – не отрицательная величина, равная квадрату модуля вектора: (x, x) = |x|² (свойство положительной определенности), и равенство (x, x) = 0 выполняется только в случае нулевого вектора x ≡ Ø. Кроме того, ясно, что |(x₁, x₂)| ≤ |x₁| |x₂|, т.к. cos(α) ≤ 1. Перпендикулярность не нулевых векторов x₁ и x₂ проявляется в том, что их скалярное произведение обращается в нуль, поскольку cos(α) = 0 при α = 90°.

Перенося эти смысловые свойства в понятие скалярного произведения для пространства из элементов произвольной природы, в частности для пространства F комплексно-значных функций, математики определяют его так: комплексное число, сопоставляемое любой паре функций f₁ = f₁(x) и f₂ = f₁(x) и обозначаемое (f₁, f₂), является их скалярным произведением, если выполняются следующие условия:

· для любых трех элементов f₁, f₂ и f пространства F и любых чисел α и β справедливо равенство (α f₁ + β f₂, f) = α(f₁, f) + β (f₂, f) (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

· для любых элементов f₁ и f₂  справедливо равенство (f₁, f₂) = = (f₂, f₁)^*, где знак ^* обозначает комплексное сопряжение;

· для любого элемента f имеем (f, f) ≥ 0, причем (f, f) = 0 только для нулевого элемента f ≡ 0 (положительная определенность скалярного произведения).

Величина || f || = (f, f)^1/2 называется нормой элемента f (в частности, функции) и играет роль, аналогичную модулю вектора. Норма разности элементов удовлетворяет всем аксиомам метрики и тем самым порождает соответствующее пространство, в котором расстояние определено как

 ρ(f₁, f₂) = || f₁ − f₂|| = (f₁ − f₂, f₁ − f₂)^1/2.

Ненулевые функции f₁ и f₂, скалярное произведение которых равно нулю |(f₁, f₂)| = 0, по лингвистическим соображениям называют не перпендикулярными, а ортогональными. Причем ясно: эти термины являются синонимами настолько абсолютными, что и применительно к векторам термин «ортогональность» широко используется, например, о системе взаимно перпендикулярных ортов говорят не иначе, как ортогональная система координат.

Для функций f(x), интегрируемых в квадрате на интервале (a, b), скалярное произведение может быть определено (и чаще всего определяется) следующим образом:

(f₁(x), f₂(x)) = .                      (2.9)

Убедитесь в том, что метрика ρ(f₁(x), f₂(x)) = (f₁(x) − f₂(x), f₁(x) − f₂(x))^1/2, порождаемая  скалярным произведением (2.9), совпадает с метрикой (2.7). Сделать это легко, если понимать, что f(x) f ^*(x) = |f(x)|².

В случае векторного пространства исключительный интерес представляют ортогональные системы координат, порождающие совокупность взаимно ортогональных ортов* {ξ_j} (j = 1,...,N), т.е. векторов, удовлетворяющих условию (ξ_j, ξ_i) = δ_ji, где δ_ji =  − так называемый символ Кронекера. В этом случае для произвольного вектора А коэффициенты α_j его разложения А = ∑α_j ξ_j  по базисным ортам {ξ_j} вычисляются очень просто: α_j = (А, ξ_j).

Аналогичную роль в N-мерном функциональном пространстве играют ортонормированные базисы, образованные совокупностью N взаимно ортогональных нормированных функций {f_j(x)}, т.е. функций, удовлетворяющих аналогичному условию (f_j(x), f_i(x)) = δ_ji. Если скалярное произведение определено равенством (2.9), то функции {f_j(x)} должны удовлетворять условию = δ_ji. При этом произвольная функция f(x) этого пространства представляется разложением f(x) = ∑α_j f_j(x), где α_j = (f(x), f_j(x)) = .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: