Определение и классификация случайных величин.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество Ξ, которое называется множеством возможных значений случайной величины. Обозначения случайной величины: X, Y, Z; возможные значения случайной величины: x, y, z.В зависимости от вида множества Ξ случайные величины могут быть дискретными и недискретными. СВХ называется дискретной , если множество ее возможных значений Ξ – счетное или конечное. Если множество возможных значений СВ несчетно, то такая СВ является недискретной .В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: X=φ (ω ), где ω – элементарное событие, принадлежащее пространству Ω. При этом множество Ξ возможных значений СВ Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ (ω ).

Закон распределения случайной величины.

Законом распределения СВ называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной. (То есть, всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и их вероятностями.)СВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое событие. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Распределения и ее свойства.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения. Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x: F(x)=P{X< x}.Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X (рис. 5.1). Из геометрической интерпретации наглядно можно вывестиосновные свойства функции распределения.

1. F(-¥ ) = 0. (5.2)

2. F(+¥ ) = 1. (5.3)

3. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x₁ < x₂

F(x₁) £ F(x₂).

Доказательство этого свойства иллюстрируется рис. 5.2.

Представим событие C={X< x₂} как сумму двух несовместных событий С=A+B, где A={X< x₁} и B={x₁£ X< x₂}.

По правилу сложения вероятностей

P(C)=P(A)+P(B),

т.е. P{X< x₂}=P{X< x₁}+P{ x₁£ X< x₂}, или

F(x₂)=F(x₁)+P{x₁£ X< x₂}.

Но P{x₁£ X< x₂}£ 0, следовательно, F(x₁) £ F(x₂)

4. P(α £ X < β ) = F(β ) - F(α ), для " [α, β [Î R. (5.4)

Доказательство этого свойства вытекает из предыдущего доказательства.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадет на участок от α до β (включая α ) равна приращению функции распределени я на этом участке.

Таким образом, функция распределения F(x)любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0≤ F(x)≤ 1, причем F(-∞ )=0, F(+∞ )=1.

Распределение Пуассона.

Соотношениями, описывающими биноминальное распределение, удобно пользоваться в тех случаях, если величина и достаточно мала, а р велико.

Теорема: Если, а так, что то

при любом k=0, 1, ….Числовые характеристики: М[Х] = α, D[X] = α.Закон Пуассона зависит от одного параметра α, смысл которого заключается в следующем: он является одновременно и математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х.

18.Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях.

 где К-рассматриваемое соб.; неК-противоположное; р-вероятнстьсоб.А; q=1-р – вер.собнеА; n-количесво испытаний в опыте; к- количество появлений соб.в опыте.

 

19.Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью рпринадлеж. [0, 1], «неудача» — с вероятностью q=1-p.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: