П. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ

П. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

С ЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Теория вероятности не достигла бы такого расцвета и не была бы столь широко используема, если бы она занималась только случайными событиями. Вторым не менее важным объектом изучения в теории вероятности является случайная величина ( сл. величина ).

С точки зрения функционального анализа случайная величина представляет собой обычную числовую функцию, заданную на пространстве элементарных исходов Ω и измеримую относительно борелевской σ -алгебры и

Дадим формальное определение сл. величины.

Определение. Пусть (Ω, F, P) – некоторое вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция ξ, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число . Случайные величины принято обозначать греческими буквами , …. или большими латинскими буквами X, Y, Z, …

Термин «измеримая» означает, что для любого множества B из борелевской σ –алгебры все множества , то есть являются событиями.

Напомним, что σ –алгебра на прямой – это множество, которое включает в себя все открытые и замкнутые интервалы на R – промежутки, обозначают их в общем виде как .

Отметим еще, что σ –алгебра борелевских множеств не является единственной σ –алгеброй на прямой. Ее применение в теории вероятности удобно, потому что если измеряется случайная величина ξ, то основной вопрос, интересующий экспериментатора, это вопрос о том, с какой вероятностью эта сл. величина принимает то или иное свое значение, и всегда можно дать ответ на вопрос имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку }.

Чтобы получить ответ на этот вопрос, любой промежуток целесообразно представить в виде алгебраической суммы конечного числа промежутков определенного вида, а именно промежутков вида . Приведем для каждого из видов промежутков эти алгебраические суммы:

и, наконец,

Для любого промежутка имеет место включение тех промежутков, в виде разности которых он представим. Поэтому применимо следствие из свойства Р3 вероятностей: Р{ξ попала в промежуток }=Р{ξ попала в промежуток } – Р{ξ попала в промежуток }. Следовательно, целесообразно отвечать не на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку }, а отвечать на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит промежутку }? Зная ответ на второй вопрос, будем знать ответ и на первый.

Итак, будем рассматривать события ,

. Обычно используют один из более коротких вариантов записи события : =

= , чаще всего последний вариант: .

Функция распределения.

Важнейшей характеристикой сл. величины является ее функция распределения.

Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события , то есть

(2.1)

Функция распределения случайной величины есть самое полное описание случайной величины, т.к. функция распределения порождает вероятностную меру на измеримом пространстве (R , ) (см. ниже свойства функции распределения). В дальнейшем, где это не будет приводить к недоразумениям, индекс ξ в обозначении функции распределения будем опускать: вместо будем писать просто

Основные свойства функции распределения.

F1. .

Это свойство очевидно, поскольку F(x) – вероятность.

F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если , то .

Результат следует из того факта, что событие входит в событие при условии . Тогда по свойству Р3 вероятностей или .

F3. .

Событие – невозможное событие, поэтому

= . Событие – достоверное событие, поэтому

F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.

Пусть возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Докажем, что . Рассмотрим события = {ξ < }, = {ξ < }, …, . Очевидно, что , n≥ 1, следовательно, последовательность монотонная и ее предел .

Рассмотрим |используем аксиому непрерывности А4| .

F5. .

Событие есть объединение двух несовместных событий и . По свойству Р7 вероятностей из условия следуют соотношения

F6. Р{ξ ≤ х}=F(x+0).

По определению , где – убывающая последовательность, , т.е. Множество , обозначение введено при доказательстве свойства F4. Тогда

F7. Р{ξ =х}= F(x+0)– F(x).

Так как = – и , то = – = |следствие свойства Р3 вероятностей| = =F(x+0)– F(x).

На основании свойств F1÷ F7 могут быть получены важные для практических целей (вместе со свойством F5) результаты, а именно:

(2.2)

причем

(свойство F7)

Докажем одно из равенств, первое, например. Так как , тогда

Итак, с любой случайной величиной ξ связана функция распределения F(x): неотрицательная, неубывающая, непрерывная слева функция, .

Обратное утверждение также имеет место. Любая неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая условию , является функцией распределения некоторой случайной величины ξ, то есть существует вероятностное пространство (Ω, F, P) и случайная величина ξ на нем, такая что .

Функция распределения F(х) является вероятностной мерой на борелевских множествах из она удовлетворяет всем аксиомам вероятности. Аксиома А1 выполняется в силу первого свойства функции распределения. Аксиома А2 выполняется в силу третьего свойства функции распределения. Справедливость аксиомы А3 легко показать, опираясь на определения функции распределения и несовместных событий борелевской σ –алгебры.

Замечание 1. Иногда за функцию распределения случайной величины ξ принимают вероятность события . Это ничего не изменит в наших рассуждениях, кроме очевидного изменения свойств F4 – F7 и в формулах (2.2), так как функция F(x) станет непрерывной справа (свойство F4).

Замечание 2. Можно ввести сл. события, порожденные конечным числом сл. величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, например, с помощью сл. величин ζ и η могут быть заданы события: , , , , и т.д.

Замечание 3. Можно ли утверждать, что сумма, разность, произведение, частное, если деление возможно, сл. величин также будут случайными величинами? На этот счет справедливо следующее утверждение [1]. Пусть – измеримое пространство. Сложная функция является F – измеримой, если ξ – F–измеримая функция, а функция φ – борелевская функция.

Борелевскими называются функции, заданные на действительной прямой, если они – измеримы (измеримы относительно борелевской σ –алгебры множеств в пространстве ).

Примерами борелевских функций являются все кусочно-непрерывные функции.

Следовательно, если имеются сл. величины ξ и η, то ξ +η, ξ η, являются также сл. величинами.

Пример 1.

Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать функцию распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.

Решение. Обозначим суммарный выигрыш игрока после двух бросаний монеты через S; возможные значения этой сл. величины -2, 0 и 2, вероятности, с которыми эти значения принимаются сл. величиной равны соответственно. Иначе говоря, распределение сл. величины S выглядит следующим образом:

S	-2	0	2
P	0.25	0.5	0.25

Тогда

Пример 2. Техническое устройство состоит из трех узлов, работающих независимо друг от друга. Первый узел отказывает с вероятностью 0.1, второй и третий – с равными вероятностями 0.3. Устройство выходит из строя, если откажет первый узел или второй и третий вместе. Производится испытание до первого отказа, но не более 4 раз. Случайная величина Х – число произведенных испытаний. Требуется найти ряд распределения и функцию распределения сл. величины Х.

Решение. Как следует из условия задачи сл. величина Х может принимать значения Вычислим вероятности : {отказал первый узел или первый узел не отказал, но отказали второй и третий узлы} {прибор не отказал в первом испытании, но отказал во втором испытании}= 0.82·0.18≈ 0.15;

{прибор не отказал в первых двух испытаниях, но отказал в третьем испытании}= {прибор не отказал в первых трех испытаниях}

Построим ряд распределения для сл. величины Х:

Х	1	2	3	4
Р	0.18	0.15	0.12	0.55

Найдем по формуле (2.4) функцию распределения

Рассмотрим некоторые дискретные случайные величины, с которыми будем работать в дальнейшем.

1. В качестве самой простой дискретной сл. величины рассмотрим случайную величину, принимающую единственное значение С. Очевидно, что это значение она принимает с вероятностью, равной единице. Тогда функция распределения сл. величины имеет вид:

2. Не менее простой дискретной сл. величиной является функция, называемая индикатором события А:

Рассмотрим сначала один из примеров использования функции . Пусть – дискретное вероятностное пространство и ξ – некоторая сл. величина, принимающая конечное множество значений . Если положить , то ξ можно представить в виде , где события образуют разбиение пространства Ω – они попарно не пересекаются и их сумма равна Ω (т.е. это полная группа событий – см. также п.1.8).

Ряд распределения сл. величины имеет вид:

	0	1
Р

Функция же распределения выглядит следующим образом:

Пример 3. Выпадение 6 очков при бросании игральной кости назовем событием А. Тогда сл. величина принимает значение 1, если выпадает 6 очков и 0 во всех остальных случаях. Ее ряд распределения имеет вид:

	0	1
Р

а функция распределения имеет вид .

3. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром , если ξ принимает только два значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1–p соответственно.

Ряд распределения этой сл. величины имеет вид

ξ	0	1
Р	Q	p

а функция распределения – .

Условное обозначение распределения Бернулли – . Тот факт, что сл. величина ξ имеет распределение Бернулли, обозначается символом: или .

4. Биномиальное распределение. Обратимся к схеме Бернулли. Пусть в этом эксперименте случайная величина ξ – число успехов в серии из n независимых испытаний. Тогда случайная величина ξ может принимать значения . Вероятность события ранее обозначалась нами как P(n, k), теперь мы её будем обозначать просто через . Итак,

. (2.5)

Формула (2.5) определяет распределение дискретной случайной величины, называемое биномиальным законом распределения с параметрами распределения n, p. Для краткости биномиальное распределение обозначают символом В(n, p): имеет место распределение (2.5).

На примере этого закона распределения рассмотрим более подробно, как по нему можно однозначно восстановить функцию распределения F(x). Поскольку , то для всех событие – невозможное, значит . Если , то событие состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых , следовательно, Если , то событие состоит из тех элементарных исходов ω, для которых или , следовательно , и т. д.

Наконец, при событие достоверное событие и Сведем результаты в одну формулу:

Очевидно, что описание случайной величины формулой (2.5) выглядит проще, чем описание ее с помощью функции распределения.

Пример 4. На зачете студент получил четыре задачи. Вероятность решить каждую задачу правильно равна 0.4. Пусть ξ – число правильно решенных задач. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. По содержанию задачи случайная величина ξ может быть описана биномиальным законом распределения, решенная правильно задача – успех. По формуле (2.5) , это ряд распределения сл. величины ξ. Однако, в реальной задаче, когда интерес представляют значения вероятностей , ряд распределения удобно представить таблицей

	0	1	2	3	4
P	0.1296	0.3456	0.3456	0.1536	0.0256

5. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Предполагается, что в каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р. Очевидно, что случайная величина ξ может принимать счетное множество значений k=0, 1, 2, 3, …, n, … Определим вероятность события . Если , то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1)–м испытании – успех. Как дальше будут развиваться события при изучении этой случайной величины нас не интересует. Элементарный исход выглядит в этом случае так: . Следовательно, Проверим равенство : .

Итак:

(2.6)

Случайная величина ξ с законом распределения (2.6) носит название случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром р. Для краткости закон распределения обозначают символом G(p).

Пример 5. Вероятность успешно провести физический опыт (получить ожидаемый эффект) равна 0.8. Пусть ξ – число “пустых” опытов, прежде чем экспериментатор получит ожидаемый эффект. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. ξ – дискретная случайная величина, имеющая геометрическое распределение. Формула (2.6) полностью описывает эту случайную величину при p=0.8, это ее ряд распределения. Изобразим его в виде таблицы:

	0	1	2	3	4	….
P	0.8	0.16	0.032	0.0064	0.00128	….

Замечание. В литературе по теории вероятностей случайную величину ξ – номер первого успеха в серии из n независимых одинаковых испытаний – также считают распределенной по геометрическому закону:

Пусть ξ имеет геометрическое распределение. Тогда:

Cвойство сл. величины, выражаемое полученным равенством, называется отсутствием последействия. Его можно интерпретировать следующим образом. Пусть длительность телефонного разговора есть целочисленная величина, и в начале каждой минуты с вероятностью р принимается решение разговор закончить и с вероятностью 1–р = q принимается решение разговор продолжать. Тогда полученное равенство означает, что условная вероятность того, что разговор будет продолжаться n+m минут, если известно, что он не закончился за n минут, совпадает с вероятностью того, что разговор будет продолжаться m минут. Среди дискретных сл. величин только геометрическое распределение обладает этим свойством.

6. Пуассоновское распределение. В разделе 1.11 мы встречались с формулой Пуассона, ее не надо путать с распределением Пуассона. Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями

(2.7)

где λ > 0 – параметр распределения Пуассона, это среднее значение сл. величины (см. п. 2.5). Обозначается распределение символом Ро(λ ).

Равенство выполняется:

Это распределение играет важную роль в теории надежности, теории массового обслуживания и т.д.

Пример 6. При работе аппарата возникают сбои. Количество сбоев за сутки – сл. величина ξ, распределенная по закону Пуассона или Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Определить вероятности событий A = {в течение суток произошел хотя бы один сбой}, В = {за двое суток не будет ни одного сбоя}.

Решение. Из условия задачи и замечания к формуле (2.7) следует, что λ =1.5,

7. Гипергеометрическое распределение. С этим распределением мы уже встречались – см. примеры 17, 40 раздела 1.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть имеется случайная величина с плотностью вероятности и имеется некоторая функция сл. величины : . Ставится задача нахождения закона распределения сл. величины

1. Рассмотрим сначала случай, когда – непрерывная и монотонная функция. Непрерывность функции означает измеримость (см. замечание 3 п. 2.1), а монотонность – существование обратной функции , также непрерывной и монотонной того же типа монотонности, что и функция .

Сначала найдем функцию распределения случайной величины η: (полагаем функцию неубывающей)= . Полученное равенство продифференцируем по y, получим .

Если невозрастающая функция, то вычисления дают следующий результат:

Запишем результат вычисления производной функции F(g(y)) для того и другого типа монотонности функции одним выражением: Тогда

(2.11)

где , если .

Замечание. Для вычислений можно не вводить обозначения g(y) обратной функции, можно вместо x=g(y) писать соотношение: , тем самым полагая, что сл. величина ξ принимает значения х, а сл. величина η – значения y, и эти величины связаны соотношением y=φ (x), тогда формула (2.11) примет вид: .

Пример 12. Случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону с параметром λ ( ), η = –lnξ. Найти .

Решение. Плотность распределения сл. величины ξ известна: , если x≥ 0, и , если х < 0. Функция η – непрерывная, убывающая, обратная функция существует и имеет вид: . Для значений этих случайных величин получим аналогичные соотношения: иначе

По формуле (2.11) (точнее, по замечанию к ней) запишем выражение для :

2. С нимем с функции φ (x) условие монотонности, пусть φ – произвольная непрерывная функция. Тогда, если уравнение y=φ (x) имеет конечное число корней

, то событие представимо в виде , здесь и – те две соседние точки, являющиеся корнями уравнения y=φ (x), между которыми выполняется соотношение φ (x)< y, при этом функция y=φ (x) в правосторонней окрестности точки убывает, в левосторонней же окрестности точки возрастает. Обозначим множество таких точек ( и для различных значений k) через Κ. Для функции распределения на интервале получим выражение

Согласно формуле (2.11), в каждой точке и концов интервала для функции имеем соотношения и , следовательно, для всех точек , получаем

(2.12)

Пример 13. Пусть случайная величина распределена по закону Коши, , , . Найти .

Решение. , тогда

Итак, , .

При решении задачи мы повторили схему вывода формулы (2.12), можно было просто сразу этой формулой воспользоваться: решаем уравнение , при этом , тогда

Решение.

, где – плотность распределения стандартной нормальной случайной величины и по свойству 2 плотностей распределения . Первое слагаемое после замены переменных равно нулю как интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции. Итак, , откуда и пошло название параметра m – среднее значение (второе название математического ожидания).

Пример 16. Вычислим математическое ожидание случайной величины , имеющей гамма-распределение.

Решение.

Пример 17. Распределение Коши не имеет математического ожидания. Действительно, .

Замечание. Если математическое ожидание сл. величины равно нулю, то такая сл. величина называется центрированной сл. величиной.

Свойства математического ожидания.

Рассмотрим самые простые свойства, полезные при решении задач. По сути, все свойства математического ожидания – это свойства интеграла Лебега.

М1. , если С–const.

Согласно формуле (2.13) получим .

M 2. .

М3. .

М4. , если и – независимые случайные величины.

Доказательство проведем позднее (гл.III, пример 11).

М5. Если с вероятностью 1 , то .

; .

В частности, если: 1 ) с вероятностью 1, то ; с вероятностью 1, то

М6. .

Результат опирается на известное интегральное неравенство .

М7. – неравенство Шварца.

Рассмотрим сл. величину λ ξ + η:

квадратный трехчлен неотрицателен относительно λ, следовательно, его дискриминант не положителен:

М8. Если , то .

Справедливость утверждения следует из формулы (2.16):

Свойства дисперсии.

D1. если .

D2.

D3. , если величины независимы.

Рассмотрим выражение По свойству математического ожидания , если независимы – это с одной стороны; с другой стороны

Следствия. 1) ; 2) ,

D4. Действительно, рассмотрим равенства

Пример 20. Вычислить дисперсию сл. величины из примера 16.

Решение. Для вычисления дисперсии сл. величины, имеющей –распределение, воспользуемся свойством D4.

Из примера 16 возьмем величину

Замечание. Если сл. величина имеет математическое ожидание, то дисперсия всегда определена, но может принимать значение, равное ∞.

Пример 21. Пусть функция плотности распределения сл. величины ξ задана формулой

В точках –2, –1 и 2 функция f(x) имеет разрывы. Всем свойствам плотности вероятностей функция удовлетворяет, в частности,

–конечной дисперсии нет.

Упражнение. Получить выражения для математических ожиданий и для дисперсий всех случайных величин, описанных выше в этом разделе, исключая распределение Вейбулла и гамма-распределение.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Метод характеристических функций был создан А.М. Ляпуновым для доказательства центральных предельных теорем, что и будет продемонстрировано в гл. 4 при доказательстве некоторых предельных теорем. В дальнейшем метод стал применяться для решения других вероятностных задач. В этом разделе мы рассмотрим только определение характеристических функций и некоторые из основных свойств характеристических функций, благодаря которым они находят широкое применение в теории вероятностей.

Определение. Характеристической функцией скалярной сл. величины называется функция:

(2.24)

Первая формула в (2.24) есть ничто иное как преобразование Фурье функции f(x), следовательно, закон распределения, в частности функция распределения , однозначно определяют характеристическую функцию . Верно и обратное утверждение: характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения . Последнее утверждение может быть сформулировано в виде теоремы:

Теорема (единственности). Пусть F и G две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию. Тогда F = G.

Явное выражение функции распределения F через характеристическую функцию g дает так называемая формула обращения. Она представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье.

Теорема (формула обращения). Пусть F – функция распределения сл. величины и g – ее характеристическая функция. Тогда

а) для любых двух точек x и y, x> y, в которых функция F непрерывна, имеет место соотношение

; (2.25)

б) если , то функция распределения F имеет плотность распределения f и

(2.26)

Формула (2.25) справедлива и в точках разрыва функции F, если считать, что в этих точках .

Интеграл (2.26), если не выполняется условие б) теоремы, понимается в смысле главного значения.

Пример 26. Вычислить характеристическую функцию экспоненциально распределенной сл. величины.

Решение. Случайная величина x распределена по экспоненциальному закону, следовательно, , параметр распределения. Тогда

Пример 27. Вычислить характеристическую функцию нормально распределенной сл. величины.

Решение. Пусть x – стандартная нормальная сл. величина, Тогда

Итак, для нормального стандартного закона распределения

Пусть теперь параметры нормального закона распределения равны m и s, тогда

Итак, – так выглядит характеристическая функция нормально распределенной сл. величины с параметрами m и s.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

Для дискретных сл. величин вместо характеристических функций более эффективны производящие функции вероятностей.

Определение. Производящей функцией вероятностей или просто производящей функцией для дискретно распределенной сл. величины ξ называется функция

(2.27)

Отметим три важных для практических целей свойства производящих функций:

1. Если производящие функции двух сл. величин совпадают, то совпадают и распределения этих сл. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые сл. величины, то производящая функция произведения этих сл. величин равна произведению производящих функций сомножителей.

Ценность производящих функций заключается в связях производных этой функции с математическими ожиданиями и дисперсиями сл. величин – свойство 2. Так как , а , то

(2.28)

Пример 29. Пусть ξ имеет биномиальный закон распределения. Найти р(u).

Решение. Знаем, что биномиальный закон распределения сл. величины задается соответствием

Согласно формуле (2.27) запишем .

Зная производящую функцию достаточно просто найти и : Тогда

Пример 30. Пусть ξ имеет распределение Пуассона, требуется найти р(u).

Решение. Знаем, что распределение Пуассона – это соответствие По определению (см. раздел 2.2, п.6),

Пример 31. Пусть ξ имеет геометрическое распределение Найти р(u).

Решение. По определению . Далее,

Примеры показывают, что вычисление математического ожидания и дисперсии с помощью производящей функции намного проще, чем по формулам (2.16) и (2.17).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Дайте определение сл. величины. Приведите примеры сл. величин.

Сформулируйте определение дискретной сл. величины. Опишите все известные Вам способы задания дискретных сл. величин.

Какие сл. величины называются непрерывными?

Какую информацию о распределении заключает в себе функция плотности распределения?

Перечислите свойства плотности распределения.

Чему равна вероятность попадания сл. величины в точку? В область?

Может ли равняться нулю вероятность попадания значений сл. величины в заданный промежуток?

Что называют законом распределения сл. величин?

Запишите формулы, задающие законы распределения биномиальный, Пуассона, геометрический, гипергеометрический.

Как соотносятся между собой биномиальный закон распределения и закон Пуассона?

Запишите плотности вероятностей для равномерного, показательного, нормального законов распределения.

Чему равна вероятность попадания непрерывной сл. величины, имеющей нормальное распределение, в заданную область?

Когда нормальный закон распределения носит название стандартного?

14. Что такое числовая характеристика сл. величины?

15. Дайте определение математического ожидания, дисперсии, моды, медианы, начального, центрального и абсолютного моментов сл. величины.

16. Перечислите свойства математического ожидания, дисперсии.

ЗАДАЧИ

85. Возможные значения сл. величины Известны вероятности, с которыми она эти значения принимает: Найти .

86. Игральная кость бросается 3 раза. Написать ряд распределения числа появлений шестерки.

87. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события A в трех независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании равны 0.6.

88. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырёх наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить её график.

89. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Найти и построить график функции распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний.

90. Выразить через функцию распределения вероятности следующих событий:

91. Каким свойством должна обладать функция распределения F(x) случайной величины X, чтобы X и –X были одинаково распределены?

92. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0, 1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить её график.

93. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

	0	10	20	30	40	50
Р	0, 10	0, 20	0, 35	0, 20	0, 10	0, 05

1. Убедиться, что задан ряд распределения. 2. Найти функцию распределения.

3. Определить вероятность того, что более 20% людей откликнутся на рекламу.

94. Экзаменатор задаёт студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырёх либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.

95. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии составляет 0, 95. Во время аудиторской проверки были взяты два счёта. Какова вероятность, что только один из них оформлен правильно?

96. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнения потребителей по определённому типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителей интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает десять человек из всего населения. Чему равна вероятность, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?

97. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0, 5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0, 96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

98. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0.004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет обрыв на 5 веретенах.

99. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0.02. Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?

100. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно 5. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

101. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0.95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

102. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6 у.е. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 у.е.? Ниже 60 у.е. за акцию? Выше 40 у.е. за акцию? Между 40 и 50 у.е. за акцию?

103. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ = 0, 25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней?

104. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Чему равна функция распределения F(x) для этого равномерного распределения? Чему равна вероятность ожидания лифта более чем 3.5 мин? Чему равна вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 сек? Чему равна вероятность, что время ожидания лифта находится в диапазоне от 1 до 3 мин (между 1 и 3 мин)?

105. Найти математическое ожидание и дисперсию сл. величины, если а) P{x=m}= , m=0, 1, 2, …, б)P{x=m}= C_n^mp^mqⁿ^-^m, q=1–p, m= .

106. Найти Мx, Dx, если lnx имеет нормальное распределение с параметрами (a, σ ) (логарифмически нормальное распределение). Найти моду сл. величины Моx, а также отношение Мx к моде.

107. Некоторая совокупность людей имеет средний вес m и среднее квадратичное отклонение веса 3кг. Для m=60 и m=10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от m не больше чем на 5кг, если а) вес имеет нормальное распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное распределение.

108. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных независимых сл. величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

109. Испытывается устройство, состоящее из 4 независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р₁=0.3, р₂=0.4, р₃=0.5, р₄=0.6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

110. Неотрицательная сл. величина x имеет функцию распределения F(x)=P{x< x}. Доказать, что Мx= .

111. Cлучайная величина x задана функцией распределения F(x). Доказать, что если M|x|< , то Мx= .

112. Случайная величина x имеет непрерывную функцию распределения F(x). Показать, что сл. величина h=F(x) имеет равномерное распределение на [0, 1].

113. Пусть сл. величина x равномерно распределена на [0, 1], a функция, обратная к функции распределения (не обязательно непрерывной ). Доказать, что сл. величина имеет функцию распределения F(x).

114. Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Найти Мxcosx, M , Msinx.

115. Распределение случайной величины x определяется формулами P{x=k}=c/k(k+1), k=1, 2,... Найти а) с; б) P{x≤ 3}; в)

116. Случайная величина принимает только два значения: С и – C, каждое с вероятностью 0.5. Найти дисперсию этой величины.

117. Cлучайная величина имеет показательное распределение Найти

118. Из 30 чисел 1, 2, …, 30 по схеме равновероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел. Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел.

119. Найти , если x имеет: а) нормальное распределение; б) показательное распределение; в) равномерное на ; г) распределение Пуассона с Мx=0.09.

120. Случайная величина x имеет нормальное распределение с m=0 и σ =1. Какое из двух событий {|x|< 0, 7} и {|x|³ 0, 7} имеет большую вероятность?

121. Случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение. Что больше: ?

122. Плотность распределения сл. величины x задается формулами если х³ 1 и f_x(х)=0, если х< 1. Найти: а) с; б) плотность распределения сл. величины h=1/x; в) Р{0.1< h< 0.3}.

123. Некоторое насекомое с вероятностью откладывает k яиц, k=0, 1, 2, …, Вероятность развития потомка из яйца равна p. Какова вероятность того, что у насекомого будет ровно m потомков?

124. Пусть в условиях задачи 123 у насекомого развилось 10 потомков. Какова вероятность, что при этом было отложено 20 яиц?

125. Какова вероятность того, что значение случайной величины будет целым числом, если сл. величина распределена по нормальному закону?

126. Распределение случайной величины x определяется формулами{ Найти распределение сл. величин h= –x, h=|x|. Найти математическое ожидание и дисперсию сл. величин h= –x, h=|x|.

127. Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром a. Найти плотности распределений сл. величин

128. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 1]. Найти плотность распределения случайных величин

129. Случайная точка В имеет равномерное распределение на окружности а сл. точка С=(x, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через центр окружности и точку В. Найти функцию распределения и плотность распределения сл. величины x (распределение Коши).

130. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть h= . Найти закон распределения h.

131. Случайная величина x распределена нормально с параметрами (a, σ ). Найти: а) плотность распределения сл. величины h=x² при а=0; б) плотность распределения сл. величины h=e^x при произвольных a и σ.

132. Случайная величина x подчинена распределению с плотностью Найти плотность , если A и В – постоянные, A> 0.