Некоторые свойства характеристических функций.

1.  

Это свойство может быть переписано в виде  

Первое утверждение очевидно. Оценим величину  так как  

2. .    

.

                                                                          

3. Характеристическая функция является функцией действительного переменного тогда и только тогда, когда распределение F симметрично (то есть ).

4. Если существует абсолютный начальный момент порядка N,  то характеристическая функция сл. величины дифференцируема N раз, при этом    

Так как  то интеграл  равномерно по u сходится, значит, его можно дифференцировать: .  

Если k=1, то g¢ (u)=

Свойство 4 позволяет вычислять начальные моменты сл. величины x более просто, чем с помощью функции распределения: , N.

5.  Если существует и конечна производная характеристической функции  при некотором n, то . 

Тогда, согласно свойству 4, существуют моменты  всех порядков до N=2n включительно и .

6. Для того чтобы сл. величины ξ и η была независимы, необходимо и достаточно чтобы характеристическая функция суммы этих сл. величин была равна произведению их характеристических функций.

Благодаря именно этому свойству характеристические функции нашли такое широкое применение в ТВ. При суммировании независимых сл. величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки – формулы  неудобной для исследования. Гораздо проще рассмотреть произведение характеристических функций.

7. Если h = ax +b, то

Действительно, =

Замечание. Используя характеристическую функцию можно вычислять и дисперсию сл. величины: знаем, что , тогда . Так, для нормального стандартного распределения

,   как и следовало ожидать.

Пример 28. Рассмотрим независимые сл. величины x и h, распределенные по нормальному закону с параметрами  и соответственно. Тогда для сл. величин x и h их характеристические функции равны соответственно  По свойству 6 характеристических функций для сл. величины m=x+h характеристическая функция имеет вид  Но это характеристическая функция сл. величины, распределенной по нормальному закону с параметрами + и . В силу взаимно однозначного соответствия между функциями распределения и характеристическими функциями сл. величин можно утверждать, что сумма независимых нормальных сл. величин также распределена по нормальному закону с параметрами   и .

Интересно, что и обратное свойство имеет место: если сумма двух независимых сл. величин имеет нормальное распределение, то и слагаемые – нормально распределенные сл. величины.

 

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

 

Для дискретных сл. величин вместо характеристических функций более эффективны производящие функции вероятностей.

Определение. Производящей функцией вероятностей или просто производящей функцией для дискретно распределенной сл. величины ξ называется функция  

                                                (2.27)

Отметим три важных для практических целей свойства производящих функций:

1. Если производящие функции двух сл. величин совпадают, то совпадают и распределения этих сл. величин.

2. .

3. Если ξ и η – независимые сл. величины, то производящая функция произведения этих сл. величин равна произведению производящих функций сомножителей. 

Ценность производящих функций заключается в связях производных этой функции с математическими ожиданиями и дисперсиями сл. величин – свойство 2. Так как , а , то

                                             (2.28)

 

Пример 29. Пусть ξ имеет биномиальный закон распределения. Найти р(u).

Решение. Знаем, что биномиальный закон распределения сл. величины задается соответствием

 Согласно формуле (2.27) запишем .

Зная производящую функцию достаточно просто найти  и :  Тогда  

Пример 30. Пусть ξ имеет распределение Пуассона, требуется найти р(u).

Решение. Знаем, что распределение Пуассона – это соответствие  По определению  (см. раздел 2.2, п.6),

Пример 31. Пусть ξ имеет геометрическое распределение  Найти р(u).

Решение. По определению . Далее,

 

Примеры показывают, что вычисление математического ожидания и дисперсии с помощью производящей функции намного проще, чем по формулам (2.16) и (2.17).

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

Дайте определение сл. величины. Приведите примеры сл. величин.

Сформулируйте определение дискретной сл. величины. Опишите все известные Вам способы задания дискретных сл. величин.

Какие сл. величины называются непрерывными?

Какую информацию о распределении заключает в себе функция плотности распределения?

Перечислите свойства плотности распределения.

Чему равна вероятность попадания сл. величины в точку? В область?

Может ли равняться нулю вероятность попадания значений сл. величины в заданный промежуток?

Что называют законом распределения сл. величин?

Запишите формулы, задающие законы распределения биномиальный, Пуассона, геометрический, гипергеометрический.

Как соотносятся между собой биномиальный закон распределения и закон Пуассона?

Запишите плотности вероятностей для равномерного, показательного, нормального законов распределения.

Чему равна вероятность попадания непрерывной сл. величины, имеющей нормальное распределение, в заданную область?

Когда нормальный закон распределения  носит название стандартного?

14. Что такое числовая характеристика сл. величины?

15. Дайте определение математического ожидания, дисперсии, моды, медианы, начального, центрального и абсолютного  моментов сл. величины.

16. Перечислите свойства математического ожидания, дисперсии.

ЗАДАЧИ

 

85. Возможные значения сл. величины  Известны вероятности, с которыми она эти значения принимает:   Найти .

86. Игральная кость бросается 3 раза. Написать ряд распределения числа появлений шестерки.

87. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события A в трех независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании равны 0.6.

88. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырёх наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить её график.

89. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Найти и построить график функции распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний.

90. Выразить через функцию распределения вероятности следующих событий:

91. Каким свойством должна обладать функция распределения F(x) случайной величины X, чтобы X и –X были одинаково распределены?

92. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0, 1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить её график.

93. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

 

	0	10	20	30	40	50
Р	0, 10	0, 20	0, 35	0, 20	0, 10	0, 05

 

1. Убедиться, что задан ряд распределения. 2. Найти функцию распределения.

3. Определить вероятность того, что более 20% людей откликнутся на рекламу.

94. Экзаменатор задаёт студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырёх либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.

95. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии составляет 0, 95. Во время аудиторской проверки были взяты два счёта. Какова вероятность, что только один из них оформлен правильно?

96. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнения потребителей по определённому типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителей интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает десять человек из всего населения. Чему равна вероятность, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?

97. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0, 5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0, 96875, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

98. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0.004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет обрыв на 5 веретенах.

99. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0.02. Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?

100. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно 5. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

101. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0.95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.       

102. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6 у.е. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 у.е.? Ниже 60 у.е. за акцию? Выше 40 у.е. за акцию? Между 40 и 50 у.е. за акцию?

103. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ = 0, 25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней?                     

104. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Чему равна функция распределения F(x) для этого равномерного распределения? Чему равна вероятность ожидания лифта более чем 3.5 мин? Чему равна вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 сек? Чему равна вероятность, что время ожидания лифта находится в диапазоне от 1 до 3 мин (между 1 и 3 мин)?

105. Найти математическое ожидание и дисперсию сл. величины, если а) P{x=m}= , m=0, 1, 2, …, б)P{x=m}= C_n^mp^mq^n-m, q=1–p, m= .

106. Найти Мx, Dx, если lnx имеет нормальное распределение с параметрами (a, σ ) (логарифмически нормальное распределение). Найти моду сл. величины Моx, а также отношение Мx к моде.

107. Некоторая совокупность людей имеет средний вес m и среднее квадратичное отклонение веса 3кг. Для m=60 и m=10 определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от m не больше чем на 5кг, если а) вес имеет нормальное распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное распределение.

108. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных независимых сл. величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

109. Испытывается устройство, состоящее из 4 независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р₁=0.3, р₂=0.4, р₃=0.5, р₄=0.6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

110. Неотрицательная сл. величина x имеет функцию распределения F(x)=P{x< x}. Доказать, что Мx= .

 

111. Cлучайная величина x задана функцией распределения F(x). Доказать, что если M|x|< , то Мx= .

112. Случайная величина x имеет непрерывную функцию распределения F(x). Показать, что сл. величина h=F(x) имеет равномерное распределение на [0, 1].

113. Пусть сл. величина x равномерно распределена на [0, 1], a  функция, обратная к функции распределения (не обязательно непрерывной ). Доказать, что сл. величина  имеет функцию распределения F(x).

114. Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Найти Мxcosx, M , Msinx.

115. Распределение случайной величины x определяется формулами P{x=k}=c/k(k+1), k=1, 2,... Найти а) с; б) P{x≤ 3}; в)

116. Случайная величина принимает только два значения: С и – C, каждое с вероятностью 0.5. Найти дисперсию этой величины.

117. Cлучайная величина имеет показательное распределение  Найти

118. Из 30 чисел 1, 2, …, 30 по схеме равновероятного выбора без возвращения отбирается 10 чисел. Найти математическое ожидание  суммы выбранных чисел.

119. Найти , если x имеет: а) нормальное распределение; б) показательное распределение; в) равномерное на ; г) распределение Пуассона с Мx=0.09.

120. Случайная величина x имеет нормальное распределение с m=0 и σ =1. Какое из двух событий {|x|< 0, 7} и {|x|³ 0, 7} имеет большую вероятность?

121. Случайная величина x имеет стандартное нормальное распределение. Что больше: ?

122. Плотность распределения сл. величины x задается формулами если х³ 1 и f_x(х)=0, если х< 1. Найти: а) с; б) плотность распределения сл. величины h=1/x; в) Р{0.1< h< 0.3}.

123. Некоторое насекомое с вероятностью  откладывает k яиц, k=0, 1, 2, …,  Вероятность развития потомка из яйца равна p. Какова вероятность того, что у насекомого будет ровно m потомков?

124. Пусть в условиях задачи 123 у насекомого развилось 10 потомков. Какова вероятность, что при этом было отложено 20 яиц?

125. Какова вероятность того, что значение случайной величины будет целым числом, если сл. величина распределена по нормальному закону?

126. Распределение случайной величины x определяется формулами{  Найти распределение сл. величин h= –x, h=|x|. Найти математическое ожидание и дисперсию сл. величин h= –x, h=|x|.

127. Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром a. Найти плотности распределений сл. величин

128. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0, 1]. Найти плотность распределения случайных  величин

129. Случайная точка В имеет равномерное распределение на окружности  а сл. точка С=(x, 0) является пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через центр окружности и точку В. Найти функцию распределения и плотность распределения сл. величины x (распределение Коши).

130. Случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть h= .       Найти закон распределения h.

131. Случайная величина x распределена нормально с параметрами (a, σ ). Найти: а) плотность распределения сл. величины h=x² при а=0; б) плотность распределения сл. величины h=e^x при произвольных a и σ.

132. Случайная величина x подчинена распределению с плотностью  Найти плотность , если  A и В – постоянные, A> 0.

133. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром  = 2. Найти распределение случайной величины .

134. Случайная величина имеет плотность распределения . Найти распределение случайной величины

135. Найти  если X имеет стандартное нормальное распределение.

136. Вычислить момент k-го порядка  для сл. величины, имеющей равномерное распределение на [a, b].

 

                                                                                                                  

 

 

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: