МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Как было отмечено выше, описание случайной величины с помощью функции распределения или плотности распределения является самым полным, самым подробным. Но задачи получения закона распределения даже простейших функций случайных величин приводят к вычислениям сложных интегралов. Кроме того, эмпирическое (опытное) определение функции распределения случайной величины требует большого числа измерений (несколько сотен).

Поэтому возникает необходимость в описании случайных величин другим способом, пусть не таком полном и подробном, характеризующим только некоторые свойства случайных величин, но зато более простом.

Такое достаточно простое описание случайной величины дают числовые характеристики случайных величин. Они многочисленны и могут быть разбиты на группы. Здесь мы рассмотрим так называемые характеристики положения случайной величины. Характеристика положения – это число, около которого группируются значения случайной величины, оно является её наиболее типичным значением. Из всех характеристик положения важнейшей является математическо е ожидание случайной величины (иначе – среднее значение случайной величины).

Пусть – некоторое вероятностное пространство, и случайная величина, заданная на этом пространстве.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины называется число

(2.13)

Интеграл в правой части равенства понимается в смысле Лебега (по мере Лебега).

Для математического ожидания используются и другие обозначения, кроме обозначения , а именно: .

Для вычисления математического ожидания приведенная формула не годится. В работе [1] доказано соотношение

(2.14)

Правый интеграл в равенстве (2.14) – интеграл в смысле Лебега–Стилтьеса.

Доказательство этого соотношения опирается на тот факт, что случайная величина, заданная на вероятностном пространстве , индуцирует на измеримом пространстве вероятностную меру , при этом .

Пусть измеримая функция. Математическим ожиданием случайной величины называется число

(2.15)

На соотношение (2.15) следует обратить особое внимание! Не зная распределения случайной величины η, значение ее математического ожидания, тем не менее, вычислить можно, если имеет место соотношение .

Частные случаи.

1. – дискретная случайная величина с конечным или счетным множеством значений , которые она принимает с вероятностями .

(2.16)

Формула (2.16) справедлива, если сходится абсолютно ряд , т.е. , иначе полагают, что сл. величина не имеет математического ожидания.

2. Пусть теперь – непрерывная случайная величина. Тогда почти всюду на области определения сл. величины, тогда

(2.17)

Формула корректна, если , иначе математическое ожидание не существует.

Аналогичные выражения получим для

Поясним вероятностный смысл математического ожидания на примере дискретной сл. величины. Пусть в результате Ν независимых опытов для сл. величины Х получены значения: значений , значений , …, значений , . Рассмотрим среднее арифметическое этих значений . При этом число можно интерпретировать как относительную частоту события , и при большом числе испытаний Ν она близка к вероятности этого события. Поэтому среднее арифметическое приблизительно равно Отсюда и второе название для математического ожидания – среднее значение сл. величины.

Пример 14. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [a, b] случайной величины .

Решение. Поскольку , то формула (2.17) дает результат: совпадает с центром (серединой) отрезка [a, b].

Пример 15. Вычислим математическое ожидание случайной величины ξ, если имеет нормальное распределение с параметрами m и σ.

Решение.

, где – плотность распределения стандартной нормальной случайной величины и по свойству 2 плотностей распределения . Первое слагаемое после замены переменных равно нулю как интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции. Итак, , откуда и пошло название параметра m – среднее значение (второе название математического ожидания).