Изменение скорости вдоль потока

Жидкости по-разному взаимодействуют с поверхностью, с которой они соприкасаются. Например, вода прилипает к чистой поверхности стекла или, как говорят, смачивает стекло. Однако та же вода не смачивает стекло, покрытое слоем жира или масла; ртуть не смачивает стекло. Так как обычно используют металлические трубопроводы, а в открытых каналах стенки земляные или бетонные, по которым подают обычные жидкости – воду, жидкие топлива, нефть – везде в дальнейшем считаем, что поверхность трубы смачивается текущей в ней жидкостью. При смачивании тончайший слой жидкости, непосредственно соприкасающейся со стенкой, как бы прилипает к ней и, следовательно, при общем движении жидкости фактически остаётся неподвижным. По этому слою медленно скользит следующий слой, по нему, чуть быстрее, другой слой, по тому, ещё быстрее, третий и т.д. Таким образом, скорость жидкости, по мере перехода от каждого слоя к следующему, нарастает, достигая максимума в центре сечения трубы или на поверхности открытого канала. Такое представление удобно для начального понимания гидравлических закономерностей; в действительности отдельных слоёв жидкости не существует и скорость изменяется непрерывно. Закон изменения скорости по сечению трубы зависит от режима движения и во многих случаях очень сложен. Для решения большинства задач гидравлики достаточно знать среднюю скорость потока  однозначно определяющую расход и многие другие гидравлические величины. Для нахождения  усредним скорость по всей площади сечения (т.е. выполним обычную операцию усреднения). При этом средняя скорость определяется так        

                                      (6.1)

Из (6.1) следует, что

.                               (6.2)

Таким образом, средняя скорость определяется как частное величин Q и S (в дальнейшем  будем обозначать как V)

.                                         (6.3)

Уравнение (5.2) можно теперь записать так

,                                   (6.4)

а уравнение постоянства массового расхода

.                        (6.5)

Выберем два любых сечения 1 и 2 в потоке, рис. 6.1, тогда для расходов Q₁ и Q₂ в них

или            

.             (6.6)

Если уравнение неразрывности записать для нескольких сечений, то оно будет иметь вид

.            (6.7)

Пример 6. 1. Представим, что поставлена задача определить среднюю скорость V воды в водопроводной трубе диаметром d = 15 мм при полном открытии крана. Среднюю скорость определим по формуле

и поэтому вначале измерим расход воды объёмным способом. В процессе измерения набрали в мерную ёмкость 2, 7 литра за 15 секунд и определили расход по формуле

.

Затем определили среднюю скорость V

Замечание 6.1. Для потока, изображенного на рис.6.1, вопрос «в каком сечении расход больше – в узком или широком? » не имеет смысла, так как расход согласно (6.4) в любом сечении одинаковый, чего нельзя сказать о средней скорости. Очевидно, что если Q = const, то и =const: поэтому где площадь сечения больше, там скорость меньше и наоборот.

Замечание 6.2. Зависимости (5.2), (6.4), (6.6) и (6.7) являются различными формами записи уравнения неразрывности для потока и применимы к его осреднённым характеристикам. Равенство (6.6), основываясь на свойстве пропорции, возможно представить так

Из него следует, что отношение средних скоростей обратно пропорционально отношению площадей. Для круглой трубы площадь сечения  и поэтому скорости в сечениях относятся обратно пропорционально квадратам диаметров.

Пример 6.2. а) Если диаметр трубы увеличить в 2 раза, то средняя скорость в этом сечении уменьшится в 4 раза; б) если диаметр трубы в данном сечении уменьшить в 3 раза, то средняя скорость в этом сечении увеличится в 9 раз.

Задача 6.1. Определить массовый расход горячей воды в трубопроводе с внутренним диаметром , если известно, что средняя скорость воды , а плотность r = 920 кг/м³.

Решение. Массовый расход определяем по формуле

.

Площадь живого сечения равна

окончательно

Задача 6.2. Скорость в сечении 1 круглой трубы диаметром  равна

; найти скорость  в сечении 2 при расширении трубы. Диаметр  во втором сечении в 3 раза больше, чем диаметр в сечении 1.

Решение. Расход в обоих сечениях одинаковый и согласно уравнению (5.6) имеем

.

Подставляя в последнее равенство выражения для площади сечения, получим

 или .

Последнее равенство можно представить в виде

,

т.е. скорости обратно пропорциональны квадратам диаметров. Подставляя числовые значения, получим окончательно

.

Уравнение неразрывности

В дифференциальной форме

Очевидно, что в любой точке внутри потока жидкость не возникает и не исчезает, поэтому можно считать что в любой точке должны выполняться определённые соотношения, содержащие скорость и выражающие закон сохранения массы. Для вывода уравнения такого рода представим внутри потока воображаемую неподвижную замкнутую поверхность, через которую может свободно протекать жидкость. Положительное направление нормали ориентировано внутрь поверхности, рис. 7.1. Любой бесконечно малый элемент  этой поверхности, ввиду его малости можно рассматривать как плоскую площадку и скорость в её пределах считать неизменной. Кроме того, на каждой площадке определён вектор нормали  к ней. Составим для каждого элемента поверхности  произведение

,

которое можно представить как

,

где  – проекция скорости на нормаль к площадке. Последнее произведение является, по определению, расходом жидкости через площадку , т. е.

.

Припишем величине  знаки (-) или (+) в зависимости от направления векторов  и  (противоположные или одноимённые), т.е. втекает жидкость внутрь поверхности (+) или вытекает из неё наружу (-). Если рассматривать однородную несжимаемую жидкость, то объём втекающей внутрь поверхности жидкости за любой промежуток времени равен объёму жидкости, вытекающей из неё. Суммарный расход через поверхность тогда, очевидно, будет равен нулю, т. е.

.                                           (7.1)

Применяя теорему Гаусса-Остроградского к рассматриваемой замкнутой поверхности , получим

.                           (7.2)

Подставляя (7.1) в (7.2) получим

.                                   (7.3)

Так как поверхность  была выбрана произвольно и никаких ограничений сделано не было, то из (7.3) следует, что

                                   (7.4)

в каждой точке объёма .

В декартовой системе координат зависимость (7.4) будет иметь вид

.                        (7.5)

Уравнение (7.5) представляет собой уравнение неразрывности в дифференциальной форме; оно должно выполняться в каждой точке потока несжимаемой жидкости и накладывает, таким образом, ограничения на компоненты ,  и  вектора скорости. Заметим для сравнения, что при движении материальной точки (в классической механике) никаких ограничений на её скорость не накладывается, в то время как в любой точке потока несжимаемой жидкости такое ограничение существует в виде уравнения (7.5).

Задача 7.1. Может ли существовать поток несжимаемой жидкости, поле скорости которого описывается вектором  с компонентами

,

где  – постоянный коэффициент, введённый, в частности, для сохранения размерности скорости?

Решение. В каждой точке потока несжимаемой жидкости обязательно должно выполняться уравнение неразрывности (7.5). Вычислим частные производные

.

Следовательно, в данном случае уравнение неразрывности выполняется в каждой точке и поток с заданными компонентами скорости существует.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: