Непрерывные функции и их свойства

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется

непрерывной в этой области.

    Функция  называется непрерывной справа в точке a, если

    Функция  называется непрерывной слева в точке a, если

    Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала

    Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной в точке a , то есть  и непрерывной в точке слева в точке b , то есть                   

Свойства непрерывных функций:

1. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция

непрерывная. (док-во через предел суммы)

2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция

непрерывная. (аналогично)

3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная

за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль. (аналогично)

4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего

определения.

    Док-во. Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа a из области определения элементарной функции выполняется условие: . Пример:

    Пусть . Тогда

Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при и, следовательно, .

 

Определение функций непрерывных справа/слева. Примеры

Функция  называется непрерывной справа в точке a, если

Функция  называется непрерывной слева в точке a, если

Примеры:

 

Классификация разрывов

Точка, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в точке и ее окрестности;

2. Должен существовать общий предел функции. Это подразумевает существование и равенство односторонних пределов;

3. Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке;

называется точкой разрыва функции.

Если в точке a существуют конечные пределы , такие, что , то точка а называется точкой разрыва первого рода.

    Если хотя бы один пределов  не существует или равен бесконечности, то точка а называется точкой разрыва второго рода.

 

Теорема о промежуточном значении

Если функция f непрерывна на отрезке  и число C заключено между числами A и B, то существует такая точка .

Доказательство. Не нарушая общности будем считать, что . Рассмотрим функцию , непрерывность на отрезке  которой следует из непрерывности функции f. Очевидно, что . Применяем к h первую теорему Коши и находим точку c в которой , то-есть . Теорема доказана.

 

Определение производной. Ее физический и

Геометрический смысл

    Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции  к соответствующему изменению аргумента . В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии .

    Рассмотрим функцию , область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки . Тогда функция  является дифференцируемой в точке , и ее производная определяется формулой:

    Физический смысл производной функции. Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией , где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t.

    Геометрический смысл производной. Производная в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в этой точке.

 

Свойства производных

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: