Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:

M[c] = c. (6.4)

Доказательствово: представим величину с как случайную величину, которая принимает одно и то же значение, с вероятностью р=1:

M[c]=c∙ 1=c.

2. При умножении СВ Х на неслучайную величину с не ту же самую величину увеличится ее математическое ожидание:

M[c× X] = c× M[X]. (6.5)

Доказательство:

3. При прибавлении к СВ Х неслучайной величины с к ее математическому ожиданию прибавляется такая же величина:

(6.6)

Доказательство: следует из свойств 1 и 3.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M[X+Y] = M[X]+M[Y]. (6.6)

Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если вероятности ее возможных значений 0, 1, …., k,.. определяются так:

где p – параметр распределения, а q=1-p.

	0	1	2	…	k	…
	p			…		…

На практике геометрическое распределение появляется при следующих условиях. Пусть производится некоторый опыт, в котором некоторое событие появляется с вероятностью p. Опыты производятся последовательно, до наступления события. Случайная величина X, равная числу неудачных опытов, имеет геометрическое распределение.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Равномерное распределение случайной величины.

Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале [а; в], если ее плотность вероятности в этом интервале постоянна, т.е. если все значения в этом интервале равновероятны:

(8.1)

Значение постоянной с определяется из условия нормировки:

. (8.2)

Функция распределения:

, (8.3)

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины определяются так:

Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения равно

(8.6)

Равномерное распределение случайной величины полностью определяется двумя параметрами: a и b – интервалом, на котором определена случайная величина.

При необходимости можно определить параметры a и b равномерного распределения по известным значениям математического ожидания m_X и дисперсии D_X случайной величины. Для этого составляется система уравнений следующего вида:

, (8.7)

из которой определяются искомые параметры.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал [α, β ) определяется так:

, где

 

 

 

Мода и медиана

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле:

где х 0 нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

f m частота интервала;

f m-1 частота предшествующего интервала;

f m+1 частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле:

где х 0 нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

f m частота интервала;

f – число членов ряда;

S m-1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на четыре равные части, а децили – на десять равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: