Функція декількох змінних

Нехай D – довільна множина точок на площині R ² або в просторі R ³. Якщо кожній точці  поставлено у відповідність за деяким правилом “f” число u, то говорять, що на множині D задана функція . Оскільки кожна точка однозначно визначається своїми координатами, то  (якщо D R ²) або  (якщо D R ³), і ми приходимо до поняття функції відповідно двох або трьох змінних. Множина D називається областю визначення функції, а x, у, z – незалежними змінними.

Функція двох змінних  має геометричне зображення – графік, який складається з усіх точок (x; у; z) R³ таких, що (x; у) D, а . Як правило, графік функції – деяка поверхня (мал. 1). Функція повністю визначається завданням свого графіка.

 

ГРАНИЦЯ і НЕперервність функції двох змінних

Нехай функція  визначена в деякому околі точки .

Ок олом точки R² називається будь-яке к оло з центром в точ ці , а ок олом точки R³ – будь-яка куля з центром в точ ці .

Позначимо через  – відстань між точками  та ,

.

Говорять, що точка P наближається до точки , якщо в процесі зміни координат точки P(x; y) , що можливе тоді і тільки тоді, коли одночасно .

Число B називається границею функції , при

,

якщо , коли .

Функція  називається неперервною в точці P о, якщо визначено значення , і

.

Функція називається неперервною в області R² , якщо вона неперервна в кожній точці D.

Визначення границі та неперервності функції декількох змінних аналогійні цим поняттям для функції однієї змінни. Тому справедливі всі правила граничного переходу, та всі елементарні функції декількох змінних неперервні в своїх природних областях визначення. Значить, можна переходити до границі під знаком функції, якщо ця функція елементарна і визначена в деякому околі граничної точки.

Приклад 1: .

ЧАСТИННІ похідні

Нехай  – функція двох змінних. Зафіксуємо одну із змінних, наприклад у, а другій надамо приріст . Частинним приростом функції за змінною x називається величина . Аналогійно визначається частинний приріст за змінною у: .

Якщо приріст отримують обидві незалежні змінні, то різниця  називається повним приростом функції.

Частинною похідною від функції двох змінних  за змінною x (позначається  або ) називається границя відношення частинного приросту функції за змінною x до приросту цієї змінної  при умові :

,

тобто похідна цієї функції, обчислена в припущенні, що інша змінна у фіксована.

Аналогійно визначається частинна похідна за у (x вважаємо фіксованим):

.

Приклад 2.

Частинні похідні функцій більш ніж двох змінних обчислюються в припущенні, що всі змінні фіксовані, окрім однієї, за якою і обчислюється похідна.

Приклад 3.    ,

Диференціал

Нехай функція  визначена в околі точки , точка  лежить в цьому околі та  – відстань між точками  і .

Якщо повний приріст  функції  м іж точками та  може бути представлено у вигляді

,

де  і  обчислюються в точці , а – нескінченно мала, коли (тобто коли ), то функція  називається дифференційовною в точ ці , а вираз

називається повним диференціалом функції .

Оскільки прирости незалежних змінних x, у співпадають з їх диференціалами , , то

ТЕОРЕМА. Достатня умова диференційовності.

Якщо функція  має в деякій області  неперервні частинні похідні  й , то вона в цій області диференційовна.

Такі функції називаються неперервно диференційованими.

Для функції трьох змінних  диференціал

(1)

Приклад 4.

.

Частинні похідні неперервні при всіх (x; у; z), тому функція диференціюєма в кожній точці площини і її повний диференціал за формулою (1) дорівнює

.

Похідні складних функцій

a) Нехай , де u=u(x), v=v(x), тобто  – складна функція однієї змінни x. Тоді

(2)

Приклад 5. , де . Обчислимо .

, за формулою (2) маємо

.

б) Нехай , де u=u(x; у), v=v(x; у), тобто  – складна функція двох змінних. Тоді її частинні похідні

(3)

Приклад 6. , де . Обчислимо .

За першою з формул (3) маємо

Обчисліть  самостійно.

в) Формули (2), (3) легко розповсюджуються на випадки функцій більш ніж двох змінних. Наприклад, якщо , де u=u(x), v=v(x), w=w(x), то

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: