Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Нехай дано диференційне рівняння

              (2.8)

зі сталими дійсними коефіцієнтами . Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (4.8) рівний сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

В загальному випадку інтегрування рівняння (2.8) може бути здійснено методом варіації довільних сталих. Однак для правих частин спеціального вигляду частинний розв’язок знаходиться методом підбору.

Наведемо таблицю видів частинних розв’язків для різних правих частин

 

№ п/п	Права частина рівняння	Корені характеристичного рівняння	Вигляд частинного розв’язку
І		1. Число 0 не є коренем характеристичного рівняння
		2. Число 0 - корінь характеристичного рівняння кратності
ІІ	( - дійсне)	1. Число  не є коренем характеристичного рівняння
		2. Число  - корінь характеристичного рівняння кратності
ІІІ		1. Числа  не є коренями характеристичного рівняння
		2. Числа  є коренями характеристичного рівняння кратності
IV		1. Числа  не є коренями характеристичного рівняння
		2. Числа  є коренями характеристичного рівняння кратності

 

Якщо права частина рівняння (2.8) є сумою

                                                      (2.9)

де  мають вигляд функцій, наведених у таблиці, то частинний розв’язок  рівняння (2.8) знаходиться у вигляді

 

Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

5 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння

2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.4.7
2.4.8
2.4.9
2.4.10.
2.4.11
2.4.12
2.4.13
2.4.14
2.4.15
2.4.16
2.4.17
2.4.18
2.4.19
2.4.20

6 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1
2.4.3
2.4.5
2.4.7
2.4.9
2.4.11
2.4.13
2.4.15
2.4.17
2.4.19
2.4.2
2.4.4
2.4.6
2.4.8
2.4.10
2.4.12
2.4.14
2.4.16
2.4.18
2.4.20

7 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:

2.4.1	2.4.2
2.4.3	2.4.4
2.4.5	2.4.6
2.4.7	2.4.8
2.4.9	2.4.10
2.4.11	2.4.12
2.4.13	2.4.14
2.4.15	2.4.16
2.4.17	2.4.18
2.4.19	2.4.20

2.5 Приклади виконання задач самостійної роботи №2

 

Приклад 2.5. 1 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Складемо характеристичне рівняння  і знайдемо його корені: , , . Оскільки вони дійсні та різні, то загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.2 Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язок: Характеристичне рівняння має вигляд . Звідки , . Корені дійсні, один з них двократний. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.3 Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , , . Загальний розв’язок .

Приклад 2.5.4 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння  або  має корені  - однократні,  - пара двократних уявних коренів. Загальний розв’язок має вигляд .

Приклад 2.5.5 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має різні корені , , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді , де  - коефіцієнти, які треба визначити. Підставляючи вираз для  в дане рівняння, отримаємо , звідки

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.6 Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 є двократним коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для  в дане рівняння, та прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях  отримаємо .

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Частинний розв’язок даного рівняння  треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для  в дане рівняння, та скорочуючи обидві частини рівняння на , отримаємо . Звідки

Частинний розв’язок: .

Загальний розв’язок: .

Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння

                                       (2.10)

Розв’язок: Характеристичне рівняння  має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

                                                 (2.11)

Будемо вважати в (2.11) , . Тоді

                                           (2.12)

(2.13)

Покладемо . Про диференціюємо (2.13) по

(2.14)

Підставимо (2.14), (2.13) і (2.12) в рівняння (2.10) та після скорочення подібних членів, отримаємо систему рівнянь

               (2.15)

З цієї системи визначимо  та

, . Інтегруючи, знаходимо

                        (2.16)

                                                (2.17)

Підставляючи (2.16) і (2.17) в рівняння (2.11), отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння

.

Самостійна робота № 3

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: