Производная сложной функции

Таблица производных

Теорема о возрастании и убывании функции

Теорема.

1) Если функция имеющая производную на отрезке возрастает

на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке не отрицательна, т.е.

2) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на

в промежутке , причем то эта функция возрастает на отрезке .

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть возрастает на отрезке . Придадим аргументу х приращение и рассмотрим отношение

Так как функция возрастающая, то

В обоих случаях , а следовательно,

, т.е. чтд.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть при всех значениях х, принадлежащих промежутку .

Рассмотрим два любых значения принадлежащих отрезку

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем

По условию следовательно, – возрастающая функция.

Теорема о локальном максимуме и минимуме

Функции

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство:

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство:

Теорема Ролля

Теорема. Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю.

В современной математике доказательство теоремы Ролля основывается на двух других теоремах − второй теореме Вейерштрасса и теореме Ферма. Они формулируются таким образом:

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения).

Теорема Ферма. Пусть функция определена в окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция имеет локальный экстремум в точке , то . Рассмотрим теперь теорему Ролля (или теорему о нуле производной) в более строгом изложении. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает одинаковые значения на концах данного отрезка: . Тогда на интервале существует по крайней мере одна точка , в которой производная функции равна нулю: .

Доказательство. Если функция постоянна на отрезке , то производная равна нулю в любой точке интервала , т.е. в этом случае утверждение справедливо.

Если функция не является постоянной на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке интервала , т.е. в точке существует локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю:

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то в этом интервале существует хотя бы одна точка , такая, что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Выберем число таким, чтобы выполнялось условие . Тогда . В результате получаем . Функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает одинаковые значения на концах интервала. Следовательно, для нее выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда в интервале существует точка , такая, что

. Отсюда следует, что

. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Хорда, проходящая через точки графика, соответствующие концам отрезка a и b, имеет угловой коэффициент, равный . Тогда внутри отрезка существует точка , в которой касательная к графику функции параллельна хорде.

Теорема Коши

Теорема Коши о среднем значении обобщает формулу конечных приращений Лагранжа. В этой теореме устанавливается связь между производными двух функций и изменением этих функций на конечном отрезке.

Пусть функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем при всех . Тогда в этом интервале существует точка , такая, что

Доказательство. Прежде всего, заметим, что знаменатель в левой части формулы Коши не равен нулю: . Действительно, если , то по теореме Ролля найдется точка , в которой . Это, однако, противоречит условию, где указано, что при всех .

Введем вспомогательную функцию . Выберем число таким образом, чтобы выполнялось условие . В этом случае получаем . и функция принимает вид . Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на открытом интервале , и при найденном значении принимает одинаковые значения на границах интервала. Тогда по теореме Ролля в интервале существует точка такая, что . Следовательно, или . Полагая , из формулы Коши можно получить формулу Лагранжа: