Системи лінійних диференціальних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Лінійною системою зі сталими коефіцієнтами називається система вигляду

,                             (3.1)

де  - задані числа, а  - задані функції.

Лінійна система називається однорідною, якщо всі .

Розв’язком системи (3.1) в інтервалі  називається сукупність функцій

,                      (3.2)

які визначені на інтервалі  та мають на цьому інтервалі неперервні похідні, якщо функції (3.2) обертають рівняння системи (3.1) у тотожність при будь-яких значеннях  з інтервалу .

Задача знаходження розв’язку

,                   (3.3)

який задовольняє початковим умовам

                            (3.4)

називається задачею Коші.

Існує декілька способів розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами вигляду (3.1).

Простіше усього система (3.1) інтегрується шляхом зведення її до одного рівняння порядку . Цей метод зручно використовувати лише для нескладних систем.

Для знаходження розв’язків лінійної однорідної системи вигляду

                                                   (3.5)

або у векторній формі, , де  - вектор,  - матриця

, 

використовують наступний метод:

Знаходять корені характеристичного рівняння

                                          (3.6)

Кожному простому кореню  характеристичного рівняння відповідає розв’язок , де  - довільна стала,  - власний вектор матриці , який відповідає .

Якщо для кратного кореня  відповідає стільки лінійно незалежних власних векторів , яка його кратність, то йому відповідає розв’язок .

Якщо для кореня  кратності  є тільки  лінійно незалежних власних векторів, і , то розв’язок , який відповідає цьому , можна шукати у вигляді добутку багаточлена ступені  на , тобто у вигляді

                                    (3.7)

Для знаходження коефіцієнтів  треба підставити розв’язок (3.7) в систему (3.5). Прирівнюючи коефіцієнти при подібних членах, одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно . Треба знайти загальний розв’язок цієї системи. Коефіцієнти  повинні залежати від  довільних сталих, де  кратність кореня. Додаючи розв’язки, знайдені для кожного , отримаємо розв’язок системи (3.5).

Для знаходження розв’язків лінійних неоднорідних систем зі сталими коефіцієнтами використовують метод варіації довільних сталих.

 

Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

2 Розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

3.1.1 , ,
3.1.2 , ,
3.1.3 , ,
3.1.4 , ,
3.1.5 , ,
3.1.6 , ,
3.1.7 , ,
3.1.8 , ,
3.1.9 , ,
3.1.10 , ,
3.1.11 , ,
3.1.12 , ,
3.1.13 , ,
3.1.14 , ,
3.1.15 , ,
3.1.16 , ,
3.1.17 , ,
3.1.18 , ,
3.1.19 , ,
3.1.20 , ,

3 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

 

4 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3

 

Приклад 3.2.1 Розв’язати систему методом зведення до одного рівняння другого порядку

                                                                (3.8)

Розв’язок: Виключимо . З першого рівняння маємо . Підставляючи  друге рівняння, отримаємо . Загальним розв’язком цього рівняння є . Звідки, .

Приклад 3.2.2 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь

                                                            (3.9)

Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння

                                                (3.10)

, , .

Для простого кореня  знаходимо власний вектор , розв’язуючи систему

                                             (3.11)

(коефіцієнти цієї системи рівні елементам визначника (3.10) при ). З (3.11) знаходимо . Значить, вектор  - власний, і

, ,                                     (3.12)

- частинний розв’язок системи (3.9).

Для кратного кореня  спочатку визначимо число лінійно незалежних власних векторів. При  з (3.10) отримаємо матрицю

Її порядок , ранг . Число лінійно незалежних власних векторів дорівнює . Корінь  має кратність . Так як , то розв’язок треба шукати у вигляді

, ,   (3.13)

Щоб знайти коефіцієнти  підставимо (3.13) в систему (3.9) та порівняємо коефіцієнти подібних членів. Отримаємо систему

                                (3.14)

Знайдемо загальний розв’язок цієї системи. З двох лівих рівнянь маємо , . Підставляючи це в останні рівняння, отримаємо

,                               (3.15)

( всі інші рівняння є слідством рівнянь (3.15)). Розв’язуємо систему (5.15) відносно  і : , .

Таким чином, всі невідомі є вираженими через  і . Покладемо , , маємо , , . Загальний розв’язок системи (5.14) знайдено.

Підставляючи знайдені значення  в (5.13) і додаючи частинний розв’язок (3.12). помножений на , отримаємо загальний розв’язок системи (3.9):

, , .

Приклад 3 . 2.3 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь

                                                            (3.16)

Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння

,

,

Для кореня  знаходимо власний вектор :

Можна взяти , . Маємо частинний розв’язок

,                                (3.17)

Так як система (3.16) є системою зі сталими коефіцієнтами, то розв’язок, який відповідає кореню , можна не розшукувати, він буде комплексно спряженим з (3.17). Для того щоб отримати два дійсних розв’язки, треба взяти дійсну та уявну частини знайденого комплексного розв’язку, користуючись відомою функцією Ейлера: . Тоді

Загальний розв’язок буде мати вигляд:

 

Приклад 3.2.4 Методом варіації довільних сталих розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь

                                                               (3.18)

Розв’язок: Розв’яжемо спочатку однорідну систему

                                                      (3.19)

одним з відомих методів. Одержимо

                                                (3.20)

Розв’язок неоднорідної системи (3.18) будемо шукати у вигляді

                                      (3.21)

Після підстановки (3.21) в (3.18) отримаємо

Звідки

Інтегруючи, одержимо

де  - сталі інтегрування.

Підставляючи знайдені значення  і  в (3.21), отримаємо загальний розв’язок системи (3.18)

ЛІТЕРАТУРА

 

4.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.

4.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.

4.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.

4.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.

4.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.

4.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: