Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Альтернативные оценки масштаба ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9
Альтернативные оценки масштаба начнем с двух оценок, известных ещё Гауссу. Это средняя абсолютная погрешность (САП(х)) и абсолютное медианное отклонение (АМО(х)). Средняя абсолютная погрешность (средняя ошибка) вычисляется по формуле
. (47)
Этой оценке масштаба отдавал предпочтение Фишер по сравнению с стандартным отклонением σ ещё в 20 годах прошлого века. Теоретически показано, что отношение стандартного отклонения к средней абсолютной погрешности есть . (48)
Абсолютное медианное отклонение (вероятная ошибка) вычисляется на основе формулы (35) как
, (49)
о положительных свойствах которой было сказано выше. Эта оценка из-за своей невероятной робастности является основой многих других оценок масштаба. Теоретическое отношение стандартного отклонения к абсолютному медианному отклонению будет
. (50)
---------------------- *Дополнительно. Из класса R-оценок рассмотрим одну достаточно эффективную и устойчивую оценку, которая называется интерквартильный размах и обозначается IQR. Оценка вычисляется на основе квартили (четверти). Под р-квартилью понимают такое граничное число вариационного ряда, относительно которого вероятность появления значений меньше этой границы равна р. Так как рассматривают четверти, то в качестве границ для р используют 25%, 50% и 75%. Первая четверть называется нижней, или первой квартилью Q1, Вторая – средней, или второй квартилью Q2, она же медиана, третья четверть называется верхней, или третьей квартилью Q3. Для вычисления квартилей Qi можно использовать следующую схему: – из ряда измерений строят вариационный ряд и считают промежуточный коэффициент ; – номер элемента в вариационном ряде из п элементов, соответствующий нужной квантили вычисляют как
(51)
Если номер дробный, то проводят линейную интерполяцию. Тогда величина интерквартильного размаха будет
IQR = Q3 – Q1. (52)
Теоретическое отношение стандартного отклонения к интерквартильному размаху k3 есть
. (53)
*Дополнительно. Из линейных оценок выделяют оценку Даунтона (1966 г.), которая имеет весьма хорошие свойства, устойчива к нарушению основных предположений и очень эффективна. Оценка имеет вид
. (54)
Фактически линейная оценка Даунтона – другая форма (с точностью до постоянного множителя) известной ещё Гельмерту в конце 19 века статистики Джини
, (55)
которая имеет такие же свойства что и оценка Даунтона. В формуле dij – последовательные разности вперед Джини, вида всех комбинаций вперед (см. средние Уолша); [x] – целая часть от числа; wi – подразмахи из вариационного ряда из п величин, т.е. разность последнего и первого, предпоследнего и второго, … (п +1 – i) – i в общем случае для i-того подразмаха.
---------------------- По результатам вычислений необходимо сделать выводы.
Пример вычислений альтернативных оценок масштаба
Схема оптимального вычисления оценок масштаба следующая: вычисляется традиционная оценка в виде стандартного отклонения σ . Далее вычисляем альтернативные оценки в виде средней абсолютной погрешности САП(h), абсолютное медианное отклонение АМО(х). Интерквартильный размах IQR дополнительно. Через коэффициенты ki пересчитываем их в стандартное отклонение. Дополнительно вычисляем линейную оценку Даунтона. Сравнивая традиционные и альтернативные величины, делаем вывод о конечном значении оценки сдвига. Традиционное стандартное отклонение на основе (2) есть σ = 0.004 м. Среднюю абсолютную погрешность САП(х) вычислим по (47) как
м.
Стандартное отклонение через коэффициент k1 и САП(х) будет равно
м.
Абсолютное медианное отклонение АМО(х) по (49) будет иметь значение м.
Стандартное отклонение через коэффициент k2 и АМО(х) будет
м.
------------------- *Дополнительно. Перед вычислением интерквартильного размаха IQR(х) получим 3 квартили: нижнюю Q1, среднюю Q2 и верхнюю квартиль Q3 используя формулы (51)
Эти числа есть номера соответствующих квартилей в вариационном ряду. Так как номера дробные, для вычисления окончательных значений проведем линейную интерполяцию. Нижняя квартиль Q1 имеет номер 5.25, т.е. между 5 (4.595) и 6 (4.597) элементом вариационного ряда со сдвигом на 0.25. Для интерполяции разность между элементами 0.002 умножаем на сдвиг 0.25 и полученную величину прибавляем к меньшему значению
Q1 = 0.002 ∙ 0.25 + 4.595 = 4.5955 м.
Средняя квартиль Q2 с номером 10.5 есть ранее вычисленная медиана, равная 4.600 м. Верхняя квартиль Q3 имеет номер 15.75, т.е. между 15 (4.601) и 16 (4.601) элементом вариационного ряда со сдвигом на 0.75. Так значения одинаковы, интерполяция не требуется и Q3 = 4.601 м. Теперь величина интерквартильного размаха будет
IQR(x) = Q3 – Q1 = 4.601 – 4.5955 = 0.0055 м.
Стандартное отклонение через коэффициент k3 и IQR(х) будет
м.
------------------------ *Дополнительно. Из линейных оценок выделяют L -оценку Даунтона (1966 г.), которая имеет весьма хорошие свойства, устойчива к нарушению основных предположений и очень эффективна. Для её построения также используется вариационный ряд. На основе (54) значение оценки будет
м.
*Дополнительно. Вычислим другую форму оценки Даунтона, которая называется оценкой (статистикой) в последовательных разностях Джини. Для этого вычисляют последовательные разности вперед dij между i и j измерением в нормальном ряде (по аналогии со средними Уолша). Имея сумму абсолютных значений этих разностей [|dij|] = 0.866 (см. оценку Даунтона), на основе (55) получим величину оценки Джини
м.
которая отличается от оценки Даунтона только коэффициентом 1.7724.
------------------------- Выводы: По результатам вычислений можно сделать следующие выводы: традиционная оценка сдвига в виде стандартного отклонения σ = 0.004 м, с тандартное отклонение через среднюю абсолютную погрешность равно м, стандартное отклонение через абсолютное медианное отклонение будет м, стандартное отклонение через интерквартильный размах есть м, а L -оценка Даунтона м. Таким образом, все вычисленные характеристики не отличаются друг от друга на величину, большую чем погрешность вычисления стандартного отклонения и в качестве окончательной оценки масштаба можно принять стандартного отклонения σ = 0.004 м.
*4. Исследовательская работа ( Дополнительно)
Исследовательская работа подразумевает следующие направления: – внести искажения в хорошие нормально распределенные измерения; – произвести расчеты по рассмотренным формулам, или другим, из дополнительной литературы; – провести анализ и дать рекомендации по использованию тех или иных формул в зависимости от вида и степени искажения результатов измерений. В качестве искажений можно использовать: – 1 или несколько грубых (в 5-10 σ ), с одной стороны, или симметрично в результатах измерений; – систематическое влияние в виде тренда среднего; – линейную, или другую неравноточность в результатах измерений; – различные комбинации перечисленных выше вариантов. Результаты попытаться обосновать теоретически. Если студент считает, что полученные им результаты значимы, он может сделать доклад на студенческой научной конференции.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-29; Просмотров: 403; Нарушение авторского права страницы