Рациональные уравнения. Виды и способы решения.

Рациональные уравнения. Виды и способы решения.

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0, где P1(x), P2(x), …, Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые

рациональные функции, называется рациональным уравнением.

1.Если х=а-корень многочлена Р(х), то Р(х) делится без остатка на двучлен х-а.

2.Пусть все коэффициенты многочлена Р(х)-целые числа, причем старший коэффициент равен 1. Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое.

3.Пусть все коэффициенты многочлена Р(х)=  -целые числа. Если корнем многочлена является целое число b, то b-делитель свободного члена (необходимое условие существования целочисленного корня).

Методы решения: 1)разложение на множители 2)введение новых
2.Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Виды и способы решения.

При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно.

1) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) 0 2) f ( x ) = − f ( x ) f ( x ) 0

Простейшие уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуль

• 1) f(x) =k f(x)= k(k 0)2) f(x) =0 f(x)=03) f(x) =k x (k 0)
• f(x) +af2(x)=k f(x) +a f(x) 2=kЗамена: y= f(x) y+ay2=k
• f(x) = g(x) f2(x)=g2(x) f(x)− g(x) *f(x)+g(x) =0
• f(x) = g(x) f(x)=g(x); f(x)=− g(x)
• f(x) =g(x) g(x) 0 f(x)=g(x)f(x)=− g(x)
• f(x) =− g(x) f(x)=0 g(x)=0

Уравнения вида f1(x) + f2(x) = f3(x) , содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решают методом промежутков:

• определяют область допустимых значений неизвестной x;
• находят значения неизвестной x₁, x₂, x₃, :, x_n, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в 0;
• наносят все x_i из ОДЗ на числовую прямую, разделив ее на i + 1 промежутков;
• на каждом из i + 1 промежутков раскрывают каждый модуль по правилу раскрытия модуля;
• решают i + 1 уравнения, в ответ выписывают объединение всех решений уравнений.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

f(|x|)	1) Для x ≥ 0, y = f(x) 2) Для x < 0 – преобразование симметрии относительно Oy графика y = f(x), для x ≥ 0 симметричные части графика из правой полуплоскости в левую
|f(x)|	1) Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x) 2) Для f(x) < 0, |f(x)| = -f(x)	Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в верхнюю относительно Ox
|f(|x|)|	f(x) → f(|x|) → |f(|x|)|.

 

 

4.Иррациональные уравнения. Методы решения.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Показательные неравенства.

Решение показательных неравенств вида , где a> 0, a#1, основано на следующих двух теоремах:

1.Если а> 1, то неравенство  равносильно неравенству

2. Если 0< a< 1, то неравенство  равносильно неравенству

8.Логарифмическая функция. Определение, свойства, график.

Логарифмическая функция у = log_a x (а > 0, a # 1 ) определена только при х > 0 (у = log_a x < => х = а^y) и обладает следующими свойствами:

1. монотонности: 0 < x₁ < x₂< =>

 

 

2. сохранения знака: у = log_a x > 0 < =>

3. асимптотического стремления к бесконечности: при х —> 0 (x > 0),

Прямая х = 0 называется вертикальной асимптотой графика функции у = log_a x.

Методы решения:  

1. метод потенцирования

2.метод введения новых переменных

3.метод логарифмирования
10.Решение логарифмических неравенств.

Решение логарифмический неравенств вида , где а> 0 и a#1, основано на след.:

1. Если а> 1, то неравенство равносильно системе неравенств

f(x)> 0,

g(x)> 0,

f(x)> g(x)

2. Если 0< a< 1, то неравенство равносильно системе неравенств

f(x)> 0,

g(x)> 0,

f(x)< g(x)

11.Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Областью определения неравенства f(x)> g(x) называется множество таких значений х, при которых и функция f(x), и функция g(x) Определены. Иными словами, область определения неравенства f(x)> g(x) – это пересечение областей определения функций f(x) и g(x).

Если все нули функции и точки разрыва отметить на числовой прямой, то они разобьют её на k+p+1 промежутков. Внутри каждого из этих промежутков функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Для установления этого знака достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и определить знак функции в этой точке.

Метод интервалов заключается в:

1.отметить все нули и точки разрыва функции.

2.провести кривую знаков.

3.выбрать промежутки числовой прямой соответствующие неравенству.

 

12.Тригонометрическая окружность(построить, объяснить).

 

 

 

13.тригонометрические функции. Определение, свойства, график.

Функция синус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(− x)=− sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π ·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π ·k, k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π ·k, π +2π ·k), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π +2π ·k, 2π +2π ·k), k ∈ Z. Функция возрастает от − 1 до 1 на промежутках: Функция убывает от − 1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = − 1 в точках:

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(− x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π ·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от − 1 до 1 на промежутках: Функция убывает от − 1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = − 1 в точках:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(− x)=− tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π ·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. tg x = 0 при tg x > 0 для всех tg x < 0 для всех Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(− x)=− ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π ·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0 при ctg x > 0 для всех ctg x < 0 для всех Функция убывает на каждом из промежутков

 

 

Рациональные уравнения. Виды и способы решения.

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0, где P1(x), P2(x), …, Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые

рациональные функции, называется рациональным уравнением.

1.Если х=а-корень многочлена Р(х), то Р(х) делится без остатка на двучлен х-а.

2.Пусть все коэффициенты многочлена Р(х)-целые числа, причем старший коэффициент равен 1. Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое.

3.Пусть все коэффициенты многочлена Р(х)=  -целые числа. Если корнем многочлена является целое число b, то b-делитель свободного члена (необходимое условие существования целочисленного корня).

Методы решения: 1)разложение на множители 2)введение новых
2.Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Виды и способы решения.

При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно.

1) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) 0 2) f ( x ) = − f ( x ) f ( x ) 0

123Следующая ⇒

Поделиться: