Два метода изучения движения жидкости

Стр 1 из 11Следующая ⇒

А.М. Калякин

Кинематика

2007

Учебное издание

Калякин Александр Михайлович

кинематика

Конспект лекций

по курсу «Гидравлика»

Редактор О.А. Панина

Компьютерная верстка Т.Н. Жиронкиной

Подписано в печать Формат 60´ 84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. Уч.-изд.л.

Тираж 100 экз. Заказ С

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

А.М. Калякин

Кинематика

Конспект лекций

по курсу «Гидравлика»

для студентов всех специальностей

Издание второе,

переработанное и дополненное

Саратов 2007

УДК

ББК

К 17

Рецензенты:

Кафедра высшей математики

Поволжского филиала Российского государственного

открытого технического университета путей сообщения

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики

Саратовского государственного аграрного университета им. Н.И. Вавилова

А.С. Кутин

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

Калякин А.М.

К 17 Кинематика: конспект лекций. 2-е изд. / А.М. Калякин. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2007. 52 с.

ISBN 5-7433-

УДК

ББК

Ó Саратовский государственный

технический университет, 2007

ISBN 5-7433- Ó Калякин А.М., 2007

Введение

Конспект лекций является второй частью курса «Гидравлика» для студентов всех специальностей. Иногда вместо названия «Гидравлика» употребляется название «Механика жидкости и газа», но первое более употребительно. При написании данной части принималось во внимание то очевидное обстоятельство, что на начальном этапе обучения студент для понимания новой для него науки пользуется привычными повседневными представлениями. Именно поэтому самые первые параграфы изложены максимально просто, с многочисленными примерами.

Конспект преследует следующие цели: частично дополнить объем учебной литературы, недостаточное количество которой в последнее время очевидно; предоставить каждому студенту возможность иметь свой подробный конспект; дать основные знания по курсу в совокупности с решением задач. Изложение построено с учётом того, что конспектом будут пользоваться также студенты заочной формы обучения и для ознакомления с основами кинематики им не нужно будет использовать другие источники.

Изложение ведется на двух уровнях: основная часть изложена на первом – нижнем уровне. Усвоив этот основной объем, студент может рассчитывать на минимальную положительную оценку на экзамене. При отборе материала для изучения и вынесения на экзамен преподаватель может, в частности, перечислить параграфы и задачи дополнительной части для получения заданных оценок (основная часть, как правило, нужна вся).

Имея данный конспект, студенту ни в коем случае нельзя отказываться от посещения лекций, так как только живое общение в аудитории, где рассматриваются наиболее трудные вопросы и задачи, гарантирует полное усвоение предмета. Не обязательно, но желательно изучать конспекты частей курса лекций в естественной последовательности. Автор при написании конспекта лекций использовал большое количество источников, ссылки на которые приведены. Каждый учебник по гидравлике является в некоторой степени справочником; автор стремился к тому, чтобы конспект в меньшей степени служил справочником и в значительно большей степени способствовал развитию творческих навыков. На новизну результатов конспект лекций претендовать не может, но методика изложения в совокупности с подобранными задачами является, по мнению автора, в данном случае оптимальной. Это второе издание части «Кинематика», оно, во-первых увеличено по объёму как в основной, так и в дополнительных частях, и в него включено изложение основ вихревых движений,
во-вторых, в нём учтены все замечания, сделанные со времени выхода первого издания.

Кинематика – раздел механики жидкости и газа, в котором изучаются только геометрические свойства движения жидкости. Поэтому все основные выводы кинематики справедливы для любой жидкости как вязкой, так и невязкой.

1. Основные определения. Виды движения

При изучении движения жидкости она считается сплошной средой и её движение происходит потоком. Под потоком понимают движение массы жидкости, ограниченной системой поверхностей твердых тел (трубопровод, канал, река и т. д.). Движение сплошной среды характеризуется, прежде всего, скоростями её частиц, поэтому в дальнейшем в примерах рассматривается скорость .

Напорные и безнапорные

Равномерным движением называется такое, при котором распределение основных параметров (скоростей и т. д.) по сечению не изменяется вдоль потока. Будет равномерным, например, движение жидкости в трубе одинакового по длине диаметра, рис. 1.6.

Неравномерным движением называется такое, при котором распределение основ-ных параметров (скоро- стей, давлений и т. д.) по сечению изменяется вдоль потока. Примером может служить движение в сужающейся трубе, рис. 1.7.

В зависимости от природы действующих сил и общих условий движения различают напорные и безнапорные потоки.

Напорным движением называется такое, которое происходит под действием давления, большего атмосферного, сообщаемого каким-либо внешним источником (насосом, напорным резервуаром). Как правило, напорный поток капельной жидкости заполняет сечение трубы полностью. Наиболее типичным практическим случаем является поток воды в водопроводной трубе.

Безнапорным движением называется такое, при котором жидкость перемещается под действием силы тяжести. Такое движение характеризуется наличием у потока свободной поверхности. Примерами безнапорного движения являются: движение воды в реках, каналах, канализационных трубах.

Ускорение жидкой частицы

Вектор ускорения жидкой частицы, движущейся со скоростью , по аналогии с механикой материальной точки, является производной по времени от вектора скорости

. (2.1)

Выполним вначале качественный анализ зависимости для ускорения жидкой частицы. В данной точке потока скорость может со временем изменяться , а может и оставаться постоянной ; это относится к любой точке и частная производная (имеющая размерность ускорения) будет первой составляющей (слагаемым) компоненты ускорения. Кроме того, скорость частицы может изменяться от точки к точке (как при стационарном, так и при нестационарном режимах); простейший пример – течение жидкости в расширяющемся канале, рис. 2.1, где скорость непрерывно уменьшается вдоль потока. В этой второй составляющей ускорения по смыслу должны присутствовать производные от скорости по координатам, но для сохранения размерности ускорения они должны умножаться на скорость. Так как обе рассматриваемые компоненты принципиально независимы, то общее ускорение жидкости частицы состоит из двух слагаемых.

Выполним теперь формальный вывод зависимости для ускорения. В общем случае неустановившегося движения проекции скорости , , являются функциями координат и времени; поэтому полный дифференциал, например, проекции равен

. (2.2)

Разделив последнее равенство на , получим

(2.3)

а с учетом

, , (2.4)

получим

(2.5)

Из анализа последней зависимости следует, что полное ускорение складывается из двух составляющих: конвективного (или переносного) ускорения

(2.6)

и местного (локального) ускорения

(2.7)

Как следует из вывода, местное ускорение – это результат изменения скорости в точках пространства с течением времени, т. е. когда движение жидкости является неустановившимся. При установившемся движении местное ускорение .

Возникновение конвективного ускорения

(2.8)

обусловлено тем, что при переходе от точки к точке скорость изменяется. Таким образом, конвективное ускорение, а следовательно, и полное ускорение в установившемся потоке не обязательно равно нулю.

Задача 2.1. В каком случае конвективное ускорение равно нулю во всех точках потока?

Задача 2.2. Заданы выражения для компонентов вектора скорости

, , ,

где – постоянная величина, имеющая размерность ; , , – постоянные, имеющие размерность скорости. Найти выражение для компоненты вектора ускорения.

Задача 2.3. Заданы следующие выражения ля компонентов вектора скорости течения

, , ,

где – постоянная величина, имеющая размерность . Найти выражение для компоненты вектора ускорения.

Решение. Выражение для компоненты ускорения имеет вид

Из условия задачи следует

, , , .

Подставляя полученные значения производных и выражения для компонент , и в зависимость для , получаем искомый результат

Уравнение неразрывности

Для элементарной струйки

Известно несколько общих законов природы – законов сохранения, которые, преломляясь в прикладных науках, остаются в них определяющими. В гидравлике одним из основных уравнений является уравнение неразрывности, выражающее один из фундаментальных законов природы – закон сохранения массы вещества применительно к движению жидкостей и газов.

Для вывода этого уравнения рассмотрим элементарную струйку и определим массу жидкости, протекающей в единицу времени через её сечение. (1-1, рис. 3.1). Выражение для элементарной массы составим следующим образом: за время все частицы жидкости из сечения 1-1 переместятся на расстояние , равное , и займут положение на плоской площадке 2-2, которая не является сечением элементарной струйки, а представляет основание цилиндра, построенного на сечении 1-1 с образующей, равной , где U-скорость в сечении струйки 1-1. Ввиду того, что площадь сечения струйки является бесконечно малой величиной, скорость в его пределах полагается постоянной. Поэтому за время через сечение 1-1 протекает масса жидкости, содержащаяся в цилиндре, рис. 3.1, ограниченном с торцов сечениями 1-1 и 2-2, а боковая его поверхность образована линиями тока. Эта масса может быть определена как объем цилиндра, умноженный на плотность жидкости

. (3.1)

За единицу времени через сечение протекает масса жидкости

. (3.2)

Поверхность струйки непроницаема для жидкости и поэтому для данной струйки имеем

, (3.3)

или

. (3.4)

По длине струйки площадь её сечения может изменяться, но произведение (3.4) остается постоянным, т. е. масса жидкости, проходящая в единицу времени через любое сечение струйки, остается постоянной – так формулируется закон сохранения массы для данного случая.

Если жидкость несжимаема, то и (3.4) будет иметь вид

. (3.5)

Произведение называется объемным расходом. В дальнейшем, если не сделана оговорка, под расходом будем понимать объемный расход.

Элементы потока

Рассмотрим в качестве примера поток жидкости в круглой трубе, рис. 4.1, а (вид сбоку). На этом рисунке горизонтальными линиями изображены линии тока; проведём плоскость П перпендикулярно направлению струек. Тогда на плоскости получится сечение потока (заштриховано), рис. 4.1, б, которое носит название живого сечения потока. Сечение потока, во всех точках которого линии тока, пересекающие эту поверхность, перпендикулярны к ней, называется живым сечением потока.

На рис. 4.2 изображены живые сечения: а) напорной трубы; б) трубы, работающей неполным сечением; в) квадратной напорной трубы; г) трапецеидального канала; д) прямо-угольного канала. Площадь сечения обычно обозначается буквой S. Если бы струйки в потоке не были параллельны, то живое сечение представляло бы часть криволинейной поверхности. В гидравлических расчётах применяют также смоченный периметр и гидравлический радиус.


а)	б)	в)	г)	д)

Рис. 4.2

Средняя скорость.

Уравнение неразрывности

В дифференциальной форме

Очевидно, что в любой точке внутри потока жидкость не возникает и не исчезает, поэтому можно считать что в любой точке должны выполняться определённые соотношения, содержащие скорость и выражающие закон сохранения массы. Для вывода уравнения такого рода представим внутри потока воображаемую неподвижную замкнутую поверхность, через которую может свободно протекать жидкость. Положительное направление нормали ориентировано внутрь поверхности, рис. 7.1. Любой бесконечно малый элемент этой поверхности, ввиду его малости можно рассматривать как плоскую площадку и скорость в её пределах считать неизменной. Кроме того, на каждой площадке определён вектор нормали к ней. Составим для каждого элемента поверхности произведение

которое можно представить как

где – проекция скорости на нормаль к площадке. Последнее произведение является, по определению, расходом жидкости через площадку , т. е.

Припишем величине знаки (-) или (+) в зависимости от направления векторов и (противоположные или одноимённые), т.е. втекает жидкость внутрь поверхности (+) или вытекает из неё наружу (-). Если рассматривать однородную несжимаемую жидкость, то объём втекающей внутрь поверхности жидкости за любой промежуток времени равен объёму жидкости, вытекающей из неё. Суммарный расход через поверхность тогда, очевидно, будет равен нулю, т. е.

. (7.1)

Применяя теорему Гаусса-Остроградского к рассматриваемой замкнутой поверхности , получим

. (7.2)

Подставляя (7.1) в (7.2) получим

. (7.3)

Так как поверхность была выбрана произвольно и никаких ограничений сделано не было, то из (7.3) следует, что

(7.4)

в каждой точке объёма .

В декартовой системе координат зависимость (7.4) будет иметь вид

. (7.5)

Уравнение (7.5) представляет собой уравнение неразрывности в дифференциальной форме; оно должно выполняться в каждой точке потока несжимаемой жидкости и накладывает, таким образом, ограничения на компоненты , и вектора скорости. Заметим для сравнения, что при движении материальной точки (в классической механике) никаких ограничений на её скорость не накладывается, в то время как в любой точке потока несжимаемой жидкости такое ограничение существует в виде уравнения (7.5).

Задача 7.1. Может ли существовать поток несжимаемой жидкости, поле скорости которого описывается вектором с компонентами

где – постоянный коэффициент, введённый, в частности, для сохранения размерности скорости?

Решение. В каждой точке потока несжимаемой жидкости обязательно должно выполняться уравнение неразрывности (7.5). Вычислим частные производные

Следовательно, в данном случае уравнение неразрывности выполняется в каждой точке и поток с заданными компонентами скорости существует.

Потенциальное движение

Уравнения, описывающие движение реальной жидкости, настолько сложны, что решить их в большинстве случаев невозможно. Для изучения различных течений и получения для них аналитических зависимостей приходится прибегать к упрощающим приёмам, например, предполагать жидкость невязкой (идеальной) и т. д; одним из таких приёмов является допущение о том, что вращательная составляющая скорости частиц равна нулю. Необходимость такого приёма оправдывается, например, тем, что при движении хорошо обтекаемого тела (крыла, лопатки компрессора или насоса) вращение частиц практически отсутствует почти во всём потоке, за исключением небольших областей (прежде всего это область, непосредственно прилегающая к поверхности тела).

Потенциал скорости

Безвихревое движение является моделью, когда предполагается, что каким бы образом поток ни представлять состоящим из частиц, то ни одна из них не совершает вращательного движения относительно своей оси – в этом случае ω =0 в любой точке области, где происходит движение жидкости. Такое движение является безвихревым, так как

. (9.1)

Очевидно, что вектор равен нулю, если каждая его компонента равна нулю, т.е. из (9.1) следует, что

. (9.2)

В данном случае для лучшего представления физических особенностей потенциального движения предполагалось отсутствие вращения частиц, что не совсем точно. При строгом формальном подходе в каждой точке задаётся поле скоростей, т.е. задаётся вектор скорости Тогда формально вычисленный ротор от вектора скорости – оператор должен быть равен нулю в любой точке при потенциальном движении.

Если

Вихревые движения жидкости

Различают два значения термина «вихрь» – физический вихрь и расчётный вихрь.

Физическим вихрем называют группу частиц жидкости, вращающихся вокруг одной мгновенной оси с одинаковой угловой скоростью (как твердое тело). Мгновенная ось вращения может быть неподвижной или перемещающийся в пространстве. В потоке жидкости вихри с неподвижной осью образуются, например, за плохо обтекаемым телом: на рис. 10.1 – вихри за круговым цилиндром, на рис. 10.2 – за корабельным рулём.

Рис. 10.1 Рис. 10.2

Система физических вихрей, расположенных непрерывно вдоль одной общей оси вращения, называется вихревым шнуром. По длине вихревого шнура угловая скорость вращения может изменяться, но в каждом сечении шнура, нормальном к его оси, частицы жидкости вращаются с одинаковой угловой скоростью. В общем случае вихревой шнур может перемещаться в пространстве и изменять свою форму, но так, чтобы касательная к оси шнура совпадала с направлением угловой скорости вращения частиц жидкости.

Главной характеристикой вихревого шнура является его напряжение , которое равно произведению угловой скорости вращения на нормальную к ней площадь сечения шнура

. (10.1)

Если сечение вихревого шнура бесконечно мало, то такой вихревой шнур называется элементарным. Его напряжение обозначают через и считают, что

В отличие от конечных (сосредоточенных) вихревых шнуров элементарные вихревые шнуры располагаются в потоке жидкости непрерывно, заполняя определённые его области (например, в пограничном слое).

Расчётным вихрем называют вектор угловой скорости вращения частиц жидкости (проекции его на оси декартовой системы определяются по (9.5)). Так как эти зависимости выражаются через производные от проекций линейной скорости, которая является функцией координат, то в вихревом потоке вместе с векторным полем линейной скорости в каждый момент времени имеется и векторное поле угловой скорости .

Возникновение завихренности в идеальной (невязкой) жидкости связывается с образованием и распадом так называемых поверхностей раздела.

Такого рода поверхности могут возникнуть, например, при слиянии двух потоков позади ребра острого двугранного угла (рис. 10.3), если скорости потоков до их слияния отличаются по величине или направлению. В непосредственной близости позади ребра на поверхности раздела имеет место скачок скорости.

В результате воздействия какого-нибудь случайного возмущения поверхность раздела начинает искривляться, принимая волнообразную форму. В дальнейшем деформация поверхности раздела нарастает; постепенно она закручивается, образуя вихрь с осью вращения, параллельной ребру угла. Затем этот вихрь под воздействием потока открывается и уплывает вниз по течению, а на его месте образуется новый.

Подобную же картину образования и распада поверхности раздела и появления вихрей можно наблюдать при обтекании потоком острого угла (рис. 10.4)

Рис. 10.4

При этом в потоке позади ребра появляется круговое движение, вследствие чего жидкость в этой зоне начнет притекать к ребру в направлении, противоположном потоку. Таким образом, около ребра будет происходить слияние двух струй, имеющих различные скорости. На границе струй появится поверхность раздела, которая под действием вихря начнет совместно с ним закручиваться; вихрь при этом начнет увеличиваться в размерах. Со временем под воздействием набегающего потока наступает разрыв поверхности раздела, после чего свободный вихрь уплывает вниз по течению, а на его месте возникает новый.

Задача 10.1. В прямой круглой трубе радиуса существует ламинарный режим движения. Во всех точках потока скорость направлена вдоль оси трубы и распределена по сечению по параболическому закону

, ,

где – скорость на оси трубы; – скорость на расстоянии r от оси.

Определить, является ли такой поток вихревым.

Решение. Направим ось ОХ декартовой системы вдоль оси трубы; тогда

и формулы для составляющих скорости примут вид

, .

В данном случае

, , .

Величина вектора угловой скорости равна

;

она пропорциональна скорости на оси трубы, равна нулю на оси трубы и достигает максимума на стенках.

Так как вектор лежит в плоскости поперечного сечения трубы , то направление его определяется углом, который он образует, например, с осью Y.

Дополнительная часть.

Д.1. Уравнения линий тока

Построение линий тока является одним из средств наглядного изображения особенностей течения. Поверхность тела, непроницаемую для жидкости, возможно представить состоящей из линий тока. Например, при плоском обтекании препятствия на дне канала сама твёрдая граница будет линией тока, рис.Д.1.1, которая часто называется нулевой. В общем случае через любую точку движущейся среды в данный момент времени можно провести лишь одну линию тока, но существуют некоторые особые точки, в которых это правило нарушается. В особых точках линии тока пересекаются, следовательно, в этих точках вектор скорости имеет разные направления, что при конечном значении скорости невозможно. Поэтому в особых точках величина скорости должна быть равна либо нулю, либо бесконечности. При обтекании тела нулевая линия тока, образующая непроницаемый контур, имеет особые точки А и A₁, рис. Д.1.2. В этих точках, называемых критическими, величина скорости равна нулю.

Рис. Д.1.1 Рис. Д.1.2

Предположим, что поле скоростей потока известно и необходимо найти линии тока. По определению вектор скорости направлен по касательной к линии тока. Выделим на ней элемент дуги , проекции которого на оси координат обозначим через dx, dy, dz. Так как вектор скорости и вектор параллельны, то векторное произведение их равно нулю

Записывая это равенство с помощью определителя третьего порядка

находим, что элементы второй и третьей сторон пропорциональны

. (Д.1.1)

Таким образом, задача об определении линий тока по заданному полю скоростей сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений. Практическая польза выведенных уравнений состоит в возможности решения (Д.1.1) и получения уравнений линий тока для описания течений жидкости; для этого необходимо знать выражение для проекций скоростей на оси координат.

Введённое ранее в основной части представление о потенциале скорости возможно обобщить, обращая внимание на то, что соотношение

является векторным тождеством и выполняется всегда. Поэтому если

то вектор возможно подставить в виде градиента от некоторой скалярной функции , т.е.

Из последнего выражения следует, что

, , .

Задача Д.1.1. Даны зависимости для проекций скорости плоского течения

, .

Выполнить анализ особенностей этого течения, найти уравнение линий тока и выражение для потенциала скорости.

Решение. Уравнение неразрывности принимает вид 2-2 =0, т.е. поток существует. Кроме того, он потенциальный, так как .

Уравнение (Д.1.1) в данном случае такое

или .

Интегрируем последнее равенство

ln x + ln y =ln c или ln(xy)=ln c или xy=c.

Окончательно уравнение линий тока

Сами линии тока приведены на рис. Д.1.3.

Любая частица жидкости движется вдоль кривых линий тока без вращения, так как поток потенциальный. Для нахождения потенциала скорости учтём, что

, .

Выражение для получается из

откуда

Д.2. Плоские течения

Рассмотрим частный, но практически важный случай плоского течения несжимаемой жидкости, т.е. такого, в котором: a ) конфигурация линий тока во всех плоскостях, нормальных некоторой прямой, одинакова; б) все линии тока являются плоскими кривыми, лежащих в этих плоскостях.

Изучение плоских течений по сравнению с пространственными значительно облегчается, во-первых, потому, что уравнения, их описывающие, содержат две переменных, а во-вторых, потому, что достаточно изучить течение всего лишь в одной плоскости, чтобы составить представление о потоке в целом. В дальнейшем рассматриваются только установившиеся течения.

Д.2.1. Функция тока

Рассмотрим течение жидкости, при котором распределение скоростей зависит только от двух координат, например от x и y, причём скорость параллельна везде плоскости XOY. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорость через так называемую функцию тока. Из уравнения неразрывности

(Д.2.1)

видно, что компоненты скорости могут быть представлены в виде производных

, (Д.2.2)

от некоторой функции , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.

Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для установившегося движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока (при двумерном течении) есть

(Д.2.3)

или ; оно выражает собой тот факт, что направление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости. Подставляя в последнее уравнение (Д.2.2), получаем

, (Д.2.4)

откуда

. (Д.2.5)

Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока произвольной постоянной.

При установившемся течении каждая линия тока не меняет своей формы и может быть заменена твёрдой стенкой. Зная функцию тока течения, можно указать формы линий тока и, следовательно, формы стенок, которые могут обтекаться при этом течении.

Таким образом, альтернативно вектор скорости можно представить через функцию тока, чьё существование есть следствие уравнения неразрывности. С математической точки зрения функцию тока можно рассматривать как одно из общих решений уравнения неразрывности движения для плоского потока.

Из предыдущего можно сделать вывод, что функция тока существует независимо от того, вихревым или потенциальным является движение жидкости. Если проекции вектора скорости определяются как в (Д.2.2), то уравнение неразрывности выполняется автоматически. Покажем, что если поток потенциальный, то функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Если поток потенциальный, то и

. (Д.2.6)

Подставляя в (Д.2.6) значения и из (Д.2.2) получаем

, (Д.2.7)

т.е. уравнение Лапласа для . Следовательно, в плоском потенциальном потоке потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Оно обладает свойством линейности: если имеются функции или …., такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также и линейные комбинации, т.е. функции вида

где – постоянные числовые коэффициенты. Таким образом, при наложении одного такого потенциального потока на другой потенциальный поток, полученный в результате сложения, будет также потенциальным и его потенциал скорости и функция тока будут определяться путём алгебраического суммирования значений потенциалов и функцией тока исходных потоков. Заметим, что потенциальные (безвихривые) потоки, которые в природе не существуют, могут быть как плоскими, так и пространственными. Функция тока, хотя и может быть введена только для плоского (или осесимметричного) потока и зависит от двух координат, может описывать как потенциальные, так и вихревые движения.

Связь между потенциалом скорости и функцией тока устанавливается путём сопоставления зависимостей (9.7) и (Д.2.2)

, ,

т.е. и с точностью до произвольной постоянной однозначно связаны между собой и полностью определяет поле скоростей.

Задача Д.2.1. Представляют ли выражения

соответственно потенциал скорости и функцию тока одного и того же течения? Постоянная k имеет размерность 1/Lt.

Решение. Для ответа на вопрос, поставленный в задаче необходимо найти проекции скорости и исходя вначале из потенциала скорости, а затем найти те же проекции, исходя из выражения для функции тока. Дифференцируя и , убеждаемся, что в обоих случаях и полностью совпадают и ответ на вопрос задачи положительный.

Д.2.2. Сетка течения плоского потенциального потока

несжимаемой жидкости

Система линий тока (уравнение каждой линии имеет вид ) позволяет наглядно представить поток, сделать необходимые оценки и определить многие величины. Такая система линий тока является во многих случаях необходимым геометрическим образом. Независимо от функции тока можно найти потенциал скорости и, следовательно, эквипотенциальные линии (линии равного потенциала) , которые также можно построить в плоскости течения, рис. Д.2.1 и Д. 2.1, б.

Ψ ₂=K₂

Ψ ₃=K₃

Ψ ₁=K₁

Ψ ₀=K₀

Ψ ₁=K₁

Ψ ₄=K₄

Ψ ₃=K₃

Ψ ₂=K₂

а) б)

Рис. Д.2.1

При совместном построении линий тока и эквипотенциальных линий возможно выявить важные для дальнейшего свойства, а именно: эти семейства (системы этих линий) образуют ортогональную сетку плоского течения.

Рассмотрим потенциальное течение в плоскости xoy и напомним, что вектор скорости совпадает с направлением касательной в любой точке линии тока и образует с осью абсцисс некоторый угол α. Если учесть уравнение линии тока

или ,

то тангенс угла

. (Д.2.8)

Для линии равного потенциала проходящую через ту же точку можно записать

(Д.2.9)

С учётом того, что геометрический смысл производной представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке, последнее равенство переписывается так

;

напомним, что -тангенс угла, образованного касательной к линии равного потенциала и осью абсцисс. Перемножая (Д.2.8) и (Д.2.9), получим

Известно, что этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.

На рис. Д.2.1, а изображена сетка течения в напорном плоском канале переменного сечения, а на рис. Д.2.1, б – втекание жидкости из резервуара в плоский напорный канал.

Примеры плоских сечений

Пример Д.2.1. Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой невязкой жидкости с одинаковой во всём потоке (в любой точке) скоростью, направленной вдоль оси Оy. В этом случае

Тогда уравнение неразрывности удовлетворяется, и течение является потенциальным.

Тогда

–

линии равных потенциалов представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс, рис. Д.2.3. Ось Оy (x=0) также является одной из эквипотенциальных линий; обозначим её через .

Рис. Д.2.3

Рис Д.2.2

Можно допустить, что

, следовательно

Рис. Д.2.2

Для функции тока найдём аналогично

Линии тока представляют прямые, параллельные оси Оy.

Задача Д.2.2. Найти потенциал и функцию тока плоского поступательного потока, направленного под углом к оси абсцисс.

Решение. Такой поток может быть образован в результате наложения плоского однородного поступательного потока, параллельного оси абсцисс на плоский однородный поступательный поток вдоль оси ординат.

, .

Пример Д.2.2. Предположим, что невязкая несжимаемая жидкость непрерывно подводится к некоторой точке плоскости и растекается по ней с одинаковой интенсивностью по всем направлениям, рис. Д.2.4; такое течение называется плоским источником.

Проведём из центра источника несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение постоянства расхода через цилиндрическую поверхность, построенную на любой окружности и имеющую высоту, равную единице, будет иметь вид (при =const)

Скорость, как следует из последнего равенства, выразится так

где .

Поэтому

Аналогично

;

окончательно полный дифференциал потенциала скорости

Интегрируя это выражение, найдём потенциал скорости для источника

где С – константа интегрирования, которую можно принять равной нулю, если положить, что при круге r=1 функция и тогда

, (Д.2.10)

Для определения функции тока учтём, что

, ,

После интегрирования

Из рис. Д.2.4 видно, что , где – угол, образованный одной из линий тока. Принимая , при y=0 получаем c=0 и, следовательно, для функций тока можно записать

. (Д.2.11)

Эта зависимость выражает функцию тока источника. Из выражений (Д.2.10) и (Д.2.11) следует, что потенциал скорости источника может быть представлен семейством концентрических окружностей различного радиуса, а функция тока представляется пучком прямых, исходящих из центра.

