Множества. Отношения между множествами

Множества. Отношения между множествами

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

· Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают ;

· Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В.

    Множество  называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал  называется δ-окрестностью точки а.

    Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого  выполняется неравенство . Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

    Операции над множествами:

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А= {1,2,3,4}, B= {3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А= {1,2,4}, B= {3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Например, если А= {1,2,3,4}, B= {3,4,5}, то АВ = {1,2}

 

Определение предела числовой последовательности. Теорема о единственности предела

    Предел последовательности. Число A называется пределом последовательности, если для любого положительного числа e можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящей от e, что для всех членов последовательности с номерами  будет выполнено неравенство . Если a_n имеет своим пределом число A, то говорят, что a_n сходится к A и обозначают так: . Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится. Используя свойства модуля, неравенство  можно записать так: . Интервал  называется - окрестностью числа A .

    Теорема о единственности предела. Если функция  в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

    Доказательство: докажем методом от противного. Предположим, что , , . Возьмём , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая - окрестность точки, в которой одновременно будут выполнятся неравенства ,      , тогда в точках этой же окрестности:

. Получили противоречие Отсюда, функция  в точке a имеет единственный предел.

 

Действия над пределами

Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

    Константу можно выносить за знак предела:

    Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Теорема о двух милиционерах

Теорема о двух милиционерах. Если функция  в некоторой окрестности точки  заключена между двумя функциями  и  , то имеет место неравенство , причем эти функции имеют одинаковый предел при : , то существует предел функции и  при , равный этому же значению: .

Доказательство. По определению последовательности, для произвольного числа , найдется такой номер , что при : . И найдется такой номер , что при : . Рассмотрим так же номер N больший, чем числа  Тогда при , и поэтому

 или . Следовательно: .

 

Бесконечные пределы

Пусть задана функция нескольких переменных  и, а – предельная точка множества А. Если для любого числа , что при  выполняется неравенство то говорят, что функция  стремится к  при  и пишут: .

 

Эквивалентные функции

Если существует окрестность в точке  в которой определены

 

 

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что: (1)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

­

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

 

Второй замечательный предел

Смотри пункт 9

Определение функций непрерывных справа/слева. Примеры

Функция  называется непрерывной справа в точке a, если

Функция  называется непрерывной слева в точке a, если

Примеры:

 

Классификация разрывов

Точка, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в точке и ее окрестности;

2. Должен существовать общий предел функции. Это подразумевает существование и равенство односторонних пределов;

3. Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке;

называется точкой разрыва функции.

Если в точке a существуют конечные пределы , такие, что , то точка а называется точкой разрыва первого рода.

    Если хотя бы один пределов  не существует или равен бесконечности, то точка а называется точкой разрыва второго рода.

 

Геометрический смысл

    Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции  к соответствующему изменению аргумента . В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии .

    Рассмотрим функцию , область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки . Тогда функция  является дифференцируемой в точке , и ее производная определяется формулой:

    Физический смысл производной функции. Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией , где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t.

    Геометрический смысл производной. Производная в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в этой точке.

 

Свойства производных

 

Производная сложной функции

Таблица производных

Функции

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство:

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство:

   

Теорема Ролля

Теорема. Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю.

В современной математике доказательство теоремы Ролля основывается на двух других теоремах − второй теореме Вейерштрасса и теореме Ферма. Они формулируются таким образом:

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция  непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения).

Теорема Ферма. Пусть функция  определена в окрестности точки  и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция  имеет локальный экстремум в точке , то . Рассмотрим теперь теорему Ролля (или теорему о нуле производной) в более строгом изложении. Пусть функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и принимает одинаковые значения на концах данного отрезка: . Тогда на интервале  существует по крайней мере одна точка , в которой производная функции  равна нулю: .

Доказательство. Если функция постоянна на отрезке , то производная равна нулю в любой точке интервала , т.е. в этом случае утверждение справедливо.

Если функция  не является постоянной на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке  интервала , т.е. в точке  существует локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю:

 

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале , то в этом интервале существует хотя бы одна точка , такая, что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Выберем число  таким, чтобы выполнялось условие . Тогда . В результате получаем . Функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и принимает одинаковые значения на концах интервала. Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда в интервале существует точка , такая, что

. Отсюда следует, что

. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Хорда, проходящая через точки графика, соответствующие концам отрезка a и b, имеет угловой коэффициент, равный . Тогда внутри отрезка  существует точка , в которой касательная к графику функции параллельна хорде.

 

Теорема Коши

Теорема Коши о среднем значении обобщает формулу конечных приращений Лагранжа. В этой теореме устанавливается связь между производными двух функций и изменением этих функций на конечном отрезке.

Пусть функции  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале , причем  при всех . Тогда в этом интервале существует точка , такая, что

Доказательство. Прежде всего, заметим, что знаменатель в левой части формулы Коши не равен нулю: . Действительно, если , то по теореме Ролля найдется точка , в которой . Это, однако, противоречит условию, где указано, что при всех .

Введем вспомогательную функцию . Выберем число  таким образом, чтобы выполнялось условие . В этом случае получаем . и функция  принимает вид . Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на открытом интервале , и при найденном значении  принимает одинаковые значения на границах интервала. Тогда по теореме Ролля в интервале  существует точка  такая, что . Следовательно,  или . Полагая , из формулы Коши можно получить формулу Лагранжа:

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя говорит, что если функции  и  обладают следующим набором условий:

 

 в некоторой окрестности точки a,

тогда существует

Докажем теорему для неопределённостей вида (0/0).

Так как , то по теореме Коши  , где .

Поскольку существует который равен

 

то существует и предел , причем

 

Докажем теорему для неопределённостей вида (∞/∞).

Функции и являются бесконечно малыми при . Тогда

Следовательно,                                                        

Формула Тейлора

 

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формулу Тейлора функции зачастую используют, доказывая теоремы в дифференциальном исчислении.

Ряд Маклорена

Если функция  имеет непрерывные производные вплоть до -го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где  − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

.

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале , т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции  в точке .

Если , то такое разложение называется рядом Маклорена:

35. Разложение в ряд Тейлора функций

36. Разложение в ряд Тейлора функций

37. Разложение в ряд Тейлора функций

38. Разложение в ряд Тейлора функции

39. Разложение в ряд Тейлора функции

40. Разложение в ряд Тейлора функции

Асимптоты

Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

 Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или .

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно .

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если . Если для функции  существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту  при .

 

Таблица первообразных

 

 

Определение первообразной

Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.

Свойства первообразной:

1. Если F– первообразная для функции f, то F + С, где С – константа, также является первообразной для той же функции. Действительно, (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f.

2. Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если F1' = f и F2' = f, то (F1 - F2)' = F1 ' – F2' = f - f = 0. Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С.

Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.

3.  Действительно, пусть F и G – первообразные для функций f и g соответственно. Тогда F + G является первообразной для функции f + g: (F + G)' = F' + G' =f + g.

 

4.  Доказывается аналогично.

5. Линейная замена переменной.

 

Множества. Отношения между множествами

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

· Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают ;

· Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В.

    Множество  называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал  называется δ-окрестностью точки а.

    Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого  выполняется неравенство . Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

    Операции над множествами:

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А= {1,2,3,4}, B= {3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А= {1,2,4}, B= {3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Например, если А= {1,2,3,4}, B= {3,4,5}, то АВ = {1,2}

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: