Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь

ЗМІСТ

1 Самостійна робота №1: Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь……………………………………………….4

1.1 Індивідуальні завдання…………………………………………….5

1.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №1......................8

2 Самостійна робота №2: Лінійні диференційні рівняння n-го порядку.......................................................................................................12

2.1 Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського.............12

2.2 Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.................12

2.3 Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.............14

2.4 Індивідуальні завдання....................................................................16

2.5Приклади виконання задач самостійної роботи №2......................21

3 Самостійна робота №3: Системи лінійних диференційних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами.............................................................................25

3.1 Індивідуальні завдання....................................................................27

3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3....................32

4 Література...............................................................................................38

5 Вимоги до оформлення лабораторних робіт.......................................39

Додаток А Зразок титульної сторінки лабораторної роботи................40

Самостійна робота № 1

Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь

Диференційне рівняння -го порядку має вигляд

(1.1)

або, якщо воно розв’язано відносно :

(1.2)

Вкажемо деякі види диференційних рівнянь, що допускають зниження порядку:

а) (1.3)

Рівняння розв’язується - кратним інтегруванням;

б) рівняння не містить шуканої функції та її похідних до порядку включно

(1.4)

Порядок можна знизити заміною ;

в) рівняння не містить незалежну змінну

(1.5)

Підстановка дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю. При цьому розглядається як нова невідома функції от : . Тоді

і т.д.

Підставляючи ці похідні в рівняння (1.5), одержимо диференційне рівняння -го порядку;

г) рівняння

однорідне відносно аргументів , тобто

Порядок цього рівняння можна зменшити на одиницю підстановкою , де - нова невідома функція від : ;

д) рівняння

(1.6)

в якому функція однорідна відносна своїх аргументів , якщо вважати та - першого виміру, а - виміру . Тоді буде мати вимір , - вимір і т.д. Для зниження порядку застосовуємо підстановку , . Після цього отримуємо диференціальне рівняння між і , яке не містить явно , тобто воно дозволяє знизити порядок на одиницю.

Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

1.2.1	1.2.2
1.2.3	1.2.4
1.2.5	1.2.6
1.2.7	1.2.8
1.2.9	1.2.10
1.2.11	1.2.12
1.2.13	1.2.14
1.2.15	1.2.16
1.2.17	1.2.18
1.2.19	1.2.20

2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

1.2.1	1.2. 2
1.2.3	1.2.4
1.2.5	1.2.6
1.2.7	1.2.8
1.2.9	1.2.10
1.2.11	1.2.12
1.2.13	1.2.14
1.2.15	1.2.16
1.2.17	1.2.18
1.2.19	1.2.20

3 Знайти розв’язок задачі Коші, згідно варіанту:

1.2.1 , ,
1.2. 2 , ,
1.2.3 , ,
1.2.4 , ,
1.2.5 , ,
1.2.6 , ,
1.2.7 , ,
1.2.8 , ,
1.2.9 , ,
1.2.10 , ,
1.2.11 , ,
1.2.12 , ,
1.2.13 , ,
1.2.14 , ,
1.2.15 ,
1.2.16 , ,
1.2.17 , ,
1.2.18 , ,
1.2.1 9 , ,
1.2. 20 , ,

1.3 Приклади виконання задач самостійної роботи №1

Приклад 1.3.1 Розв’язати задачу Коші

(1.7)

, , (1.8)

Розв’язок: Інтегруючи (1.7) послідовно три рази, отримаємо

(1.9)

Підставимо початкові дані (1.8) в (1.9)

Розв’язок задачі Коші буде мати вигляд

Приклад 1.3.2 Розв’язати рівняння

(1.10)

Розв’язок: Рівняння не містить і , тому покладемо . Рівняння набуде вигляду . Розділюємо змінні та інтегруємо: . Замінимо на : . Послідовно інтегруючи, одержимо

Приклад 1.3.3 Розв’язати рівняння

(1.11)

Розв’язок: Рівняння не містить змінної . Покладаючи , , отримаємо рівняння Бернуллі . Підстановкою воно зводиться до лінійного рівняння , загальний розв’язок якого . Замінюючи на , отримаємо . Звідки , або , де .

Приклад 1.3.4 Розв’язати рівняння

(1.12)

Розв’язок: Дане рівняння однорідне відносно . Його порядок знижується на одиницю підстановкою , де - нова невідома функція від . Маємо

Підставляючи в (3.12), одержимо

або ,

Це рівняння лінійне. Його загальним розв’язком є . Знаходимо інтеграл

Загальний розв’язок рівняння (1.12) має вигляд або . Окрім того, рівняння має розв’язок

Приклад 1.3.5 Розв’язати рівняння

(1.13)

Розв’язок: Покажемо, що це рівняння – узагальнене однорідне. Вважаючи величинами першого, - го, - го і - го вимірів, відповідно та прирівнюючи виміри усіх членів, отримаємо . Звідки . Зробимо підстановку , . Так як ,

то дане рівняння після скорочення на множник набуде вигляду . Покладаючи , , отримаємо , звідки або . Інтегруючи друге рівняння, знайдемо або . Загальним розв’язком цього рівняння є . Повертаючись до змінних та , отримаємо загальним розв’язок рівняння (3.13): .

Самостійна робота № 2

Лінійні диференційні рівняння - го порядку

Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

5 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння

2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.4.7
2.4.8
2.4.9
2.4.10.
2.4.11
2.4.12
2.4.13
2.4.14
2.4.15
2.4.16
2.4.17
2.4.18
2.4.19
2.4.20

6 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1
2.4.3
2.4.5
2.4.7
2.4.9
2.4.11
2.4.13
2.4.15
2.4.17
2.4.19
2.4.2
2.4.4
2.4.6
2.4.8
2.4.10
2.4.12
2.4.14
2.4.16
2.4.18
2.4.20

7 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

2.5 Приклади виконання задач самостійної роботи №2

Приклад 2.5. 1 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: , , . Оскільки вони дійсні та різні, то загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.2 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння має вигляд . Звідки , . Корені дійсні, один з них двократний. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.3 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , , . Загальний розв’язок .

Приклад 2.5.4 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння або має корені - однократні, - пара двократних уявних коренів. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.5 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння має різні корені , , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді , де - коефіцієнти, які треба визначити. Підставляючи вираз для в дане рівняння, отримаємо , звідки

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.6 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 є двократним коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для в дане рівняння, та прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях отримаємо .

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для в дане рівняння, та скорочуючи обидві частини рівняння на , отримаємо . Звідки

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння

(2.10)

Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

(2.11)

Будемо вважати в (2.11) , . Тоді

(2.12)

(2.13)

Покладемо . Про диференціюємо (2.13) по

(2.14)

Підставимо (2.14), (2.13) і (2.12) в рівняння (2.10) та після скорочення подібних членів, отримаємо систему рівнянь

(2.15)

З цієї системи визначимо та

, . Інтегруючи, знаходимо

(2.16)

(2.17)

Підставляючи (2.16) і (2.17) в рівняння (2.11), отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння

Самостійна робота № 3

Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

2 Розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

3.1.1 , ,
3.1.2 , ,
3.1.3 , ,
3.1.4 , ,
3.1.5 , ,
3.1.6 , ,
3.1.7 , ,
3.1.8 , ,
3.1.9 , ,
3.1.10 , ,
3.1.11 , ,
3.1.12 , ,
3.1.13 , ,
3.1.14 , ,
3.1.15 , ,
3.1.16 , ,
3.1.17 , ,
3.1.18 , ,
3.1.19 , ,
3.1.20 , ,

3 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

4 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3

Приклад 3.2.1 Розв’язати систему методом зведення до одного рівняння другого порядку

(3.8)

Розв’язок: Виключимо . З першого рівняння маємо . Підставляючи друге рівняння, отримаємо . Загальним розв’язком цього рівняння є . Звідки, .

Приклад 3.2.2 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь

(3.9)

Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння

(3.10)

, , .

Для простого кореня знаходимо власний вектор , розв’язуючи систему

(3.11)

(коефіцієнти цієї системи рівні елементам визначника (3.10) при ). З (3.11) знаходимо . Значить, вектор - власний, і

, , (3.12)

- частинний розв’язок системи (3.9).

Для кратного кореня спочатку визначимо число лінійно незалежних власних векторів. При з (3.10) отримаємо матрицю

Її порядок , ранг . Число лінійно незалежних власних векторів дорівнює . Корінь має кратність . Так як , то розв’язок треба шукати у вигляді

, , (3.13)

Щоб знайти коефіцієнти підставимо (3.13) в систему (3.9) та порівняємо коефіцієнти подібних членів. Отримаємо систему

(3.14)

Знайдемо загальний розв’язок цієї системи. З двох лівих рівнянь маємо , . Підставляючи це в останні рівняння, отримаємо

, (3.15)

( всі інші рівняння є слідством рівнянь (3.15)). Розв’язуємо систему (5.15) відносно і : , .

Таким чином, всі невідомі є вираженими через і . Покладемо , , маємо , , . Загальний розв’язок системи (5.14) знайдено.

Підставляючи знайдені значення в (5.13) і додаючи частинний розв’язок (3.12). помножений на , отримаємо загальний розв’язок системи (3.9):

, , .

Приклад 3 . 2.3 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь

(3.16)

Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння

Для кореня знаходимо власний вектор :

Можна взяти , . Маємо частинний розв’язок

, (3.17)

Так як система (3.16) є системою зі сталими коефіцієнтами, то розв’язок, який відповідає кореню , можна не розшукувати, він буде комплексно спряженим з (3.17). Для того щоб отримати два дійсних розв’язки, треба взяти дійсну та уявну частини знайденого комплексного розв’язку, користуючись відомою функцією Ейлера: . Тоді

Загальний розв’язок буде мати вигляд:

Приклад 3.2.4 Методом варіації довільних сталих розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь

(3.18)

Розв’язок: Розв’яжемо спочатку однорідну систему

(3.19)

одним з відомих методів. Одержимо

(3.20)

Розв’язок неоднорідної системи (3.18) будемо шукати у вигляді

(3.21)

Після підстановки (3.21) в (3.18) отримаємо

Звідки

Інтегруючи, одержимо

де - сталі інтегрування.

Підставляючи знайдені значення і в (3.21), отримаємо загальний розв’язок системи (3.18)

ЛІТЕРАТУРА

4.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.

4.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.

4.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.

4.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.

4.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.

4.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.

Додаток А