Потенциал скорости и функция тока для стока будут иметь вид, аналогичный (Д.2.10) и (Д.2.11), но с обратным знаком, т.е.

, .

Пример Д.2.3. Рассмотрим течение, которое получается при одновременном существовании (наложении) на некотором расстоянии друг от друга источника и стока равной интенсивности (равного радиуса). Начало координат поместим в точку, делящую расстояние между центрами источника и стока пополам. Допустим, что источник располагается в точке , а сток в точке , рис. Д.2.5. В этом случае потенциалы скорости и функции тока для источника и стока определяются следующими зависимостями

, ; (Д.2.12)

, . (Д.2.13)

Будем теперь сближать источник и сток, т.е. величина стремится к нулю . В пределе при сток поглотит источник и всякое движение будет отсутствовать. Если одновременно со сближением центров источника и стока будем увеличивать их расход так, чтобы

то получим в процессе течение, которое называется диполем. Постоянная М, характеризующая этот поток, называется моментом диполя, а ось Оx – осью диполя. На основании зависимостей (Д.2.12) и (Д.2.13) определяем потенциал скорости и функцию тока рассматриваемого течения (диполя) так, как будет показано ниже.

Умножим числитель и знаменатель последнего равенства на ; в числителе получим , т.е.

В последнем выражении – предел отношения приращения функции к приращению аргумента по координате х, что является частной производной по х; поэтому выражение для может быть записано так

Аналогично для функции тока диполя получается выражение

Выполняя операции дифференцирования, приходим к окончательным выражениям

Анализ последних уравнений показывает следующее: линии тока диполя есть окружности, проходящие через начало координат и имеющие центры на оси Оу, рис. Д.2.6; эквипотенциальные линии также представляют собой окружности, проходящие через начало координат, но с центрами, расположенными на оси ОХ. Жидкость движется из начала координат в сторону отрицательного направления оси Ох и, описав окружность, снова попадает в начало координат. Течение жидкости в диполе – идеализированное, не встречающееся на практике, но изучение его позволяет построить схемы течений некоторых реальных потоков.

Пример Д.2.4. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра плоским прямолинейным потоком.

Рассмотрим цилиндр бесконечной длины, который обтекается безграничным прямолинейным плоским потоком идеальной жидкости перпендикулярно его оси и так, что скорость набегающего потока направлена вдоль оси Ох; начало координат поместим на оси цилиндра. Произведём сложение двух течений: одного – диполя, помещённого в начале координат, а второго – прямолинейного со скоростью , параллельной оси ОХ. Произведём суммирование функций тока

. (Д.2.14)

Из этого равенства следует, что при у=0, а также на окружности радиуса , определяемого условием

, (Д.2.15)

функция тока равна нулю, т.е. постоянна и, следовательно, названные линии являются линиями тока. Картина линий тока приведена на рис. Д.2.7.

Ψ =0

Ψ =0

Так называемая «нулевая» линия тока состоит из отрезка отрицательной оси абсцисс от бесконечности до точки А, из окружности радиуса (ACBD) и из отрезка положительной оси абсцисс от точки В до бесконечности. Эта «нулевая» линия тока разграничивает две области течения жидкости: «внешний поток» (вне окружности радиуса ) и «внутренний поток», замыкающийся внутри окружности радиуса . Этот «внутренний поток» не влияет на поведение внешнего потока и, следовательно, картина обтекания не изменится, если предположить, что потоком обтекается жесткий цилиндр радиуса . Такое течение носит название бесциркуляционного обтекания цилиндра. Исключая с помощью (Д.2.15) момент диполя из (Д.2.14), найдём выражение для функции тока (при )

Потенциал скорости такого течения будет иметь вид

Формулы перехода от прямоугольных координат (х, у) к полярным имеют вид

и, следовательно, функции и могут быть представлены в полярных координатах

, (Д.2.16)

. (Д.2.17)

Найдём распределение скоростей по контуру цилиндра. Для этого достаточно найти тангенциальную составляющую , так как скорость направлена по касательной к линии тока, а радиальная составляющая скорости на контуре цилиндра равна нулю. Поэтому

Знак «минус» указывает, что скорость направлена в сторону, противоположную направлению отсчёта углов . Распределение скоростей по развёртке полуокружности (верхней и нижней) имеет вид отрезка синусоиды. Скорости в точках А и В – так называемых точках разветвления (критических точках) – при и равны нулю. Максимум скорости достигается на пересечении поверхности цилиндра с осью ординат

. (Д.2.18)

Задача Д.2.3. применяя зависимость (Д.2.16), построить линии тока для случая обтекания цилиндра при следующих данных: r=3 см, см/с. Построить кривую распределения скорости на осевом сечении цилиндра от его поверхности (по вертикали от точки С, рис. Д.2.6).

Теоремы о вихрях

Векторы вихря образуют векторное поле, в котором могут быть найдены векторные линии и векторные трубки.

Линия, в каждой точке которой вихри вектора скорости (rot ) или векторы угловых скоростей вращения частиц касательных к ней, называется вихревой линией. Уравнение вихревых линий, по аналогии с линией тока, будет

. (Д.3.1)

Если в пространстве, заполненном вихрями, взять некоторый замкнутый контур (не являющийся вихревой линией) и через каждую точку этого контура провести вихревые линии, то образуется вихревая поверхность. Часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, называется вихревой трубкой. Когда замкнутый контур бесконечно мал, вихревая трубка называется элементарной.

Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Напомним связь между вектором вихря скорости rot и вектором угловой скорости вращения

введем представление о потоке вектора вихря скорости

и учтём известный из векторного анализа факт, что поток любого вектора через любую замкнутую поверхность, внутри которой нет особенностей, равен нулю.

Поэтому и поток вектора вихря по любой замкнутой поверхности тоже равен нулю, т.е.

. (Д.3.2)

Рис. Д.3.1

Выделим в вихревой трубке, рис. Д.3.1, некоторую замкнутую поверхность, образованную двумя любыми поперечными сечениями S₁и S₂ и боковой поверхностью S₀.

Так как поток вихря по боковой поверхности равен нулю, то согласно формуле (Д.3.2)

. (Д.3.3)

Из предыдущего равенства вытекает свойство вихревых трубок, известное в кинематике как вторая теорема Гельмгольца: поток вектора вихря скорости через любое поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянный вдоль всей трубки.

Из этой теоремы следует, что поток вихря есть величина, характерная для всей вихревой трубки, поэтому поток вихря принимают за характеристику вихревой трубки и называют интенсивностью

. (Д.3.4)

В основной части вихревая трубка называлась вихревым шнуром, зависимость (10.1) эквивалентна (Д.3.4).

Если величина вихря постоянна по сечению вихревой трубки, то вторую теорему Гельмгольца можно записать в виде

. (Д.3.5)

Из этой формулировки вытекают важные следствия:

1. Сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, так как в этом случае скорость вращения частиц должна стать бесконечно большой, что физически невозможно;

2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность. К последнему типу вихрей относятся наблюдаемые в природе водяные и воздушные смерчи.

Рис. Д.3.2

При рассмотрении вихревых движений важное значение имеет понятие циркуляции. Она представляет собой криволинейный интеграл по произвольному замкнутому контуру l от скалярного произведения вектора скорости

на бесконечно малый элемент контура

,
рис. Д.3.2.

, (Д.3.6)

где через U_l обозначена касательная составляющая скорости, а – элемент длины контура.

В соответствии с (Д.3.6) размерность циркуляции , т.е. та же, что и интенсивности.

Рис. Д.3.3

Связь между циркуляцией и интенсивностью устанавливается теоремой Стокса. Рассмотрим поток вектора вихря

через произвольную незамкнутую поверхность S, рис. Д.3.3, обозначив через l замкнутый контур, на который опирается эта поверхность. Теорема Стокса (приводимая здесь без доказательства) устанавливает такую связь

(Д.3.7)

и формулируется так: поток вектора вихря через произвольную незамкнутую поверхность равен циркуляции скорости по контуру, на который опирается эта поверхность.

Следовательно, согласно теореме Стокса, интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру площади её поперечного сечения S. Если считать, что вне вихревой трубки жидкость не завихрена ( ), то контур l сечения вихревой трубки можно деформировать в произвольный контур l₁, находящийся в жидкости и охватывающий вихревую трубку.

Задача Д.3.1. Определить, является ли турбулентное течение в круглой трубе вихревым, если скорость по сечению распределяется по закону

где U – скорость жидкости в точке, удалённой на расстояние r от оси трубы; – радиус трубы; – некоторая скорость.

Решение. Направляем оси декартовой системы координат так, чтобы ось абсцисс (OX) совпадала с осью трубы. Тогда расстояние от оси трубы до рассматриваемой точки определится так

и проекции скорости будут такие

, .

Имеем также

Применяя зависимости (9.5), получаем окончательно

Таким образом, турбулентное течение в круглой трубе является вихревым.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика: учеб. пособие для вузов. / Д.В. Сивухин. М.: Наука, 1974. 520 с.

2. Повх И.Л. Техническая гидромеханика: учеб. пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. / И.Л. Повх. Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1976. 504 с.

3. Рауз Х. Механика жидкости / Х. Рауз. М.: Изд-во литературы по строительству, 1967. 390 с.

4. Калякин А.М. Кинематика: конспект лекций / А.М. Калякин. Саратов, 2001. 50 с.

5. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н.А. Слезкин. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. 520 с.

6. Альтшуль А.Д. Гидравлика и аэродинамика / А.Д. Альтшуль, П.Г. Киселёв. М.: Стройиздат, 1975. 320 с.

7. Киселёв П. Г. Гидравлика. Основы механики жидкости. М.: Энергия, 1980. 360 с.

8. Штеренлихт Д.В. Гидравлика: учебник для вузов / Д.В. Штеренлихт. М.: Наука, 1984. 640 с.

9. Смыслов В.В. Гидравлика и аэродинамика: учебник для вузов / В.В. Смыслов. Киев: Высшая школа, 1979. 336 с.

10. Войткунский? Гидромеханика /? Войткунский, Ю.И. Фадеев, К.Н. Федяевский. М.: Судостроение, 1982. 456 с.

11. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. 2-е изд., перераб. и доп. / Б.Т. Емцов. М.: Машиностроение, 1987. 440 с.

12. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика / Н.Я. Фабрикант. М.: Наука, 1964. 816 с.

13. Яблонский В.С. Краткий курс технической гидромеханики: учеб. пособие для вузов / В.С. Яблонский. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. 356с.

14. Самойлович Г.С. Сборник задач по гидромеханике / Г.С. Самойлович, В.В. Нитусов. М.: Машиностроение, 1986. 152 с.

15. Патрашев А.Н. Прикладная гидромеханика / А.Н. Патрашев, Л.А. Кивако, С.И. Гожий. М.: Воениздат, 1970. 688 с.

