МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА   341

изменяется и способ его рассмотрения — изменяются логич. средства. Это в особенности относится к мате­матике с ее далеко идущими многостепенными абст­ракциями. Здесь бессмысленно говорить о логич. средствах как о чем-то данном в своей совокупности, как о чем-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмот­рение логич. средств, применяемых в той же или иной конкретной обстановке, встречающейся в мате­матике. Их установление для к.-л. аксиоматич. тео­рии и составляет искомое уточнение понятия дока­зательства для этой теории.

Важность этого уточнения для развития математи­ки выявилась в особенности за последнее время. Разрабатывая множеств теорию, ученые столкнулись с рядом трудных проблем, в частности с проблемой о мощности континуума, выдвинутой Г. Кантором (1883), к к-рой до 1939 не было найдено удовлетворит, подходов. Др. проблемы, столь же упорно не под­дававшиеся решению, встретились в дескриптивной теории множеств, разрабатываемой сов. математи­ками. Постепенно выяснилось, что трудность этих проблем является логической, что она связана с не­полной выявленностью применяемых логич. средств и аксиом и что единств, путем к ее преодолению является уточнение тех и других. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения М. л., к-рая, следовательно, является наукой, необходи­мой для развития математики. В наст, время надеж­ды, возлагавшиеся на М. л. в связи с этими пробле­мами, уже оправдали себя. В отношении проблемы континуума очень существенный результат был полу­чен К. Гёделем (1939), доказавшим непротиворечи­вость обобщенной континуум-гипотезы Кантора с ак­сиомами теории множеств при условии, что эти по­следние непротиворечивы. В отношении же ряда труд-пых проблем дескриптивной теории множеств важные результаты получены П. С. Новиковым (1951).

Уточнение понятий доказательства в аксиоматич. теории является важным этапом ее развития. Тео­рии, прошедшие этот этан, т. е. аксиоматич. теории с установленными логич. средствами, называют д е-дуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие мате­матиков проблемы доказуемости и непротиворечиво­сти в аксиоматич. теориях. Для решения этих проб­лем в совр. М. л. применяется метод форма­лизации доказательств. Идея метода формализации доказательств принадлежит нем. мате­матику Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало возможным благодаря предшествовавшей разработке М. л. Булем, Порецким, Шредером, Фреге, Пеано и др. В наст, время метод формализации доказательств является мощным орудием исследования в проблемах обоснования математики.

Применение метода формализации бывает обычно связано с выделением логич. части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логич. часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может быть рассматриваема как само­стоятельное целое. Простейшим из логич. исчислений являются исчисления высказываний, классическое и конструктивное. Формальное различие двух исчис­лений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, касающееся смысла пропози­циональных переменных и логич. связок (см. Интуи­ционизм, Исчисление задач, Логика высказываний).

Наиболее широко используемым при построении дедуктивных математич. теорий является в наст, время классич. предикатов исчисление, представляю­щее собой развитие и уточнение классич. теории суждений Аристотеля и вместе с тем соответствую­щее теоретико-множеств. системе абстракций. Кон-

структивное исчисление предикатов относится к клас­сич. исчислению предикатов так же, как конструк­тивное исчисление высказываний к классич. исчисле­нию высказываний. Самое существенное из расхож­дений между этими двумя исчислениями предикатов связано с истолкованием в них частных, или экзи­стенциальных, суждений. В то время как в конструк­тивном исчислении предикатов такие суждения ис­толковываются как утверждения о возможности опре-дел. конструкций и считаются установленными лишь при указании этих конструкций, в классич. исчис­лении предикатов экзистенциальные суждения обыч­но трактуются в отрыве от конструктивных возмож­ностей как некие «чистые» утверждения о существо­вании (см. Конструктивное направление). Более удов­летворительное истолкование экзистенциальных суж­дений классич. исчисления предикатов, увязывающее определ. образом это исчисление с конструктивным исчислением предикатов, было открыто А. Н. Кол­могоровым в 1925.

В математике логич. исчисления применяются в сочетании со специфич. аксиомами развертываемых дедуктивных теорий. Напр., теорию натуральных чисел можно строить, объединяя аксиомы Пеано для арифметики с исчислением предикатов (классическим или конструктивным). Применяемое при этом объеди­нение логич. символики с математической не только позволяет оформлять математич. теории в виде исчис­лений, но и может являться ключом к уточнению смысла математич. предложений. В наст, время сов. математиком II. А. Шаниным разработаны точные правила конструктивного истолкования математич. суждений, охватывающие широкие области матема­тики. Применение этих правил становится возмож­ным лишь после того, как рассматриваемое суждение записано на надлежащем точном логико-математич. языке. В результате применения правил истолкова­ния может выявиться конструктивная задача, свя­зываемая с данным суждением. Это, однако, проис­ходит не всегда: не со всяким математич. предложе­нием обязательно связывается конструктивная задача.

С исчислениями связаны следующие понятия и идеи. Об исчислении говорят, что оно непротиворе­чиво, если в нем не выводима никакая формула вида 21 вместе с формулой J2( (где] есть знак отрицания). Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений является одной из гл. задач М. л. В наст, время эта задача решена лишь в весьма огранич. объеме. Употребля­ются разл. понятия полноты исчисления. Имея в виду охват той или иной содержательно определен­ной области математики, считают исчисление полным относительно этой области, если в нем выводима вся­кая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием доставлять либо доказатель­ство, либо опровержение для всякого предложения, формулируемого в исчислении. Первостепенное зна­чение в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя — Россера, утверждающая несовместимость требования полноты с требованиями непротиворечи­вости для весьма широкого класса исчислений. Сог­ласно теореме Гёделя — Россера, никакое непротиво­речивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметич. утверждение, формализуемое, но не выводимое в этом исчислении (см. Метатеория). Эта теорема, не снижая значения М. л. как мощного организующего средства в науке, в корне убивает надежды на эту дисциплину как на нечто способное осуществить всеобщий охват мате­матики в рамках одной дедуктивной теории. Надежды такого рода высказывались мн. учеными, в том числе

342                                              МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ К. МАРКСА

Гильбертом — главным представителем формализма в математике — направления, пытавшегося свести всю математику к манипуляциям с формулами по определенным раз навсегда установленным прави­лам. Результат Гёделя и Россера нанес этому направ­лению сокрушительный удар. В силу их теоремы, даже такая сравнительно элементарная часть мате­матики, как арифметика натуральных чисел, не мо­жет быть охвачена одной дедуктивной теорией.

М. л. органически связана с кибернетикой, в част­ности с теорией релейно-контактных схем и автома­тов, машинной математикой и лингвистикой матема­тической. Приложения М. л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в след. смысле моде­лирует нек-рую формулу 21 классич. исчисления высказываний. Если схема управляется и реле, то столько же различных пропозициональных пе­ременных содержит 2(, и, если обозначить через ^З_г-суждение «Реле номер i сработало», то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений 5)8,, ..., ф„ вместо соответствующих логич. переменных в §1. Построе­ние такой моделируемой формулы, описывающей «условия работы» схемы, оказывается особенно про­стым для т. н. П - с х е м, получаемых исходя из элементарных одноконтактных цепей путем парал­лельных и последовательных соединений. Это связано с тем, что параллельное и последовательное соеди­нения цепей моделируют, соответственно, дизъюнк­цию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путем параллельного (последовательного) соединения цепей Ц, и Ц₂, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Д, или (и) замкнута цепь Ц_%. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам совр. техники. Вместе с тем эта связь теории с практикой привела к поста­новке и частичному решению мн. новых и трудных проблем М. л., к числу к-рых в первую очередь отно­сится т. н. проблема минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения про­стейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-коитактные схемы являются частным слу­чаем управляющих схем, применяемых в совр. авто­матах. Управляющие схемы иных типов, в частности, схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие еще большее практич. значение, также могут быть разрабатываемы с помощью М. л., к-рая доставляет адекватные средства как для ана­лиза, так и для синтеза таких схем. Язык М. л. ока­зался также применимым в теории программирования, создаваемой в наст, время в связи с развитием машин­ной математики. Наконец, созданный в М. л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математич. методами. Одной из осн. проблем этой науки является точная формулировка правил грамматики рассматриваемого языка, т. е. точное определение того, что следует понимать под «грамматически правильной фразой этого языка». Как показал амер. ученый Хомский, есть все основания искать решение этой задачи в сле­дующем виде: строится нек-рое исчисление, и грам­матически правильными фразами объявляются выра­жения, составленные из знаков алфавита данного языка и выводимые в этом исчислении. Работы в этом направлении продолжаются.

См. также Алгебра логики, Конструктивная логи­
ка. Логика комбинаторная, Логика классов, Логи­
ческое исчисление, Модальная логика и лит. при этих
статьях.                                                  А. Марков. Москва.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ К. МАРКСА — значительная (около тысячи страниц) часть руко-

писного наследия К. Маркса, отражающая его заня­тия математикой. М. р. М. были сохранены Энгель­сом, к-рый придавал им большое значение и намере­вался их опубликовать (см. предисловие Энгельса ко 2-му изданию «Анти-Дюринга»).

М. р. М. свидетельствуют о многолетнем (начиная с 50-х гг. 19 в.) изучении Марксом математики. Вна­чале его интересы сосредоточивались преимущест­венно на возможных в то время приложениях мате­матики к исследованию экономич. проблем и на систематич. пополнении своих математич. знаний. Вскоре после выхода в свет 1-го т. «Капитала» (1867) занятия Маркса математикой приобрели самостоят, направление (см., напр., «Капитал», т. 2, 1955, с. 3) и продолжались до конца его жизни. К этому периоду времени относится подавляющая часть сохранивших­ся М. р. М.

Объектами изучения в М. р. М. в этот период явля­лись: аналитич. геометрия, алгебра (гл. обр. общая теория уравнений) и, в особенности, математич. ана­лиз. Маркс изучал последний с целью раскрыть тайну, окружающую «еще и в паше время те величи­ны, которые применяются в исчислении бесконечно малых, — дифференциалы и бесконечно малые разных порядков...» (Энгельс Ф.. Диалектика природы, 1955, с. 214). Он проанализировал все способы обос­нования математич. анализа (вплоть до работ франц. математика О. Коши) и показал их неудовлетвори­тельность. Затем Маркс приступил к систематич. изложению своей точки зрения. Работа эта осталась незаконченной; смерть Маркса прервала ее.

В М. р. М. проявились черты метода науч. иссле­дования Маркса — метода материалистич. диалек­тики — в применении к изучению конкретных проб­лем математики. Это придает им непреходящую науч. ценность.

Рукописи не содержат попыток формального пост­роения системы определений и аксиом в качестве ло­гич. базы математич. дисциплин. Любое понятие или метод Маркс рассматривал с т. зр. развития его из первоначальных, неразвитых форм. Задачу полного выяснения смысла и логич. связи математич. поня­тий и методов Маркс разрешил на пути исследования их историч. происхождения и развития. Так, им был изучен вопрос о предпосылках создания диффоренц. исчисления: о тех операциях и понятиях элементар­ной алгебры, к-рые являлись неразвитыми формами, «прообразами» (по выражению Маркса) понятий и методов этого исчисления. М. р. М. содержат ряд высказываний, раскрывающих сложную историю соз­дания анализа бесконечно малых, включающую в частности: (а) переход от алгебры конечного к ал­гебре бесконечного, соответствующий переходу от ди­скретного к непрерывному, сопровождающийся внед­рением в математику понятий бесконечного ряда, непрерывности, предела и др.; (б) переход от опера­ций алгебры (теперь допускаемых уже и в бесконеч­ном числе) к операциям собственно дифференц. ис­числения, оперирующего с характерными для него символами.

Алгоритмы дифференц. исчисления, по мысли Марк­са, делятся на первичные и вторичные, или алго­ритмы сведения. Первые позволяют непо­средственно находить по аналитич. выражению функ­ции аналитич. выражение ее производной для возмож­но более широкого класса функций. Специфич. для дифференц. исчисления символы их, йу и т. п. при этом играют роль отражения реально протекающего (без употребления этих символов) математич. процес­са дифференцирования, а не исходного пункта. Про- ■ цесс дифференцирования функции /(х) состоит, по Марксу, в полагании и последующем (после выполнения нек-рых операций) снятии разно-

МАТЕРИАЛИЗМ                                                                             343

сти /(ij)—f(x). Предшествующие этому снятию опера-
ции состоят в (1) образовании отношения ------------ —----

(назовем его -д—) и (2) в отыскании «предваритель­ной» производной, т. е. функции от обоих аргументов х^ и х, к-рая при х_хфх равняется -г—, по, в отличие

от этого отпошения, при х_х=х определена (и непре­рывна относительно х_г). Алгоритм отыскания такой «предварительной» производной для аналитич. функ­ций действит. переменной был (для разных случаев) подробно указан Марксом. Производная функция определялась Марксом как значение «предваритель­ной» производной при х_у = х.

Задача вторичных алгоритмов состоит в сведении сложных задач к последовательностям первичных алгоритмов. Введение вторичных алгоритмов и пере­ход к собственно дифференц. исчислению основаны на диалектич. оборачивании метода, выражением к-рого (оборачивания) является оперирование с диф­ференц. символами. Последние, игравшие вначале роль отражения реального математич. процесса, изме­няют свою сущность. Они сами становятся объектом исчисления, являясь теперь оперативными символами.

Открытый Марксом процесс образования диффе­ренциального исчисления, связанный с оборачивани­ем метода и изменением роли символов, имеет мно­го общего с процессом формирования всех символи­ческих исчислений. Он позволяет также правильно понять задачу создания аксиоматики исчи­сления.

Сила примененного в М. р. М. метода проявилась, в частности, в том, что Марксу удалось открыть новое понятие дифференциала как оперативного символа. Аналогичная идея впервые появилась лишь в 1911 (в работах франц. математика Ж. Адамара) в связи с обобщением понятий классич. анализа на функцио­нальный анализ.

Перечень важнейших проблем, к-рые исследовал Маркс, этим не исчерпывается. М. р. М. содержат замечат. идеи по ряду вопросов развития математики, актуальные и для современного нам этапа. Среди них: высказывания о решающем значении для мате­матики введения переменной величины (аналогичную идею, высказанную Энгельсом, см. «Диалектика при­роды», 1955, с. 206), о развитии понятия функции, об отображении движения средствами математики, о связанной с этим задаче о способах представления изменения переменной величины, о борьбе воззре­ний как необходимом условии развития математики и мн. др.

М. р. М. подготовлены к изданию в Ин-те марксиз­ма-ленинизма при ЦК КПСС.

Лит.: Маркс К., Математические рукописи, «Под знаменем марксизма», 1933, № 1, с. 15—73; его же, [Пись­мо] Энгельсу 11 января 1858 г., в кн.: Маркс К. и Э н-г е л ь с Ф., Соч., т. 22, М.—Л., 1929; его же, [Письмо] Энгельсу 6 июля 1863 г., там же, т. 23, М.—Л., 1930; Э н-г е л ь с Ф., [Письмо] Марксу 18 августа 1881 г., там же, т. 24, М.—Л., 1931; его же, [Письмо] Марксу 21 и 22 но­ября 1882 г., там же; Яновская С, О математических рукописях К. Маркса, «Под знаменем марксизма», 1933, Ni 1; Гливенко В. И., Понятие дифференциала у Маркса и Адамара, там же, 1934, № 5; Р ы б н и к о в К. А., Мате­матические рукописи Маркса, БСЭ, 2 изд., т. 26.

К. Рыбпипов. Москва.

МАТЕРИАЛИЗМ (от лат. materialis — веществен­ный)— науч. направление в философии, к-рое решает основной вопрос философии в пользу первичности мате­рии, природы, бытия, физического, объективного и рассматривает сознание, мышление как свойство материи в противоположность идеализму, принимаю­щему за исходное Д5'х, идею, сознание, мышление, психическое, субъективное.

12345678Следующая ⇒

Поделиться: