Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.

БИЛЕТ 2

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии ( см. параграф «Длина дуги» в разделе "Геометрическое место точек. Круг и окружность"»), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением:

= l / r .

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны ( AmB = AO, рис.1 ). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:

2 = C / r .

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:

Обратно,

Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

1.Через градусы

2.Через радианы

180∘=π рад.180∘=π рад.

Чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

P рад.=α∘⋅π180P рад.=α∘⋅π180

И наоборот: от радиан к градусам:

y=sin α

x=cos α

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

1.Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.

2.Найти точку пересечения этого угла с окружностью.

3.Её «иксовая» координата – это косинус искомого угла.

4.Её «игрековая» координата – это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

2. Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с - числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Выделим полный квадрат:
y = ax² + bx + c
y = (ax² + bx) + c
y = a(x² + bx/a) + c
y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c
y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l
В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a.
Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.
Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение.

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т. е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

БИЛЕТ 3.

Билет 4.

1. Виды соответствий

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, S X Y.
Одно-однозначные - характеризуются тем, что все пары соответствия имеют различные первые и различные вторые компоненты.
(a1,b1);(a2,b2); график функции y=kx

Одно-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми, но различными вторыми компонентами.
(a1,b1);(a1,b2);(a2,b3) график функции x=5

Много-однозначные - характеризуются тем, что имеют пары с различными первыми компонентами, но с одинаковыми вторыми.
(a1,b1);(a2,b1);(a3,b1) график функции y=5

Много-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми компонентами, но различными вторыми, а также наоборот.

Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Соответствие f называют функциональным, если оно является одно-однозначным или много-однозначным

Обратные соответствияОпределение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У, при котором каждому xn из X соответствует yn из Y. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обратным данному, если каждому yn из Y соотсветствует xn из Х

Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда , а . В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

Учитывая, что и , получаем

Что и требовалось доказать.

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

и

3)задача поделить многочлен на многочлен

Билет 5.

1. Квадратичной функцией называют функцию вида

, где где a, b, c – произвольные числа, причём a≠0

Выделение полного квадрата.

Дискриминант представляет некую вспомогательную величину, D = b² – 4 ac

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

D = b² – 4 ac – дискриминант, тогда

если D>0 (два корня)

если D=0 (один корень)

если D<0 уравнение не имеет корней.

Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Обратная теорема Виета. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q =0

( Доказательство см. учебник алгебры 8 класса стр.198)

Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители

Если

x₁ и x₂ - корни квадратного трехчлена ax² + bx + c. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом ax² + bx + c = a(x - x₁) (x - x₂).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x₁ и x₂ и воспользуемся способом группировки:

x² + px + q = x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ = x² - x₁ x - x₂ x + x₁ x₂ = x (x - x₁) - x₂ (x - x₁) = = (x - x₁) (x - x₂)

2. Теорема

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Доказательство 1 (для треугольника).

Пусть есть треугольник ABC и его проекция ABC1 на плоскость α. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D – высота треугольника ABC1. Угол CDC1 равен углу φ между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α.

C1D= CD

SABC = AB·CD, SABC1 = AB·C1D, следовательно

SABC1 = SABC

Следовательно, для треугольника теорема верна

Замечание. Данное док-во справедливо, также, для случая, когда сторона AB треугольника не лежит в пл-ти проекции, но параллельна ей. Так-как

( см рис.3).

Доказательство для многоугольника.Пусть Ф- данный многоугольник ABCD (см. рис.2). Его ортогональную проекцию - многоугольник A1B1C1D1 – обозначим Ф1. Разобьем их на соответственные треугольники.

Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, следует разбить на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. (см. замечание)

БИЛЕТ 6 (нет)

БИЛЕТ 7

1. Объединением множеств A и B называется множество A U B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B

Свойства операции объединения.
1.(коммутативность); A∪B = B∪A
2.(ассоциативность) (А∪B) ∪C = А∪(B∪C)
3. Если B⊂A, то A∪B=A

4. Объединение А и пустого множества равно А. А∪Ø= А
5. A ∪ U = U

Пересечением множеств А и B называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В

Свойства операции пересечения множеств

1.( коммутативность); A∩B = B∩A
2.(ассоциативность). (A∩В)∩С = А∩(В∩С)
3. Если A⊇B, то А∩B = В;
4. А∩Ø=Ø .
5. A ∩ U = A

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

2. Вариант ответа № 1

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь)

Теорема всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Вариант ответа № 2

Рациональные дроби. Рациональной дробью называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. е. всякая дробь вида

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( > ), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( < ), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь ( , > ) можно представить в виде суммы многочлена (целой части ) и правильной рациональной дроби ,n<m

Это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Пример. ,

Так как

БИЛЕТ 8.

1. Любое выражение вида asinα+bcosα можно представить в виде
Asin(α+ϕ).

Для этого вынесем за скобки выражение √a2+b2: asinα+bcosα=√a2+b2(a√a2+b2⋅sinα+b√a2+b2⋅cosα).
Но (a√a2+b2)2+(b√a2+b2)2=1.
Это значит, что точка с координатами a√a2+b2 и b√a2+b2 удовлетворяет уравнению x2 + y2 = 1, т.е. лежит на числовой окружности.
Поэтому существует такое ϕ, что a√a2+b2=cosϕ,b√a2+b2=sinϕ.
Обозначим √a2+b2 через A, получим asinα+bcosα=A(cosϕ⋅sinα+sinϕ⋅cosα)=Asin(α+ϕ).

Итак, формула дополнительного угла:

2. Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена P(x) на двучлен (x a) равен значению этого многочлена P(x) при x=a, т.е. R = P(a).

Пусть :

P ( x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен ( x - a ) - его делитель,

Q ( x ) – частное от деления P ( x ) на( x – a). Q ( x ) имеет степень n-1.

R – остаток от деления. R-число.

Доказательство:

Согласно правила деления многочленов с остатком можно записать:

P (x) = (x-a)·Q(x) + R .

Отсюда при x = a

P (a) = (a-a)·Q (a) + R =0·Q(a)+R=0+ R = R.

Значит, R = P ( a ) , т.е. остаток от деления многочлена на ( x - a ) равен значению этого многочлена при x = a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы Безу:

Следствие 1 Число a является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на (x – a) равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

Следствие 2 Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ….. an,

то он делится без остатка на произведение (x- a1) (x- a2) …… (x- an).

( доказывается через мат. индукцию. http://mirznanii.com/a/312686/teorema-bezu

см. следствие3)). И в Виленкине стр.56 (теорема 3)

Следствие 3 Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P( x ) степени n имел бы более n корней – (n + k) (a1 , a2 , … , a(n + k) - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 2 он

бы делился на произведение ( x - a1 ) … ( x – a(n + k) ) , имеющее степень n + k , что невозможно .

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней , что и требовалось доказать .

ЕСТЬ ЕЩЕ СЛЕДСТВИЯ В ТЕТРАДИ БЕЗ ДОК-ВА!!!!!!!!!

Схема Горнера (с выводом). ( См. учебник 10кл. стр.58).

Теорема. Пусть и . Найдутся многочлен и число такие, что .

Доказательство. Будем искать в виде . Из равенства = при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств: , , , . . . , , , откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

( Чтобы это понять, нужно начать перемножение и после приведения подобных слагаемых будет видно, откуда бирутся эти коэффициенты)

, ,

,…, ,

Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Горнера.

П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен .

Решение. Составим таблицу:

Понятие кратности корня многочлена.

Определение. Число k называется кратностью корня с в многочлене f(x),если многочлен f(x)= · Φ(x), где многочлен Φ(x) уже не делится на (xc), а сам корень с k-кратным корнем этого многочлена.

Если k=1, то говорят, что корень с– простой.

БИЛЕТ 9

1. ТЕОРИЯ

2. ТЕОРИЯ

3. ----------------------- >

БИЛЕТ 10

1. Определение. Число, равное ординате точки М единичной окружности, называется синусом угла α

Определение. Число равное абсциссе точки М единичной окружности, называется косинусом угла α.

Определение. Отношение ординаты точки М к ее абсциссе называется тангенсом угла α.

Определение. Отношение абсциссы к ординате - котангенсом угла α

Свойства и графики тригонометрических функций.

Функция синус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

cos x = 0 при
cos x > 0 для всех
cos x < 0 для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.
Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

tg x = 0 при
tg x > 0 для всех
tg x < 0 для всех
Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.

ctg x = 0 при
ctg x > 0 для всех
ctg x < 0 для всех
Функция убывает на каждом из промежутков

2. Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y: x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x: y=g(x).

Пример . Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6, получаем : y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

Критерий обратимости функции.

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы на данном числовом промежутке f(x) была строго монотонна. (т.е. когда она является одно-однозначным соответствием.)

Доказательство

Сложная функция.
Сложная функция – функция от функции. Если g – функция от у, т.е. g(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = g(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

Пример: f(x) = ; y=2x , то f(x) = - сложная функция.

БИЛЕТ 11

1.Для взаимного расположения прямых в пространстве возможен один и только один из трёх случаев

не параллельны и не пересекаются

Признак скрещивающихся прямых

2. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой

где степени n и m – целые числа, n≥0, m≥0,

коэффициенты многочленов – действительные числа, a≠0, b≠0.

Рациональной дробью называется выражение вида ,

где Pn(x), Qm(X), – многочлены степеней n и m соответственно.

Если n<m, рациональная дробь называется правильной,

в противном случае – n ≥ m – неправильной. (по аналогии с обычной дробью).

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

где A, B, C, a, p, q – числа, kN, k1

Теорема

3. Это надо найти период функции

·y= ctg x/2 + cos x/2

·Ответ: 12П

·4 . Дан синус угла Альфа и косинус угла Бетта. Дано то, в каких четвертях они расположены. Найти sin(альфа+бетта)
Тип чисто через тригонометрическое тождество и формулу sin(альфа + Бетта)
Ответ: -2√39/16

БИЛЕТ 12

1. Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй.

Декартовым произведением множеств А и В

Как видно, АхВ ≠ ВхА, таким образом, декартово произведение не коммуникативно. (переместительный закон)

(A хB)хC≠Aх(BхC), таким образом, декартово произведение не ассоциативно. (сочетательный закон)

Свойства:

1. Не обладает коммуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

3. A∅=∅ ∅A=∅.

По аналогии можно определить декартово произведение более чем двух множеств

2. Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

Определение

Линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру

БИЛЕТ 13

1. Обратная функция.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y: x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x: y=g(x).

Пример . Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6, получаем : y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Критерий обратимости функции.

Доказательство

Пример: f(x) = ; y=2x , то f(x) = - сложная функция.

2. Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве действительных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

пример кусочно-линейной функции.

Понятие модуля числа и модуля выражения.

Модуль выражения равен самом выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.

| а ·q| = q·| а|, где q - положительное число

3. tg2*tg4*...*tg88=……...=1

4. теорема менелая

БИЛЕТ 14

1. Данное число располагается между корнями квадратного трехчлена.

Дано:

Необходимое и достаточное условие того, что оба корня квадратного трехчлена больше данного числа.

(Далее при доказательстве заменить в тексте и рисунке число -1 переменной t)!!!!!.

3. исследовать функцию на ограниченность x/x^2+1

4. тригонометрическая упрощалка

БИЛЕТ 15

1. Множество - произвольная совокупность каких-либо элементов, обладающих характерными свойствами

Способы задания множеств.
1) Перечислением - Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в виде:
. Например, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество десятичных цифр.
2) Характеристический (описанием свойств) – (Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.)

Например: А = {х׀ х – двузначные числа}.

Характеристическое свойство множеств.
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Равные множества - Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}

Подмножество - Множество А является подмножеством В, если каждый элемент множества А является также элементом множества В.

Универсальное множество.
Универсальное множество —множество, обладающее таким свойством, при котором все остальные множества являются его подмножествами.

Универсальное множество обычно обозначается U

Конечное - множество, содержащее конечное число элементов называется конечным. (множество целых чисел от 1 до 7)

Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечное число элементов называется бесконечным. (множество Z целых чисел)

Пустое множество - Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. ∅.(Множество точек пересечения двух параллельных прямых)

БИЛЕТ 16

ТЕОРИЯ

БИЛЕТ 17

1. ТЕОРИЯ

2. ТЕОРИЯ

3. Sin18*cos36
4.y=f(x) -нечётная периодическая функция . Период равен 5 . f(1831)=(1580). f(2019)-?

БИЛЕТ 18

Декартовым произведением множеств А и В

Как видно, АхВ ≠ ВхА, таким образом, декартово произведение не коммуникативно. (переместительный закон)

(A хB)хC≠Aх(BхC), таким образом, декартово произведение не ассоциативно. (сочетательный закон)

Свойства:

1. Не обладает коммуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

3. A∅=∅ ∅A=∅.

По аналогии можно определить декартово произведение более чем двух множеств

2. Обобщенная теорема Виета для многочлена n-й степени.

.Формулы Виета —выражают коэффициенты многочлена через его корни.

Формулировка

( приведенный многочлен)

то коэффициенты a1, a2,…,an по Формулм Виета выражаются таким образом:

Иначе говоря, ·ak равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням.

Так как a0=1, и c1, c2,…,cn – корни многочлена, имеем тождество:

1. Произведём последовательное перемножение и приведём подобные слагаемые.

2. Сравним коэффициенты при переменных с равными степенями в левой и правой частях тождества.

3. Воспользуемся определением равенства многочленов

Если коэффициенты при переменных с равными степенями равны, то многочлены равны.

4. Получаем формулы Виета

Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена a0 ≠ 1 то для применения формул Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (см. приведенный многочлен)

Доказательство

Пусть х1; х2… хn – корни многочлена n-ой степени

Р(х) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n. (неприведенный многочлен)

Тогда его можно разложить на множители

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n= a₀ (x-x1)·(x-x2)·(x-x3)…(x-xn)

Разделим левое и правое выражение на a₀Выполняя указанные выше действия, получим формулы Виета в общем вид

БИЛЕТ 19

1. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида

a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-2x²+a_n-1x+a_n

Где n - любое натуральное число или 0, a0, a1, ..., an - какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена.

Степенью многочлена называется наибольший показатель степени переменного. Член, содержащий наибольшую степень называется старшим членом многочлена.

Суммой двух многочленов и назовем многочлен

f(x)+f(y) = c0+ c1+ c2…..+ cn-1x+ cn коэффициенты, которого являются суммой коэффициентов и с равными степенями (приводим подобные слагаемые)

Произведение многочленов. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.

Отсюда следует, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов будет состоять из m·n слагаемых

БИЛЕТ 2

= l / r .

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:

2 = C / r .

Обратно,

Есть два способа измерять углы.

1.Через градусы

2.Через радианы

180∘=π рад.180∘=π рад.

Чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

P рад.=α∘⋅π180P рад.=α∘⋅π180

И наоборот: от радиан к градусам:

y=sin α

x=cos α

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

1.Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.

2.Найти точку пересечения этого угла с окружностью.

3.Её «иксовая» координата – это косинус искомого угла.

4.Её «игрековая» координата – это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

2. Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с - числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т. е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Исследование графика квадратного трёхчлена в зависимости от его коэффициентов.

· Направление ветвей. Если a>0 - вверх, a<0 – вниз

· Пересечение с осью Oy – точка с координатами (0; c)

( парабола пересекает ось ординат в точке с)

· Положение вершины:

Cлева от оси Oy при < 0, выполняется когда a>0 и b>0, или a<0 и b<0

Справа от оси Oy при >0 , выполняется когда a>0 и b<0, или a<0 and b>0

Выше оси Ox при () >0

Ниже оси Ox при () <0

a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0

A<0, D>0 a<0, D=0 a<0, D<0

Эти графики для случая, когда >0; при <0 всё так же, но слева от Ox ……………………………………………………………………………………………………………..

· ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R

· ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:
при a > 0 [-D/(4a); )
при a < 0 (- ;-D/(4a)]

· ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
при b = 0, то функция четная
при b 0, то функция ни четная, ни нечетная

· НУЛИ:
при D > 0 два нуля:

при D = 0 один нуль: x₁ = -b/(2a)
при D < 0 нулей нет

· ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:

если a > 0, D = 0, то y > 0 при x (- ;x₁)U(x₁; )

если a > 0, D < 0, то y > 0 при x R

если a < 0, D = 0, то y < 0 при x (- ;x₁)U(x₁; )

если a < 0, D < 0, то y < 0 при x R

· ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:

· ЭКСТРЕМУМЫ:

при a > 0 x_min = -b/(2a) y_min = -D/(4a)

при a < 0 x_max = -b/(2a) y_max = -D/(4a)

3. y = (6-x)/(6+x)
Найти обратную ей функцию , записать область определения и множество значений обратной функции.

4. дан куб ABCDA1B1C1D1 ; построить (и объяснить) сечение , проходящее через центры рёбер AA1 , C1D1 и CD

БИЛЕТ 3.

12 3 4 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 845; Нарушение авторского права страницы