Оглавление

Введение. .................................................................................................. 3

1. Основные определения. .................................................................. 4

1.1. Два метода изучения движения жидкости............................... 4

1.2. Установившееся и неустановившееся движение.................. 6

1.3. Линии тока. Свойство линий тока............................................. 6

1.4. Трубка тока. Элементарная струйка........................................ 8

1.5. Потоки равномерные и неравномерные, напорные

и безнапорные.............................................................................. 8

1.6. Пространственнее и плоские (двумерные) потоки................ 9

2. Ускорение жидкой частицы. ......................................................... 10

3. Уравнение неразрывности для элементарной струйки. ..... 11

4. Элементы потока. ............................................................................ 13

5. Уравнение неразрывности для потока. .................................... 14

6. Средняя скорость. Изменение скорости вдоль потока. ...... 15

7. Уравнение неразрывности в дифференциальной форме. 18

8. Общий характер движения жидкой частицы. .......................... 19

9. Потенциальное движение. ............................................................ 20

9.1. Условия существования потенциального движения.

Потенциал скорости.................................................................. 21

9.2. Уравнения Лапласа для потенциала скорости.................... 23

10. Вихревые движения жидкости. .....................................................

Дополнительная часть. ..........................................................................

Д.1. Уравнения линий тока...................................................................

Д.2. Плоские течения.............................................................................

Д.2.1. Функция тока.......................................................................

Д.2.2. Сетка течения плоского потенциального потока

несжимаемой жидкости...............................................................

Теорема о вихрях. ....................................................................................

Литература. .................................................................................................

А.М. Калякин

Кинематика

2007

Учебное издание

Калякин Александр Михайлович

кинематика

Конспект лекций

по курсу «Гидравлика»

Редактор О.А. Панина

Компьютерная верстка Т.Н. Жиронкиной

Подписано в печать Формат 60´ 84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. Уч.-изд.л.

Тираж 100 экз. Заказ С

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

А.М. Калякин

Кинематика

Конспект лекций

по курсу «Гидравлика»

для студентов всех специальностей

Издание второе,

переработанное и дополненное

Саратов 2007

УДК

ББК

К 17

Рецензенты:

Кафедра высшей математики

Поволжского филиала Российского государственного

открытого технического университета путей сообщения

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики

Саратовского государственного аграрного университета им. Н.И. Вавилова

А.С. Кутин

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета

Калякин А.М.

К 17 Кинематика: конспект лекций. 2-е изд. / А.М. Калякин. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2007. 52 с.

ISBN 5-7433-

УДК

ББК

Ó Саратовский государственный

технический университет, 2007

ISBN 5-7433- Ó Калякин А.М., 2007

Введение

1. Основные определения. Виды движения

Два метода изучения движения жидкости

Метод Лагранжа. Для удобства исследования любой жидкий объем можно представлять состоящим из большого числа жидких частиц. Если учесть, что «частицы» должны заполнять пространство без промежутков, правильнее было бы сказать, что весь объём движущейся жидкости представляется разделённым воображаемыми перегородками на бесконечное множество объёмов (частиц). В соответствии с этим, когда возникает необходимость к изучению движения жидкой частицы, возможен такой же подход, как и к изучению движения точки в механике. Применяя этот метод, мы должны изучить движение каждой частицы жидкости, указывая её положение в пространстве в любой момент времени, используя ортогональную декартовую систему координат с осями ox, oy, oz. Для этого, прежде всего, необходимо найти способ отличить одну частицу от другой; с этой целью допустим, что в некоторый начальный момент времени t₀ интересующая нас частица находилась в точке с координатами x = a, y = b, z = c (они не меняются со временем). С течением времени, т. е. в последовательные моменты t ₁, t ₂, … t_n частица изменяет свое положение в пространстве, рис.1.1. Координаты её определяются уравнениями

, , , (1.1)

которые описывают траекторию движения заданной (изучаемой) частицы.

Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые движущаяся частица проходит в последовательные моменты времени.

Если известны уравнения (1.1), то скорость и ускорение частицы в любой момент времени находятся дифференцированием по времени и принципиальных затруднений на этом пути нет. При практическом применении метод Лагранжа встречает значительные трудности, так как для изучения всего потока необходимо знать уравнения типа (1.1) для каждой частицы, что на самом деле практически невозможно. Метод Лагранжа сравнительно редко применяется в механике жидкости и газа, например, при изучении волновых движений.

Метод Эйлера. При применении метода Эйлера определяют, какие значения имеют различные параметры потока (скорость, давление, ускорение и т. д.) в каждой точке пространства. Если взять различные точки и фиксировать время , то при этом в пространстве можно получить мгновенную картину распределения скоростей жидкости – векторное поле скоростей. Фактически в каждой точке будет указан вектор скорости той частицы жидкости, которая проходит через эту точку в рассматриваемый момент времени.

На рис. 1.2 приведены примеры распределения скоростей в трубе, рис. 1.2, а и в открытом канале, рис. 1.2, б.

При применении метода Эйлера все векторные и скалярные величины рассматриваются как функции координат и времени. Например, скорость в точке может быть представлена в виде вектора

(1.2)

или в виде его проекций на оси декартовой системы

, , . (1.3)

Принципиальное различие между методом Лагранжа и методом Эйлера состоит в том, что в методе Лагранжа координаты частиц представляются как функции времени, а в методе Эйлера скорости частиц являются функциями координат и времени. Поэтому в методе Эйлера координаты x, y, и z являются независимыми переменными, а в методе Лагранжа они являются зависимыми. В дальнейшем, если не сделано специальных оговорок, применяется метод Эйлера для описания движения жидкости.

Задача 1.1. Выполнить переход от метода Лагранжа к методу Эйлера.

Решение. По методу Лагранжа движение жидкости определяется системой (1.1). Найдём скорости , , и , дифференцируя уравнение (1.1) по времени.

Результат будет таким

, , .

Для того, чтобы выразить a, b и c через x, y и z, система (1.1) решается относительно a, b и c и эти зависимости подставляются в только что полученную дифференцированием по времени систему. В результате напишем уравнения движения в координатах x, y, z и t

, , .

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 368; Нарушение авторского права страницы