Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.

Одномерная потенциальная яма

Потенциальная энергия частицы внутри ямы ( 0 < x < a ) постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность.

Уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси ОХ:

Так как вне ямы , то для выполнения этого условия необходимо, чтобы . В силу непрерывности функция Ψ (х) должна обращаться в нуль и на границах ямы.

Таким образом, задача о движении частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками сводится к решению уравнения

при 0 < x < a

с граничными условиями Ψ (0) = 0 и Ψ (а) = 0.

Введя обозначение получаем . Из теории колебаний известно, что решением этого уравнения является выражение

или .

Используя граничное условие Ψ (0) = 0 получаем В = 0 ( или ) и

Используя граничное условие Ψ (а) = 0 получаем

и если . то , где n = 1; 2; 3 …

Значение n = 0 не удовлетворяет условию задачи т.к. при этом , а это означает, что частица в яме отсутствует.

Таким образом , где n = 1; 2; 3 …

Видно, что частица, находящаяся

в потенциальной яме, может иметь

только дискретные, квантовые значения

Энергии.

Число n называют квантовым

числом, а соответствующее ему значение

Е _n – уровнем энергии. Уровень Е₁

называется основным состоянием, а все

остальные – возбуждёнными ( n = 2 -

- первое возбуждённое состояние).

Энергетическое расстояние между соседними уровнями

Для молекулы газа с т₀ ~ 10^{-27 кг в сосуде размером а = 0, 1 м и} n > 1 получаем

эВ,

т.е. намного меньше энергии теплового хаотического движения молекулы ( эВ ) и дискретностью энергетического спектра движущейся молекулы можно пренебречь.

Для свободного электрона в атоме ( м ) получаем эВ и это сравнимо с энергией связи электрона в атоме Е_СВ~ 10 эВ.

Волновая функция частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Множитель А находим из условия нормировки Ψ -функции:

и тогда окончательно

при ( 0 < x < a ).

В основном состоянии частица с наибольшей вероятностью находится в середине ямы, а в 1-ом возбуждённом состоянии ( n = 2) вероятность нахождения частицы в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы в левой и правой половинах ямы равновероятно.

Плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии:

в первом возбуждённом состоянии:

Вероятность нахождения частицы в области x₁ < x < x₂, где x₂ < a

в основном состоянии:

в первом возбуждённом состоянии:

Двумерная потенциальная яма

Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Где Ώ = - прямоугольная область на плоскости (х, у).

Вне потенциальной ямы .

Поскольку движение частицы в яме вдоль осей ох и оу происходит независимо, то

а уравнение Шрёдингера имеет вид

или

Разделив левую и правую часть на получаем

Поскольку в правой части уравнения стоит постоянная величина, то и слева оба слагаемых должны быть постоянными величинами, и представив энергию Е в виде двух слагаемых Е = Е₁ + Е₂ можно разделить уравнение Шрёдингера для двумерной задачи на два одномерных уравнения:

и ,

решения которых такие же как и для одномерного случая:

и , где n₁; n₂ = 1, 2, 3, …

Нормированная волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками:

. а энергия .

Если потенциальная яма квадратная ( а₁ = а₂ = а) то

, где n₁; n₂ = 1, 2, 3, 4, …

Видно, что одному и тому же энергетическому уровню Е _n _1, _n ₂ , определяемому квантовыми числами n ₁ и n ₂ при n ₁ n ₂ соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями Ψ _n _1, _n ₂ и Ψ _n _2, _n ₁.

Энергетический уровень, которому соответствует несколько состояний частицы называется вырожденным энергетическим уровнем.

Энергетический уровень, которому соответствует только одно состояние частицы, называется невырожденным. Для квадратной потенциальной ямы невырожденными являются энергетические уровни, для которых n ₁ = n ₂.

Трёхмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)

Здесь G = - внутренняя область прямоугольного параллелепипеда.

Вне ящика , а внутри .

Используя тот же метод, что и для двумерной ямы получаем

; ;

, где

n₁, n₂, n₃ = 1, 2, 3, … - квантовые числа.

В кубическом потенциальном ящике ( а₁ = а₂ = а₃ = а ) получаем

Энергетические уровни в кубической потенциальной яме, для которых n₁ = n₂ = n₃, называют невырожденными, все остальные уровни вырождены.

Число вырожденных состояний определённого энергетического уровня называется кратностью вырождения уровня. Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассматривается в задаче на семинарском занятии.

Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма для основного состояния в кубической яме:

Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в некоторой области , где x₂, y₂, z₂ < a

Cферически-симметричная потенциальная яма радиусом а

U( r ) = 0 при r < a и U( r ) = при r > a.

Уравнение Шрёдингера для области r < a :

В сферически-симметричной яме Ψ -функция не зависит от угловых координат θ и φ и можно использовать только радиальную составляющую оператора Лапласа

, т.е.